求导法则(简明微积分)

             

预备知识 基本初等函数的导数

   如果需要求导的函数可以看做若干个已知导函数的函数(如基本初等函数)经过四则运算或复合得到的,那么我们可以直接使用一系列求导法则对其求导

四则运算

\begin{equation} [ f(x) \pm g(x) ]' = f'(x) \pm g'(x) \end{equation}
\begin{equation} [ f(x)g(x) ]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \end{equation}
\begin{equation} \left[\frac{f(x)}{g(x)} \right] ' = \frac{f'(x)g(x) - g'(x)f(x)}{g(x)^2} \end{equation}

复合函数

\begin{equation} f[g(x)]' = f'[g(x)]g'(x) \end{equation}
详见 “一元复合函数求导(链式法则)

反函数

\begin{equation} [f^{-1}(x)]' = \frac{1}{f'[f^{-1}(x)]} \end{equation}
详见 “反函数求导”.

1. 线性

   我们先来证明式 1 .对求导而言,线性是指若干函数线性组合(即把若干个函数分别乘以常数再相加)1的求导等于对这些函数先分别求导再进行同样的线性组合.由于函数加减法属于函数线性组合的两种简单情况,这里只需要证明求导是一种线性运算 即可. 令若干常数为 $c_i$,若干可导函数为 $f_i(x)$,根据导数的定义,这些函数线性组合的导数为

\begin{equation} \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \sum_i c_i f_i(x) &= \lim_{h\to 0} \left[\sum_i c_i f_i(x+h) - \sum_i c_i f_i(x) \right] /h\\ & = \sum_i c_i \lim_{h\to 0} [f_i(x+h) - f_i(x)]/h\\ & = \sum_i c_i f_i'(x) \end{aligned} \end{equation}
证毕.

例 1 对函数 $f(x) = 5\sin x + 3x^2$ 求导

   这里的 $f(x)$ 可以看做三角函数 $\sin x$ 函数和幂函数 $x^2$ 的线性组合,二者都是基本初等函数,导数分别为 $\cos x$ 和 $2x$,由于求导是线性运算,我们只需要对两个函数各自的导函数进行同样的线性组合即可

\begin{equation} f'(x) = 5 \sin' x + 3(x^2)' = 5 \cos x + 3(2x) = 5\cos x + 6x \end{equation}

2. 乘积法则

   现在证明式 2 ,令两函数分别为 $f(x)$ 和 $g(x)$,现在求 $f(x) g(x)$ 的导函数.由导数的定义

\begin{equation} [f(x)g(x)]' = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)}{h} \end{equation}

图
图 1:乘积法则的几何理解

   从几何上来看(图 1 ),我们可以把 $f(x), g(x)$ 看做一个矩形的两条边长,它们的乘积 $f(x)g(x)$ 就是矩形的面积,而 $f(x+h)g(x+h)$ 不妨看做是另一个矩形的面积.当 $x$ 增加 $h$ 后,令 $f$ 和 $g$ 分别增加 $\Delta f$ 和 $\Delta g$(图中假设他们大于零,其他情况同理),那么矩形面积的增量可以分解为三部分

\begin{equation} f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x) = \Delta f g + f \Delta g + \Delta f\Delta g \end{equation}
代入式 8
\begin{equation} [f(x)g(x)]' = \lim_{h\to 0} \frac{\Delta f}{h} g + f \lim_{h\to 0} \frac{\Delta g}{h} + \lim_{h\to 0}\frac{\Delta f\Delta g}{h} \end{equation}
容易看出前两项中的两个极限分别是 $f,g$ 的导数,而第三个极限中,两个增量的乘积变小的速度远比前两个极限中要快(我们把它叫做二阶无穷小),所以第三个极限为零.从几何上来看,这是因为随着 $h$ 变小,右上角小矩形的面积 $\Delta f\Delta g$ 比起两条长矩形的面积可以忽略不计.

3. 商法则

   要证明式 3 ,我们可以把 $f(x)/g(x)$ 看成 $f(x)$ 乘以 $1/g(x)$,这样就可以直接使用乘积法则了.但是如何对 $1/g(x)$ 求导呢?我们可以将其看做 $h(x) = 1/x$ 和 $g(x)$ 的复合函数 $h[g(x)]$.其中 $h'(x) = -1/x^2$(式 1 ).根据式 4 ,有

\begin{equation} \left[\frac{1}{g(x)} \right] ' = h'[g(x)]g'(x) = -\frac{g'(x)}{g^2(x)} \end{equation}
最后使用乘积法则
\begin{equation} \begin{aligned} \left[f(x) \frac{1}{g(x)} \right] ' &= f'(x) \frac{1}{g(x)} - f(x) \frac{g'(x)}{g^2(x)}\\ &= \left[\frac{f(x)}{g(x)} \right] ' = \frac{f'(x)g(x) - g'(x)f(x)}{g(x)^2} \end{aligned} \end{equation}
证毕.


1. ^ 线性组合是线性代数中的概念,线性代数中,线性空间都可以做线性组合,例如几何矢量(式 7 ).特定函数的集合可以看作线性空间(例 2 ).

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