圆周运动的加速度
贡献者: addis
1. 匀速圆周运动的加速度(几何法)
图 1:把速度矢量移到原点再相减
在圆周运动中,位矢 是时间的函数。对时间求导后,我们得到速度矢量关于时间的函数。对速度也进行同样的操作,就不难得到圆周运动的加速度。
现在我们用几何的方法来求该极限。根据矢量减法的定义,计算 要先把 和 的起点放在一起(例如都放在原点),再从 的终点指向 的终点得到 (图 1 )。
我们已知匀速圆周运动的速度大小为 ,根据 “小角极限” 中的结论,把 的长度用弧长近似,得
所以质点的加速度大小为
由图可得加速度的方向是速度方向逆时针偏转 。又由于速度方向是位矢方向逆时针偏转 ,所以匀速圆周运动的加速度的方向与位矢的方向相反。
结合模长和方向,令 为位矢(取圆心为坐标原点),就得到加速度的矢量形式
由速度与角速度的关系,它的模长也可以表示为 或者 。
2. 圆周运动的加速度(求导法)
现在我们来推导一般圆周运动的加速度(不要求匀速), 将圆周运动的速度(式 4 )再次对时间求导得加速度
当角速度 为常量时(匀速圆周运动),上式第二项为零,第一项与
式 4 相同,当角速度随时间变化时,由于 ,上式可以记为
其中 是速度方向的单位矢量。所以
变速圆周运动除了向心加速度外,还有一个沿速度方向的加速度。另见
例 1 。
3. 三维空间的情况
若要把式 4 拓展到三维空间中围绕过圆心的轴转动的任意匀速圆周运动,可以对式 5 ()求时间导数(令 为常矢量)得
将
式 5 再次代入,得
要验证该式与
式 4 吻合,把
连续叉乘化为内积得
其中 是 和 之间的夹角, 是从圆周运动的圆心指向点 的矢量,相当于
式 4 中的 。证毕。
我们再来考虑变速圆周运动的情况,当 的模长和方向都随时间变化时,式 7 的求导变为
定义
角加速度(angular acceleration) ,并将
式 5 代入,得
由定义易证右边第二项等于
式 6 中的 。
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