偏导数（简明微积分）

贡献者： addis; 钱昭霖; ACertainUser; EienMiku

预备知识　导数

　　对一个多元函数 $y = f (x_{1}, x_{2} \dots x_{i} \dots)$ ，如果求导时只把 $x_{i}$ 看成自变量，剩下的 $x_{j \neq i}$ 都看做常数，得到的导数就叫函数（关于 $x_{i}$ ）的偏导数。以二元函数 $z = f (x, y)$ 为例，对 $x$ 的偏导数常可记为以下几种表达式的其中之一：

\begin{matrix} (1) & \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial x}, f_{x}, {(\frac{\partial f}{\partial x})}_{y} . \end{matrix}

最后一种记号在括号右下角声明函数中所有保持不变的自变量，这在一些情况下能避免混淆（见子节 2 ）。

例 1　

　　对于函数 $f (x, y) = x^{2} + 2 y^{2} + 2 x y$ ，两个偏导数分别为

\begin{matrix} (2) & \frac{\partial f}{\partial x} = 2 x + 2 y, \frac{\partial f}{\partial y} = 4 y + 2 x . \end{matrix}

例 2　

　　对于函数 $z = \sin (y \cos x) + \cos^{2} x$

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x} & = - y \cos (y \cos x) \sin x - 2 \cos x \sin x = - y \cos (y \cos x) \sin x - \sin 2 x, \\ \frac{\partial z}{\partial y} & = \cos (y \cos x) \cos x . \end{aligned} \end{matrix}

1. 几何意义

图 1：偏导数

　　类比导数的几何意义（曲线的斜率），若在三维直角坐标系中画出曲面 $f (x, y)$ ，则 $\partial f / \partial x$ 和 $\partial f / \partial y$ 分别是是某点处曲面延 $x$ 方向和 $y$ 方向的斜率。所以从某点 $(x_{0}, y_{0})$ 延 $x$ 方向移动一个微小量 $Δ x$ ，假设曲面平滑，则函数值增加

\begin{matrix} (4) & Δ f \approx \frac{\partial f}{\partial x} Δ x, \end{matrix}

写成微分关系就是

\begin{matrix} (5) & d f = \frac{\partial f}{\partial x} d x (y 不变) . \end{matrix}

2. 通用函数名

　　物理中常常会出现一种容易混淆的情况，就是当一个因变量可以有几套自变量（例如上面的 $z (u, v)$ 和 $z (x, y)$ ）时，通常直接用因变量（ $z$ ）作为函数名而另外不定义函数名（ $f$ ）。然而 $z (u, v)$ 与 $z (x, y)$ 中的 $z$ 并不是同一个函数。以下举例说明

例 3　

　　在二维直角坐标系中，定义一个曲面的方程为

\begin{matrix} (6) & z = f (x, y) = x^{2} + y^{2} + 2 x, \end{matrix}

而若用极坐标的方程描述该曲面，则函数变为

\begin{matrix} (7) & z = g (r, θ) = f (r \cos θ, r \sin θ) = r^{2} + 2 r \cos θ . \end{matrix}

但许多物理书为了方便并不用

f

和

g

区分两个不同的函数，而是使用

z (x, y)

表示式 6 和

z (r, θ)

表示式 7 。这样后者就有可能被误解为

\begin{matrix} (8) & z (r, θ) = r^{2} + θ^{2} + 2 r (错) . \end{matrix}

这就需要从语境中判断是否使用了通用函数名¹。

　　使用通用函数名时，要注意从语境中判断偏导数使用的是哪一套变量，例如 $\partial z / \partial x$ 一般默认使用 $z (x, y)$ 求偏导，即把 $y$ 看成常数； $\partial z / \partial r$ 一般默认使用 $z (r, θ)$ 求偏导，即把 $θ$ 看成常数。或者为了明确起见可以分别把两种情况记为式 1 中的最后一种形式

\begin{matrix} (9) & {(\frac{\partial z}{\partial x})}_{y}, {(\frac{\partial z}{\partial r})}_{θ} . \end{matrix}

