动量定理、动量守恒、质心的牛顿第二定律
贡献者： 小熊慢慢说; addis
以下我们将根据牛顿定律推导出系统的动量定理，即系统总动量的变化率等于合外力
\begin{equation}
\dot { \boldsymbol{\mathbf{p}} } = \boldsymbol{\mathbf{F}} ^{out}~.
\end{equation}
由此可以得出系统所受合外力为零时系统总动量不随时间变化，即
动量守恒（conservation of momentum）。
由式 3 ，还可以把式 1 改写为类似牛顿第二定律的形式，通常被称为系统的牛顿第二定律或质心的牛顿第二定律
\begin{equation}
M \boldsymbol{\mathbf{a}} _c = \boldsymbol{\mathbf{F}} ^{out}~,
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _c$ 是质点系质心的加速度。也就是说，
系统合外力为零时，质心静止或者做匀速运动。
例 1
- 两个通过弹簧相连的质量不同的小球在光滑水平面上静止，若其中一个突然受到瞬间的外力冲击运动起来，那么弹簧将进行伸缩运动也可能发生转动，但若它们接下来不再受水平外力，根据式 2 该系统的质心将做匀速直线运动。
- 若把两个通过弹簧相连的质量不同的小球斜抛，不考虑空气阻力，则无论是否发生振动和旋转，系统的质心都会根据牛顿第二定律做完美的抛物线运动。
1. 推导
在牛顿力学中任何系统都可以看做质点系，质点系中第 $i$ 个质点可能受到系统内力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _i^{in}$ 或系统外力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _i^{out}$。由单个质点的动量定理，
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \boldsymbol{\mathbf{p}} _i = \boldsymbol{\mathbf{F}} _i^{in} + \boldsymbol{\mathbf{F}} _i^{out}~.
\end{equation}
总动量的变化率为
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{P}} }}{\mathrm{d}{t}} = \sum_i \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \boldsymbol{\mathbf{p}} _i = \sum_i \boldsymbol{\mathbf{F}} _i^{in} + \sum_i \boldsymbol{\mathbf{F}} _i^{out}~.
\end{equation}
由 “
质点系” 中的结论，上式右边第一项求和是系统合内力，恒为零。于是我们得到系统的动量定理
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{P}} }}{\mathrm{d}{t}} = \sum_i \boldsymbol{\mathbf{F}} _i^{out}~,
\end{equation}
可见当和外力（即等式右边）为零时，动量 $ \boldsymbol{\mathbf{P}} $ 不随时间变化，也就是
动量守恒。
未完成：导弹爆炸，人船模型
例 2 静止原子核的转变
一个原来静止的原子核，经放射性衰变，放出一个动量为 $9.22 \times 10^{-16} {\rm g\cdot cm/s}$ 的电子，同时该核在垂直方向上又放出一个动量为 $5.33 \times 10^{-16} {\rm g\cdot cm/s}$ 的中微子。问蜕变后原子核的动量的大小和方向。
解：由于这个静止的原子核在蜕变的全过程中没有受到其他外力，所以对该原子核构成的系统，总动量守恒。即有
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{p}} _{\rm B}+ \boldsymbol{\mathbf{p}} _{\rm e}+ \boldsymbol{\mathbf{p}} _{\rm \nu}=0~,
\end{equation}
即有
\begin{equation}
p_{\rm B}=| \boldsymbol{\mathbf{p}} _{\rm B}|=|- \boldsymbol{\mathbf{p}} _{\rm e}- \boldsymbol{\mathbf{p}} _{\rm \nu}|=\sqrt{p_{\rm e}^{2}+p_{\rm \nu}^{2}}=10.65 \times 10^{-16} {\rm g\cdot cm/s}~,
\end{equation}
\begin{equation}
\theta=\arctan\frac{5.33}{9.22}=30^\circ~.
\end{equation}
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