偏导数(简明微积分)

             

预备知识 导数

   对一个多元函数 $y = f(x_1, x_2 \dots x_i \dots)$,如果求导时只把 $x_i$ 看成自变量,剩下的 $x_{j \ne i}$ 都看做常数,得到的导数就叫函数(关于 $x_i$)的偏导数.以二元函数 $z=f(x,y)$ 为例,对 $x$ 的偏导数常记为

\begin{equation} \frac{\partial z}{\partial x} \qquad \frac{\partial f}{\partial x} \qquad f_x \qquad \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right) _y \end{equation}
最后一种记号在括号右下角声明了保持不变的自变量,这在许多情况下能避免混淆.

例 1 

   对于函数 $f(x,y) = x^2 + 2 y^2 + 2xy$,两个偏导数分别为

\begin{equation} \frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 2y \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = 4y + 2x \end{equation}

例 2 

   对于函数 $z = \sin\left(y\cos x\right) + \cos ^2 x$

\begin{equation} \begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x} &= - y \cos\left(y\cos x\right) \sin x - 2\cos x\sin x = - y \cos\left(y\cos x\right) \sin x - \sin 2x\\ \frac{\partial z}{\partial y} &= \cos\left(y\cos x\right) \cos x \end{aligned} \end{equation}

1. 几何意义

   类比导数的几何意义(曲线的斜率),若在三维直角坐标系中画出曲面 $f(x,y)$,则 $ \partial f/\partial x $ 和 $ \partial f/\partial y $ 分别是是某点处曲面延 $x$ 方向和 $y$ 方向的斜率.所以从某点 $(x_0, y_0)$ 延 $x$ 方向移动一个微小量 $\Delta x$,假设曲面平滑,则函数值增加

\begin{equation} \Delta f \approx \frac{\partial f}{\partial x} \Delta x \end{equation}
写成微分关系就是
\begin{equation} \,\mathrm{d}{f} = \frac{\partial f}{\partial x} \,\mathrm{d}{x} \quad (y\, \text{不变}) \end{equation}

2. 高阶偏导

   与一元函数的高阶导数类似,多元函数也可以求高阶偏导数,不同的是,由于每求一次偏导都需要指定对哪个变量.例如二元函数 $f(x,y)$ 的二阶偏导有

\begin{equation} \frac{\partial^{2}{f}}{\partial{x}^{2}} \qquad \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \qquad \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} \qquad \frac{\partial^{2}{f}}{\partial{y}^{2}} \end{equation}
若高阶偏导的分母中出现不止一个变量,我们就称其为混合偏导.混合偏导的一个重要性质就是偏导的顺序可以任意改变,例如上式中有 $ \partial^2 f/\partial x \partial y = \partial^2 f/\partial y \partial x $.这点本书不做证明,可以通过以上的例子验证.

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