超定线性方程组的最小二乘法解

贡献者： addis

预备知识　最小二乘法

　　¹令 $A$ 为 $M \times N$ 的复数矩阵， $x$ 和 $y$ 为复数列矢量，当 $M > N$ 时，以下线性方程组称为超定方程组（overdetermined system）

\begin{matrix} (1) & A x = y . \end{matrix}

　　我们把 $y$ 和 $A$ 拼接成一个 $M \times (N + 1)$ 的矩阵，当这个矩阵的 $M$ 个行矢量中只有小于或等于 $N$ 个线性无关时，我们只需取所有线性无关的行即可得到非超定的线性方程组。举一个简单的例子，如果第 2 条方程（第 2 行）是第 1 条方程（第 1 行）乘以常数，那么这两条方程中我们只需保留一条即可。

　　如果有大于 $N$ 个线性无关的行（由于每行只有 $N + 1$ 个元，那么最多只可能有 $N + 1$ 个线性无关的行），那么超定方程无解。

未完成：为什么？

未完成：以下似乎应该移动到最小二乘法中

但我们仍然可以寻找一个最优的

x

，使以下误差函数取最小值

\begin{matrix} (2) & {‖ A x - y ‖}^{2} = \sum_{k} {| \sum_{j} A_{k j} x_{j} - y_{k} |}^{2}, \end{matrix}

　　所以这是一个最小二乘法问题。令误差函数分别对每个 $x_{i}$ 的实部和虚部分别求导等于 0，得

\begin{matrix} (3) & \sum_{j} (\sum_{i} A_{i k}^{†} A_{k j}) x_{j} = \sum_{k} A_{i k}^{†} y_{k} . \end{matrix}

即

\begin{matrix} (4) & (A^{†} A) x = A^{†} y . \end{matrix}

定理 1　

　　当 $A$ 的各列线性无关时，式 4 必有唯一解。

　　证明：对 $A$ 做列变换不会改变行列式 $| A^{†} A |$ 的值（对 $A$ 做行变换或对 $B$ 做列变换分别相当于对 $A B$ 做相同的行变换或列变换）。所以可以通过列变换使 $A$ 的各列正交且非零，于是 $A^{†} A$ 变为对角矩阵，且对角元都大于零，所以行列式也大于零。证毕。

　　对比式 1 可以发现式 4 只是在左右两侧同时乘以 $A$ 的厄米共轭。所以任何能满足式 1 的解也可以通过式 4 解得。

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。

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