贡献者: 3sanha0; addis
本篇文章的预设读者是,对于函数的定义感到熟悉但又有些模糊,希望进一步了解函数的高中学生。
函数最开始是用于研究曲线的工具。高中时期函数往往出现在平面直角坐标系上,不同的函数就对应着不同的曲线,你也许有些困惑——说不清二者之间的区别和联系。比如 $f(x)=x^2$,对于每一个 $x_1$,都能够找到对应的 $f(x_1)$,进而得到平面上对应的点 $(x_1,f(x_1))$,这是它们的联系。而区别在于,不应认为曲线就是我们口中的函数,只能认为,一个函数可以确定一条曲线。
在高中时期,一个函数通常指的是一个计算式,输入一个数字,然后通过计算式计算以输出一个数字。数学家们在上述内涵中,进一步地抽象得到更加广泛的定义,以此让函数这一概念能够更加精确、更加广泛的描述事物。
我们可以将函数认作是对输入和输出的关系的描述,我们所见到的计算式就是告诉我们如果将输入得到输出的方法。用工厂来比喻,我们向自动化工厂的入料口中添加原材料,经过一系列复杂的加工得到了产品,其中的加工方法、流程就可以粗略地看作是一个函数。又或者更加具体的说,让若干水果变成水果沙拉的函数是,一份水果沙拉的制作方法+我们灵巧的双手。在原有的计算式的理解上更进一步,得到了计算机学科中对函数的理解。
但是上述理解仍然不是数学上的理解,在数学中,我们将函数的概念进一步抽象。抛开对象之间如何实现转换的过程,而仅仅在两个事物之间建立对应关系——将集合中的全体元素,向另一个集合中的元素建立对应法则,一个对应法则就称为一个函数。 $$f:\{1,2,3,4\}\to\{1,2,3,4,5\}~.$$ 其中具体的对应法则为 $f(1)=2,f(2)=3,f(3)=1,f(4)=1$,这样我们就打造了一个函数 $f$。其中左侧的集合 $\{1,2,3,4\}$ 称为定义域,右侧的集合 $\{1,2,3,4,5\}$ 称为上域,全体定义域经过对应关系得到的全体元素的集合为 $\{1,2,3\}$,称为值域或像。在这个记号下,我们将常见的抛物线方程记为
在这个角度,我们可以
上文中,我们已经粗糙地展示了映射的内涵,在这个基础上补充一些扩展资料。
注:对于两个只有有限个元素的集合之间的映射,如果是双射,那么说明两个集合中的所有元素都可以两两的唯一对应 $f(a)=b,f^{-1}(b)=a$,并且两个集合的元素数量是相等的。
以后我们会看到一些用极限和导数描述的性质。例如连续性,一致连续,可导。
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利