贡献者： addis
预备知识 几何向量的运算
，导数
，
向量值函数，切线与割线
1. 向量的导数
若几何向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 只是一个标量 $t$ 的函数，记为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} (t)$，则 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 对 $t$ 的导数可记为以下的一种
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }}{\mathrm{d}{t}} ~, \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \boldsymbol{\mathbf{v}} ~, \qquad \dot{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }~.
\end{equation}
其定义为（类比
式 4 ）
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }}{\mathrm{d}{t}} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{ \boldsymbol{\mathbf{v}} ( t + \Delta t) - \boldsymbol{\mathbf{v}} (t)}{\Delta t}~,
\end{equation}
唯一与实函数
$f:\mathbb R \to \mathbb R$ 的导数不同的是，这里的减法是
向量相减，结果还是向量。除以 $\Delta t$ 相当于
向量的数乘 $1/\Delta t$，结果也是向量。所以 $ \mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }/\mathrm{d}{t} $ 也是一个向量关于标量 $t$ 的函数。
从直角坐标的角度来看，$N$ 维向量可以用 $N$ 个实数表示，而两个向量相减则是它们的各个坐标分别相减，易得式 2 得到的向量导函数的各个分量等于原向量函数的各个分量分别求导（详见式 4 ）。
例：速度和加速度（向量），匀速圆周运动的速度和加速度。
2. 几何意义
向量函数 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} (t)$ 可以看成一条参数曲线，也就是把向量的起点固定在坐标原点，改变参数 $t$ 时，向量终点画出的曲线。
定理 1 参数曲线的切线
参数曲线 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} (t)$ 在任意 $t=t_0$ 处存在不为零的导数 $\dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }(t_0)$，则曲线在该点存在切线，且切线的方向就是导数的方向。
从物理上这是容易理解的，若 $t$ 是时间，$ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 是一点的位置向量，那么 $\dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }(t)$ 就是这点的速度向量，速度向量总是沿运动轨迹的切线方向。
证明思路可以使用式 2 ：若不取极限，对每个具体的 $\Delta t$，分子 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} (t+\Delta t)- \boldsymbol{\mathbf{v}} (t)$ 的方向就是曲线的割线的方向。而取极限 $\Delta t\to 0$ 时，若极限存在，则 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} (t+\Delta t)$ 无限接近 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} (t)$，割线的极限就是切线。注意 $\Delta t\to 0$ 的极限存在要求从正负两个方向趋近于零时极限都存在且相等，所以类似图 3 拐角处的情况不满足该条件。
3. 向量的求导法则
与标量函数一样，由定义不难证明向量函数求导也是线性算符（$c_i$ 为常数）1
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} [c_1 \boldsymbol{\mathbf{v}} _1(t) + c_2 \boldsymbol{\mathbf{v}} _2(t) + \dots] = c_1 \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1}}{\mathrm{d}{t}} + c_2 \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{v}} _2}}{\mathrm{d}{t}} \dots~
\end{equation}
直角坐标中，向量函数可以看做三个分量上的标量函数且向量基底不变，所以由上式可得向量求导就是对每个标量函数求导。
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }}{\mathrm{d}{t}} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} [v_x(t) \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ] + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} [v_y(t) \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ] + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} [v_z(t) \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ]
= \dot v_x(t) \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \dot v_y(t) \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + \dot v_z(t) \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ~.
\end{equation}
要特别注意该式成立的条件是三个基底不随 $t$ 改变，这在其他坐标系中并不成立，例如 “
极坐标中单位向量的偏导”。
例：匀速圆周运动的速度和加速度（求导法）。
向量数乘，内积或叉乘的求导在形式上都与标量函数的情况类似。
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} [f(t) \boldsymbol{\mathbf{v}} (t)] = \frac{\mathrm{d}{f}}{\mathrm{d}{t}} \boldsymbol{\mathbf{v}} + f \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }}{\mathrm{d}{t}} ~,
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} [ \boldsymbol{\mathbf{u}} (t) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} (t)] = \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{u}} }}{\mathrm{d}{t}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} + \boldsymbol{\mathbf{u}} \boldsymbol\cdot \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }}{\mathrm{d}{t}} ~,
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} [ \boldsymbol{\mathbf{u}} (t) \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} (t)] = \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{u}} }}{\mathrm{d}{t}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} + \boldsymbol{\mathbf{u}} \boldsymbol\times \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }}{\mathrm{d}{t}} ~.
\end{equation}
由定义出发，不难证明以上三式，这里以
式 6 为例进行证明。根据内积定义以及标量函数的
求导法则有
\begin{equation}
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} ( \boldsymbol{\mathbf{u}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} ) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} (u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z)\\
&= \left( \frac{\mathrm{d}{u_x}}{\mathrm{d}{t}} v_x + u_x \frac{\mathrm{d}{v_x}}{\mathrm{d}{t}} \right) + \left( \frac{\mathrm{d}{u_y}}{\mathrm{d}{t}} v_y + u_y \frac{\mathrm{d}{v_y}}{\mathrm{d}{t}} \right) + \left( \frac{\mathrm{d}{u_z}}{\mathrm{d}{t}} v_z + u_z \frac{\mathrm{d}{v_z}}{\mathrm{d}{t}} \right) \\
&= \left( \frac{\mathrm{d}{u_x}}{\mathrm{d}{t}} v_x + \frac{\mathrm{d}{u_y}}{\mathrm{d}{t}} v_y + \frac{\mathrm{d}{u_z}}{\mathrm{d}{t}} v_z \right) + \left(u_x \frac{\mathrm{d}{v_x}}{\mathrm{d}{t}} + u_y \frac{\mathrm{d}{v_y}}{\mathrm{d}{t}} + u_z \frac{\mathrm{d}{v_z}}{\mathrm{d}{t}} \right) \\
&= \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{u}} }}{\mathrm{d}{t}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} + \boldsymbol{\mathbf{u}} \boldsymbol\cdot \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }}{\mathrm{d}{t}} ~.
\end{aligned} \end{equation}
应用举例：动量定理，角动量定理（单个质点）。
4. 向量的高阶导数
与标量函数的高阶导数类似，对某个向量连续求 $N$ 次导数，就得到该函数的 $N$ 阶导数。上面在求圆周运动的加速度时，事实上我们已经计算了位置向量的导数（速度）的导数，即位置向量关于时间的二阶导数。
1. ^ 以下法则虽然以导数为例，但对偏导也同样适用。
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