向量值函数的导数

贡献者： addis

考虑增加多元向量值函数的偏导数

预备知识　几何向量的运算，导数，向量值函数，切线与割线

1. 向量的导数

　　若几何向量 $v$ 只是一个标量 $t$ 的函数，记为 $v (t)$ ，则 $v$ 对 $t$ 的导数可记为以下的一种

\begin{matrix} (1) & \frac{d v}{d t}, \frac{d}{d t} v, \dot{v} . \end{matrix}

其定义为（类比式 4 ）

\begin{matrix} (2) & \frac{d v}{d t} = lim_{Δ t \to 0} \frac{v (t + Δ t) - v (t)}{Δ t}, \end{matrix}

唯一与实函数

f : R \to R

的导数不同的是，这里的减法是向量相减，结果还是向量。除以

Δ t

相当于向量的数乘

1 / Δ t

，结果也是向量。所以

d v / d t

也是一个向量关于标量

t

的函数。

　　从直角坐标的角度来看， $N$ 维向量可以用 $N$ 个实数表示，而两个向量相减则是它们的各个坐标分别相减，易得式 2 得到的向量导函数的各个分量等于原向量函数的各个分量分别求导（详见式 4 ）。

　　例：速度和加速度（向量），匀速圆周运动的速度和加速度。

2. 几何意义

　　向量函数 $r (t)$ 可以看成一条参数曲线，也就是把向量的起点固定在坐标原点，改变参数 $t$ 时，向量终点画出的曲线。

定理 1　参数曲线的切线

　　参数曲线 $r (t)$ 在任意 $t = t_{0}$ 处存在不为零的导数 $\dot{r} (t_{0})$ ，则曲线在该点存在切线，且切线的方向就是导数的方向。

　　从物理上这是容易理解的，若 $t$ 是时间， $r$ 是一点的位置向量，那么 $\dot{r} (t)$ 就是这点的速度向量，速度向量总是沿运动轨迹的切线方向。

　　证明思路可以使用式 2 ：若不取极限，对每个具体的 $Δ t$ ，分子 $v (t + Δ t) - v (t)$ 的方向就是曲线的割线的方向。而取极限 $Δ t \to 0$ 时，若极限存在，则 $v (t + Δ t)$ 无限接近 $v (t)$ ，割线的极限就是切线。注意 $Δ t \to 0$ 的极限存在要求从正负两个方向趋近于零时极限都存在且相等，所以类似图 3 拐角处的情况不满足该条件。

3. 向量的求导法则

　　与标量函数一样，由定义不难证明向量函数求导也是线性算符（ $c_{i}$ 为常数）¹

\begin{matrix} (3) & \frac{d}{d t} [c_{1} v_{1} (t) + c_{2} v_{2} (t) + \dots] = c_{1} \frac{d v_{1}}{d t} + c_{2} \frac{d v_{2}}{d t} \dots \end{matrix}

　　直角坐标中，向量函数可以看做三个分量上的标量函数且向量基底不变，所以由上式可得向量求导就是对每个标量函数求导。

\begin{matrix} (4) & \frac{d v}{d t} = \frac{d}{d t} [v_{x} (t) \hat{x}] + \frac{d}{d t} [v_{y} (t) \hat{y}] + \frac{d}{d t} [v_{z} (t) \hat{z}] = {\dot{v}}_{x} (t) \hat{x} + {\dot{v}}_{y} (t) \hat{y} + {\dot{v}}_{z} (t) \hat{z} . \end{matrix}

要特别注意该式成立的条件是三个基底不随

t

改变，这在其他坐标系中并不成立，例如 “极坐标中单位向量的偏导”。

　　例：匀速圆周运动的速度和加速度（求导法）。

　　向量数乘，内积或叉乘的求导在形式上都与标量函数的情况类似。

\begin{matrix} (5) & \frac{d}{d t} [f (t) v (t)] = \frac{d f}{d t} v + f \frac{d v}{d t}, \end{matrix}

\begin{matrix} (6) & \frac{d}{d t} [u (t) \cdot v (t)] = \frac{d u}{d t} \cdot v + u \cdot \frac{d v}{d t}, \end{matrix}

\begin{matrix} (7) & \frac{d}{d t} [u (t) \times v (t)] = \frac{d u}{d t} \times v + u \times \frac{d v}{d t} . \end{matrix}

由定义出发，不难证明以上三式，这里以式 6 为例进行证明。根据内积定义以及标量函数的求导法则有

\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} \frac{d}{d t} (u \cdot v) & = \frac{d}{d t} (u_{x} v_{x} + u_{y} v_{y} + u_{z} v_{z}) \\ = (\frac{d u_{x}}{d t} v_{x} + u_{x} \frac{d v_{x}}{d t}) + (\frac{d u_{y}}{d t} v_{y} + u_{y} \frac{d v_{y}}{d t}) + (\frac{d u_{z}}{d t} v_{z} + u_{z} \frac{d v_{z}}{d t}) \\ = (\frac{d u_{x}}{d t} v_{x} + \frac{d u_{y}}{d t} v_{y} + \frac{d u_{z}}{d t} v_{z}) + (u_{x} \frac{d v_{x}}{d t} + u_{y} \frac{d v_{y}}{d t} + u_{z} \frac{d v_{z}}{d t}) \\ = \frac{d u}{d t} \cdot v + u \cdot \frac{d v}{d t} . \end{aligned} \end{matrix}

　　应用举例：动量定理，角动量定理（单个质点）。

4. 向量的高阶导数

　　与标量函数的高阶导数类似，对某个向量连续求 $N$ 次导数，就得到该函数的 $N$ 阶导数。上面在求圆周运动的加速度时，事实上我们已经计算了位置向量的导数（速度）的导数，即位置向量关于时间的二阶导数。

1. ^ 以下法则虽然以导数为例，但对偏导也同样适用。