超定线性方程组

             

预备知识 最小二乘法

   令 $A$ 为 $M\times N$ 的复数矩阵,$ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 为复数列矢量,当 $M > N$ 时,以下线性方程组称为超定方程组(只有 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 是未知)

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{y}} = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} \end{equation}

   我们把 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 拼接成一个 $M\times(N+1)$ 的矩阵,当这个矩阵的 $M$ 个行矢量中只有小于或等于 $N$ 个线性无关时,我们只需取所有线性无关的行即可得到非超定的线性方程组.举一个简单的例子,如果第 2 条方程(第 2 行)是第 1 条方程(第 1 行)乘以常数,那么这两条方程中我们只需保留一条即可.

   如果有大于 $N$ 个线性无关的行(由于每行只有 $N+1$ 个元,那么最多只可能有 $N+1$ 个线性无关的行),那么超定方程无解.为什么?

  

未完成:以下似乎应该移动到最小二乘法
但我们仍然可以寻找一个最优的 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $,使以下误差函数取最小值
\begin{equation} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\mathbf{y}} \right\rvert ^2 = \sum_k \left(\sum_j A_{kj} x_j - y_k \right) \left(\sum_j A_{kj} x_j - y_k \right) ^* \end{equation}

   所以这是一个最小二乘法问题.令误差函数分别对每个 $ \operatorname{Re} [x_i]$ 和 $ \operatorname{Im} [x_i]$ 求导等于 0,得

\begin{equation} \sum_j \left(\sum_i A ^\dagger _{ik} A_{kj} \right) x_j = \sum_k A ^\dagger _{ik} y_k \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{A}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{y}} \end{equation}

定理 1 

   当 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的各列线性无关时,式 4 必有唯一解.

   证明:对 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 做列变换不会改变行列式 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{A}} \right\rvert $ 的值(对 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 做行变换或对 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 左列变换分别相当于对 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 做相同的行变换或列变换).所以可以通过列变换使 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的各列正交且非零,于是 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 变为对角矩阵,且对角元都大于零,所以行列式也大于零.证毕.

   对比式 1 可以发现式 4 只是在左右两侧同时乘以 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的厄米共轭.所以任何能满足式 1 的解也可以通过式 4 解得.

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