动量定理 动量守恒

             

预备知识 质点系的动量

   以下我们将根据牛顿定律推导出系统的动量定理,即系统总动量的变化率等于合外力

\begin{equation} \dot { \boldsymbol{\mathbf{p}} } = \boldsymbol{\mathbf{F}} ^{out} \end{equation}
由此可以得出系统所受合外力为零时系统总动量不随时间变化,即动量守恒(conservation of momentum)

   由式 3 ,还可以把式 1 改写为类似牛顿第二定律的形式,一些教材中被称为质点系的牛顿第二定律

\begin{equation} M \boldsymbol{\mathbf{a}} _c = \boldsymbol{\mathbf{F}} ^{out} \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _c$ 是质点系质心的加速度.系统合外力为零时,质心加速度为零,即静止或者做匀速运动.

1. 推导

   在牛顿力学中任何系统都可以看做质点系,质点系中第 $i$ 个质点可能受到系统内力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _i^{in}$ 或系统外力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _i^{out}$.由单个质点的动量定理

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \boldsymbol{\mathbf{p}} _i = \boldsymbol{\mathbf{F}} _i^{in} + \boldsymbol{\mathbf{F}} _i^{out} \end{equation}
总动量的变化率为
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{P}} }}{\mathrm{d}{t}} = \sum_i \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \boldsymbol{\mathbf{p}} _i = \sum_i \boldsymbol{\mathbf{F}} _i^{in} + \sum_i \boldsymbol{\mathbf{F}} _i^{out} \end{equation}
由 “质点系” 中的结论,上式右边第一项求和是系统合内力,恒为零.于是我们得到系统的动量定理
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{P}} }}{\mathrm{d}{t}} = \sum_i \boldsymbol{\mathbf{F}} _i^{out} \end{equation}
可见当和外力(即等式右边)为零时,动量 $ \boldsymbol{\mathbf{P}} $ 不随时间变化,也就是动量守恒
未完成:导弹爆炸,人船模型

例 1 静止原子核的转变

   一个原来静止的原子核,经放射性衰变,放出一个动量为 $9.22 \times 10^{-16} {\rm g\cdot cm/s}$ 的电子,同时该核在垂直方向上又放出一个动量为 $5.33 \times 10^{-16} {\rm g\cdot cm/s}$ 的中微子.问蜕变后原子核的动量的大小和方向.

   解:由于这个静止的原子核在蜕变的全过程中没有受到其他外力,所以对该原子核构成的系统,总动量守恒.即有

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{p}} _{\rm B}+ \boldsymbol{\mathbf{p}} _{\rm e}+ \boldsymbol{\mathbf{p}} _{\rm \nu}=0 \end{equation}
即有
\begin{equation} p_{\rm B}=| \boldsymbol{\mathbf{p}} _{\rm B}|=|- \boldsymbol{\mathbf{p}} _{\rm e}- \boldsymbol{\mathbf{p}} _{\rm \nu}|=\sqrt{p_{\rm e}^{2}+p_{\rm \nu}^{2}}=10.65 \times 10^{-16} {\rm g\cdot cm/s} \end{equation}
\begin{equation} \theta=\arctan\frac{5.33}{9.22}=30^\circ \end{equation}

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