矢量的导数 求导法则

             

预备知识 几何矢量的运算,导数,矢量函数

1. 矢量的导数

   若几何矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 只是一个标量 $t$ 的函数,记为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} (t)$,则 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 对 $t$ 的导数可记为以下的一种

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }}{\mathrm{d}{t}} \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \boldsymbol{\mathbf{v}} \qquad \dot{ \boldsymbol{\mathbf{v}} } \end{equation}
其定义为(类比式 2
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }}{\mathrm{d}{t}} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{ \boldsymbol{\mathbf{v}} ( t + \Delta t) - \boldsymbol{\mathbf{v}} (t)}{\Delta t} \end{equation}
唯一与实函数($f:\mathbb R \to \mathbb R$)的导数不同的是,这里的减法是矢量相减,结果还是矢量.除以 $\Delta t$ 相当于矢量的数乘 $1/\Delta t$,结果也是矢量.所以 $ \mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }/\mathrm{d}{t} $ 也是一个矢量关于标量 $t$ 的函数.

   从直角坐标的角度来看,$N$ 维矢量可以用 $N$ 个实数表示,而两个矢量相减则是它们的各个坐标分别相减,易得式 2 得到的矢量导函数的各个分量等于原矢量函数的各个分量分别求导(详见式 4 ).

   例:速度和加速度(矢量),匀速圆周运动的速度 和加速度

2. 矢量的求导法则

   与标量函数一样,由定义不难证明矢量函数求导也是线性算符($c_i$ 为常数)1

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} [c_1 \boldsymbol{\mathbf{v}} _1(t) + c_2 \boldsymbol{\mathbf{v}} _2(t) + \dots] = c_1 \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1}}{\mathrm{d}{t}} + c_2 \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{v}} _2}}{\mathrm{d}{t}} \dots \end{equation}

   直角坐标中,矢量函数可以看做三个分量上的标量函数且矢量基底不变,所以由上式可得矢量求导就是对每个标量函数求导.

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }}{\mathrm{d}{t}} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} [v_x(t) \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ] + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} [v_y(t) \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ] + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} [v_z(t) \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ] = \dot v_x(t) \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \dot v_y(t) \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + \dot v_z(t) \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{equation}
要特别注意该式成立的条件是三个基底不随 $t$ 改变,这在其他坐标系中并不成立,例如 “极坐标中单位矢量的偏导”.

   例:匀速圆周运动的速度 和加速度(求导法).

   矢量数乘,内积或叉乘的求导在形式上都与标量函数的情况类似.

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} [f(t) \boldsymbol{\mathbf{v}} (t)] = \frac{\mathrm{d}{f}}{\mathrm{d}{t}} \boldsymbol{\mathbf{v}} + f \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }}{\mathrm{d}{t}} \end{equation}
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} [ \boldsymbol{\mathbf{u}} (t) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} (t)] = \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{u}} }}{\mathrm{d}{t}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} + \boldsymbol{\mathbf{u}} \boldsymbol\cdot \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }}{\mathrm{d}{t}} \end{equation}
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} [ \boldsymbol{\mathbf{u}} (t) \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} (t)] = \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{u}} }}{\mathrm{d}{t}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} + \boldsymbol{\mathbf{u}} \boldsymbol\times \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }}{\mathrm{d}{t}} \end{equation}
由定义出发,不难证明以上三式,这里以式 6 为例进行证明.根据内积定义以及标量函数的求导法则
\begin{equation} \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} ( \boldsymbol{\mathbf{u}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} ) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} (u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z)\\ &= \left( \frac{\mathrm{d}{u_x}}{\mathrm{d}{t}} v_x + u_x \frac{\mathrm{d}{v_x}}{\mathrm{d}{t}} \right) + \left( \frac{\mathrm{d}{u_y}}{\mathrm{d}{t}} v_y + u_y \frac{\mathrm{d}{v_y}}{\mathrm{d}{t}} \right) + \left( \frac{\mathrm{d}{u_z}}{\mathrm{d}{t}} v_z + u_z \frac{\mathrm{d}{v_z}}{\mathrm{d}{t}} \right) \\ &= \left( \frac{\mathrm{d}{u_x}}{\mathrm{d}{t}} v_x + \frac{\mathrm{d}{u_y}}{\mathrm{d}{t}} v_y + \frac{\mathrm{d}{u_z}}{\mathrm{d}{t}} v_z \right) + \left(u_x \frac{\mathrm{d}{v_x}}{\mathrm{d}{t}} + u_y \frac{\mathrm{d}{v_y}}{\mathrm{d}{t}} + u_z \frac{\mathrm{d}{v_z}}{\mathrm{d}{t}} \right) \\ &= \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{u}} }}{\mathrm{d}{t}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} + \boldsymbol{\mathbf{u}} \boldsymbol\cdot \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }}{\mathrm{d}{t}} \end{aligned} \end{equation}

   应用举例:动量定理,角动量定理(单个质点)

3. 矢量的高阶导数

   与标量函数的高阶导数类似,对某个矢量连续求 $N$ 次导数,就得到该函数的 $N$ 阶导数.上面在求圆周运动的加速度时,事实上我们已经计算了位置矢量的导数(速度)的导数,即位置矢量关于时间的二阶导数.


1. ^ 以下法则虽然以导数为例,但对偏导也同样适用.

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