函数(高中)

                     

贡献者: 3sanha0; addis

预备知识 集合(高中)
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   本篇文章的预设读者是,对于函数的定义感到熟悉但又有些模糊,希望进一步了解函数的高中学生。

   函数最开始是用于研究曲线的工具。高中时期函数往往出现在平面直角坐标系上,不同的函数就对应着不同的曲线,你也许有些困惑——说不清二者之间的区别和联系。比如 $f(x)=x^2$,对于每一个 $x_1$,都能够找到对应的 $f(x_1)$,进而得到平面上对应的点 $(x_1,f(x_1))$,这是它们的联系。而区别在于,不应认为曲线就是我们口中的函数,只能认为,一个函数可以确定一条曲线。

   在高中时期,一个函数通常指的是一个计算式,输入一个数字,然后通过计算式计算以输出一个数字。数学家们在上述内涵中,进一步地抽象得到更加广泛的定义,以此让函数这一概念能够更加精确、更加广泛的描述事物。

   我们可以将函数认作是对输入和输出的关系的描述,我们所见到的计算式就是告诉我们如果将输入得到输出的方法。用工厂来比喻,我们向自动化工厂的入料口中添加原材料,经过一系列复杂的加工得到了产品,其中的加工方法、流程就可以粗略地看作是一个函数。又或者更加具体的说,让若干水果变成水果沙拉的函数是,一份水果沙拉的制作方法+我们灵巧的双手。在原有的计算式的理解上更进一步,得到了计算机学科中对函数的理解。

  1. 从内容上,我们将输入、输出从数字拓宽到了更多事物
  2. 从数量上,我们不局限于单一输入,而是能够同时输入多种事物
图
图 1:函数

   但是上述理解仍然不是数学上的理解,在数学中,我们将函数的概念进一步抽象。抛开对象之间如何实现转换的过程,而仅仅在两个事物之间建立对应关系——将集合中的全体元素,向另一个集合中的元素建立对应法则,一个对应法则就称为一个函数。 $$f:\{1,2,3,4\}\to\{1,2,3,4,5\}$$ 其中具体的对应法则为 $f(1)=2,f(2)=3,f(3)=1,f(4)=1$,这样我们就打造了一个函数 $f$。其中左侧的集合 $\{1,2,3,4\}$ 称为定义域,右侧的集合 $\{1,2,3,4,5\}$ 称为上域,全体定义域经过对应关系得到的全体元素的集合为 $\{1,2,3\}$,称为值域或像。在这个记号下,我们将常见的抛物线方程记为

\begin{equation} f:\mathbb{R}\to{\mathbb{R}},x\mapsto{x^2} \end{equation}
我们已经从原有的函数概念中抽象得到了不同的概念,为了区分前后,我们为后来的解释取一个新的名字——映射

   在这个角度,我们可以

1. 单射满射双射

   上文中,我们已经粗糙地展示了映射的内涵,在这个基础上补充一些扩展资料。

定义 1 单射

   设 $f:A\to{B}$,任意两个不同的集合 A 中的元素 $a,b\in{A}$,$a\not={b}$,都有 $f(a)\not={f(b)}$,则称 $f$ 是一个单射。

图
图 2:单射

定义 2 满射

   设 $f:A\to{B}$,任意集合 B 中的元素 $c\in{B}$,都存在 $a\in{A}$,使得 $f(a)=c$。则称 $f$ 是一个满射。

图
图 3:满射

定义 3 双射

   设 $f:A\to{B}$,$f$ 既是单射又是满射,则称 $f$ 是一个双射或者一一对应。

图
图 4:双射

   注:对于两个只有有限个元素的集合之间的映射,如果是双射,那么说明两个集合中的所有元素都可以两两的唯一对应 $f(a)=b,f^{-1}(b)=a$,并且两个集合的元素数量是相等的。

2. 复合函数

  

未完成:复合函数

3. 函数的性质

   以后我们会看到一些用极限和导数描述的性质。例如连续性,一致连续,可导。


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