圆周运动的加速度

                     

贡献者: addis

预备知识 1 圆周运动的速度

1. 匀速圆周运动的加速度(几何法)

图
图 1:把速度矢量移到原点再相减

   在圆周运动中,位矢 r 是时间的函数。对时间求导后,我们得到速度矢量关于时间的函数。对速度也进行同样的操作,就不难得到圆周运动的加速度

(1)a=limΔt0ΔvΔt .

   现在我们用几何的方法来求该极限。根据矢量减法的定义,计算 Δv=v2v1 要先把 v1v2 的起点放在一起(例如都放在原点),再从 v1 的终点指向 v2 的终点得到 Δv图 1 )。

   我们已知匀速圆周运动的速度大小为 |v|=Rω,根据 “小角极限” 中的结论,把 Δv 的长度用弧长近似,得

(2)|Δv|=|v|Δθ=(Rω)ωΔt .
所以质点的加速度大小为
(3)a=limΔt0|Δv|Δt=limΔt0ω2RΔtΔt=ω2R ,
由图可得加速度的方向是速度方向逆时针偏转 π/2。又由于速度方向是位矢方向逆时针偏转 π/2,所以匀速圆周运动的加速度的方向与位矢的方向相反。

   结合模长和方向,令 r 为位矢(取圆心为坐标原点),就得到加速度的矢量形式

(4)a=ω2r ,
由速度与角速度的关系,它的模长也可以表示为 v2/r 或者 ωv

2. 圆周运动的加速度(求导法)

   现在我们来推导一般圆周运动的加速度(不要求匀速), 将圆周运动的速度(式 4 )再次对时间求导得加速度

(5)a=v˙=Rθ˙2(cosθx^+sinθy^)+θ¨R[cos(θ+π/2)x^+sin(θ+π/2)y^] ,
当角速度 ω=θ˙ 为常量时(匀速圆周运动),上式第二项为零,第一项与式 4 相同,当角速度随时间变化时,由于 θ¨R=ω˙R=v˙,上式可以记为
(6)a=ω2r+v˙v^ .
其中 v^ 是速度方向的单位矢量。所以变速圆周运动除了向心加速度外,还有一个沿速度方向的加速度。另见例 1

3. 三维空间的情况

预备知识 2 连续叉乘的化简

   若要把式 4 拓展到三维空间中围绕过圆心的轴转动的任意匀速圆周运动,可以对式 5 v=ω×r)求时间导数(令 ω 为常矢量)得

(7)a=v˙=ω×v ,
式 5 再次代入,得
(8)a=ω×(ω×r) ,
要验证该式与式 4 吻合,把连续叉乘化为内积
(9)a=ω2rcosθω^ω2r=ω2(rrcosθω^)=ω2r .
其中 θω^r^ 之间的夹角,r 是从圆周运动的圆心指向点 P 的矢量,相当于式 4 中的 r。证毕。

   我们再来考虑变速圆周运动的情况,当 ω 的模长和方向都随时间变化时,式 7 的求导变为

(10)a=ω×v+ω˙×r=ω2r+ω˙×r ,
定义角加速度(angular acceleration) α=ω˙,并将式 5 代入,得
(11)a=ω×(ω×r)+α×r .
由定义易证右边第二项等于式 6 中的 v˙v^


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