求导法则(简明微积分)

                     

贡献者: addis

预备知识 基本初等函数的导数

   如果需要求导的函数可以看做若干个已知导函数的函数(如基本初等函数)经过四则运算或复合得到的,那么我们可以直接使用一系列求导法则对其求导

四则运算

\begin{equation} [ f(x) \pm g(x) ]' = f'(x) \pm g'(x)~, \end{equation}
\begin{equation} [ f(x)g(x) ]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) ~, \end{equation}
\begin{equation} \left[\frac{f(x)}{g(x)} \right] ' = \frac{f'(x)g(x) - g'(x)f(x)}{g(x)^2}~. \end{equation}

复合函数

\begin{equation} f[g(x)]' = f'[g(x)]g'(x)~. \end{equation}
详见 “一元复合函数求导(链式法则)

反函数

\begin{equation} [f^{-1}(x)]' = \frac{1}{f'[f^{-1}(x)]} ~, \end{equation}
详见 “反函数求导”。

1. 线性

   我们先来证明式 1 。对求导而言,线性是指若干函数线性组合(即把若干个函数分别乘以常数再相加)1的求导等于对这些函数先分别求导再进行同样的线性组合。由于函数加减法属于函数线性组合的两种简单情况,这里只需要证明求导是一种线性运算 即可。 令若干常数为 $c_i$,若干可导函数为 $f_i(x)$,根据导数的定义,这些函数线性组合的导数为

\begin{equation} \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \sum_i c_i f_i(x) &= \lim_{h\to 0} \left[\sum_i c_i f_i(x+h) - \sum_i c_i f_i(x) \right] /h\\ & = \sum_i c_i \lim_{h\to 0} [f_i(x+h) - f_i(x)]/h\\ & = \sum_i c_i f_i'(x)~, \end{aligned} \end{equation}
证毕。

例 1 对函数 $f(x) = 5\sin x + 3x^2$ 求导

   这里的 $f(x)$ 可以看做三角函数 $\sin x$ 函数和幂函数 $x^2$ 的线性组合,二者都是基本初等函数,导数分别为 $\cos x$ 和 $2x$,由于求导是线性运算,我们只需要对两个函数各自的导函数进行同样的线性组合即可

\begin{equation} f'(x) = 5 \sin' x + 3(x^2)' = 5 \cos x + 3(2x) = 5\cos x + 6x~. \end{equation}

2. 乘积法则

   现在证明式 2 ,令两函数分别为 $f(x)$ 和 $g(x)$,现在求 $f(x) g(x)$ 的导函数。由导数的定义

\begin{equation} [f(x)g(x)]' = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)}{h}~. \end{equation}

图
图 1:乘积法则的几何理解

   从几何上来看(图 1 ),我们可以把 $f(x), g(x)$ 看做一个矩形的两条边长,它们的乘积 $f(x)g(x)$ 就是矩形的面积,而 $f(x+h)g(x+h)$ 不妨看做是另一个矩形的面积。当 $x$ 增加 $h$ 后,令 $f$ 和 $g$ 分别增加 $\Delta f$ 和 $\Delta g$(图中假设他们大于零,其他情况同理),那么矩形面积的增量可以分解为三部分

\begin{equation} f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x) = \Delta f g + f \Delta g + \Delta f\Delta g~, \end{equation}
代入式 8
\begin{equation} [f(x)g(x)]' = \lim_{h\to 0} \frac{\Delta f}{h} g + f \lim_{h\to 0} \frac{\Delta g}{h} + \lim_{h\to 0}\frac{\Delta f\Delta g}{h}~. \end{equation}
容易看出前两项中的两个极限分别是 $f,g$ 的导数,而第三个极限中,两个增量的乘积变小的速度远比前两个极限中要快(我们把它叫做二阶无穷小),所以第三个极限为零。从几何上来看,这是因为随着 $h$ 变小,右上角小矩形的面积 $\Delta f\Delta g$ 比起两条长矩形的面积可以忽略不计。

3. 商法则

   要证明式 3 ,我们可以把 $f(x)/g(x)$ 看成 $f(x)$ 乘以 $1/g(x)$,这样就可以直接使用乘积法则了。但是如何对 $1/g(x)$ 求导呢?我们可以将其看做 $h(x) = 1/x$ 和 $g(x)$ 的复合函数 $h[g(x)]$。其中 $h'(x) = -1/x^2$(式 1 )。根据式 4 ,有

\begin{equation} \left[\frac{1}{g(x)} \right] ' = h'[g(x)]g'(x) = -\frac{g'(x)}{g^2(x)}~. \end{equation}
最后使用乘积法则
\begin{equation} \begin{aligned} \left[f(x) \frac{1}{g(x)} \right] ' &= f'(x) \frac{1}{g(x)} - f(x) \frac{g'(x)}{g^2(x)}\\ &= \left[\frac{f(x)}{g(x)} \right] ' = \frac{f'(x)g(x) - g'(x)f(x)}{g(x)^2}~, \end{aligned} \end{equation}
证毕。


1. ^ 线性组合是线性代数中的概念,线性代数中,线性空间都可以做线性组合,例如几何矢量(式 11 )。特定函数的集合可以看作线性空间(例 2 )。


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利