这样，把求偏导的变量和括号外的变量就是函数的自变量。

　　再看一种更复杂的情况，如

\begin{matrix} (10) & {(\frac{\partial z}{\partial x})}_{θ} . \end{matrix}

按照上述定义，应该是仅用

x

和

θ

表示

z

，然后求偏导。考虑极坐标系和直角坐标系的转换（子节 1 ），有

y = x \tan θ

，代入式 6 得

\begin{matrix} (11) & z (x, θ) = x^{2} (1 + \tan^{2} θ) + 2 x, \end{matrix}

现在再对

x

求偏导即可（过程略）。

3. 高阶偏导

　　与一元函数的高阶导数类似，多元函数也可以求高阶偏导数，不同的是，由于每求一次偏导都需要指定对哪个变量。例如二元函数 $f (x, y)$ 的二阶偏导有：

\begin{matrix} (12) & \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}, \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}, \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}, \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} . \end{matrix}

若高阶偏导的分母中出现不止一个变量，我们就称其为混合偏导。混合偏导的一个重要性质就是当函数的任意混合偏导均在某点

M_{0}

连续时，偏导的顺序可以任意改变，例如上式中有

\partial^{2} f / \partial x \partial y = \partial^{2} f / \partial y \partial x

。
以二元函数

z = f (x, y)

为例，证明其混合偏导

f_{x y}

和

f_{y x}

在

M_{0} (x_{0}, y_{0})

连续时，

f_{x y} |_{M_{0}} = f_{y x} |_{M_{0}}

。

未完成：这个证明不应该出现在简明微积分

证：考虑差商

\begin{matrix} (13) & I = \frac{[f (x_{0} + Δ x, y_{0} + Δ y) - f (x_{0} + Δ x, y_{0})] - [f (x_{0}, y_{0} + Δ y) - f (x_{0}, y_{0})]}{Δ x Δ y} . \end{matrix}

设

\begin{matrix} (14) & \begin{aligned} φ (x) = f (x, y_{0} + Δ y) - f (x, y_{0}), \\ ψ (y) = f (x_{0} + Δ x, y) - f (x_{0}, y), \end{aligned} \end{matrix}

那么利用微分中值定理可得

\begin{matrix} (15) & \begin{aligned} I = \frac{[f (x_{0} + Δ x, y_{0} + Δ y) - f (x_{0} + Δ x, y_{0})] - [f (x_{0}, y_{0} + Δ y) - f (x_{0}, y_{0})]}{Δ x Δ y} \\ = \frac{φ (x_{0} + Δ x) - φ (x_{0})}{Δ x Δ y} \\ = \frac{φ^{'} (x_{0} + α_{1} Δ x) Δ x}{Δ x Δ y} \\ = \frac{f_{x} (x_{0} + α_{1} Δ x, y_{0} + Δ y) - f_{x} (x_{0} + α_{1} Δ x, y_{0})}{Δ y} \\ = f_{x y} (x_{0} + α_{1} Δ x, y_{0} + α_{2} Δ y) (0 < α_{1}, α_{2} < 1) . \end{aligned} \end{matrix}

同理，将

I

重新组合可以得到

\begin{matrix} (16) & \begin{aligned} I = f_{y x} (x_{0} + α_{4} Δ x, y_{0} + α_{3} Δ y) (0 < α_{3}, α_{4} < 1) . \end{aligned} \end{matrix}

因此

\begin{matrix} (17) & \begin{aligned} f_{x y} (x_{0} + α_{1} Δ x, y_{0} + α_{2} Δ y) = f_{y x} (x_{0} + α_{4} Δ x, y_{0} + α_{3} Δ y) . \end{aligned} \end{matrix}

利用两个混合偏导

f_{x y}

和

f_{y x}

在点

(x_{0}, y_{0})

连续的条件，得到

\begin{matrix} (18) & \begin{aligned} f_{x y} (x_{0}, y_{0}) = lim_{(Δ x, Δ y) \to (0, 0)} f_{x y} (x_{0} + α_{1} Δ x, y_{0} + α_{2} Δ y) \\ = lim_{(Δ x, Δ y) \to (0, 0)} f_{y x} (x_{0} + α_{4} Δ x, y_{0} + α_{3} Δ y) \\ = f_{y x} (x_{0}, y_{0}) . \end{aligned} \end{matrix}

1. ^ “通用函数名” 是笔者起的名字，不清楚是否有其他叫法

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