圆周运动的加速度

贡献者： addis

预备知识 1　圆周运动的速度

1. 匀速圆周运动的加速度（几何法）

图 1：把速度矢量移到原点再相减

　　在圆周运动中，位矢 $r$ 是时间的函数。对时间求导后，我们得到速度矢量关于时间的函数。对速度也进行同样的操作，就不难得到圆周运动的加速度。

\begin{matrix} (1) & a = lim_{Δ t \to 0} \frac{Δ v}{Δ t} . \end{matrix}

　　现在我们用几何的方法来求该极限。根据矢量减法的定义，计算 $Δ v = v_{2} - v_{1}$ 要先把 $v_{1}$ 和 $v_{2}$ 的起点放在一起（例如都放在原点），再从 $v_{1}$ 的终点指向 $v_{2}$ 的终点得到 $Δ v$ （图 1 ）。

　　我们已知匀速圆周运动的速度大小为 $| v | = R ω$ ，根据 “小角极限” 中的结论，把 $Δ v$ 的长度用弧长近似，得

\begin{matrix} (2) & | Δ v | = | v | Δ θ = (R ω) ω Δ t . \end{matrix}

所以质点的加速度大小为

\begin{matrix} (3) & a = lim_{Δ t \to 0} \frac{| Δ v |}{Δ t} = lim_{Δ t \to 0} \frac{ω^{2} R Δ t}{Δ t} = ω^{2} R, \end{matrix}

由图可得加速度的方向是速度方向逆时针偏转

π / 2

。又由于速度方向是位矢方向逆时针偏转

π / 2

，所以匀速圆周运动的加速度的方向与位矢的方向相反。

　　结合模长和方向，令 $r$ 为位矢（取圆心为坐标原点），就得到加速度的矢量形式

\begin{matrix} (4) & a = - ω^{2} r, \end{matrix}

由速度与角速度的关系，它的模长也可以表示为

v^{2} / r

或者

ω v

。

2. 圆周运动的加速度（求导法）

　　现在我们来推导一般圆周运动的加速度（不要求匀速），将圆周运动的速度（式 4 ）再次对时间求导得加速度

\begin{matrix} (5) & a = \dot{v} = - R {\dot{θ}}^{2} (\cos θ \hat{x} + \sin θ \hat{y}) + \ddot{θ} R [\cos (θ + π / 2) \hat{x} + \sin (θ + π / 2) \hat{y}], \end{matrix}

当角速度

ω = \dot{θ}

为常量时（匀速圆周运动），上式第二项为零，第一项与式 4 相同，当角速度随时间变化时，由于

\ddot{θ} R = \dot{ω} R = \dot{v}

，上式可以记为

\begin{matrix} (6) & a = - ω^{2} r + \dot{v} \hat{v} . \end{matrix}

其中

\hat{v}

是速度方向的单位矢量。所以变速圆周运动除了向心加速度外，还有一个沿速度方向的加速度。另见例 1 。

3. 三维空间的情况

预备知识 2　连续叉乘的化简

　　若要把式 4 拓展到三维空间中围绕过圆心的轴转动的任意匀速圆周运动，可以对式 5 （ $v = ω \times r$ ）求时间导数（令 $ω$ 为常矢量）得

\begin{matrix} (7) & a = \dot{v} = ω \times v, \end{matrix}

将式 5 再次代入，得

\begin{matrix} (8) & a = ω \times (ω \times r), \end{matrix}

要验证该式与式 4 吻合，把连续叉乘化为内积得

\begin{matrix} (9) & a = ω^{2} r \cos θ \hat{ω} - ω^{2} r = - ω^{2} (r - r \cos θ \hat{ω}) = - ω^{2} r_{⊥} . \end{matrix}

其中

θ

是

\hat{ω}

和

\hat{r}

之间的夹角，

r_{⊥}

是从圆周运动的圆心指向点

P

的矢量，相当于式 4 中的

r

。证毕。

　　我们再来考虑变速圆周运动的情况，当 $ω$ 的模长和方向都随时间变化时，式 7 的求导变为

\begin{matrix} (10) & a = ω \times v + \dot{ω} \times r = - ω^{2} r_{⊥} + \dot{ω} \times r, \end{matrix}

定义角加速度（angular acceleration）

α = \dot{ω}

，并将式 5 代入，得

\begin{matrix} (11) & a = ω \times (ω \times r) + α \times r . \end{matrix}

由定义易证右边第二项等于式 6 中的

\dot{v} \hat{v}

。

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