偏导数(简明微积分)

                     

贡献者: addis; 钱昭霖; ACertainUser; EienMiku

预备知识 导数

   对一个多元函数 $y = f(x_1, x_2 \dots x_i \dots)$,如果求导时只把 $x_i$ 看成自变量,剩下的 $x_{j \ne i}$ 都看做常数,得到的导数就叫函数(关于 $x_i$)的偏导数。以二元函数 $z=f(x,y)$ 为例,对 $x$ 的偏导数常可记为以下几种表达式的其中之一:

\begin{equation} \frac{\partial z}{\partial x} ~, \qquad \frac{\partial f}{\partial x} ~, \qquad f_x~, \qquad \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right) _y~. \end{equation}
最后一种记号在括号右下角声明函数中所有保持不变的自变量,这在一些情况下能避免混淆(见子节 2 )。

例 1 

   对于函数 $f(x,y) = x^2 + 2 y^2 + 2xy$,两个偏导数分别为

\begin{equation} \frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 2y~, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = 4y + 2x~. \end{equation}

例 2 

   对于函数 $z = \sin\left(y\cos x\right) + \cos ^2 x$

\begin{equation} \begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x} &= - y \cos\left(y\cos x\right) \sin x - 2\cos x\sin x = - y \cos\left(y\cos x\right) \sin x - \sin 2x~,\\ \frac{\partial z}{\partial y} &= \cos\left(y\cos x\right) \cos x~. \end{aligned} \end{equation}

1. 几何意义

图
图 1:偏导数

   类比导数的几何意义(曲线的斜率),若在三维直角坐标系中画出曲面 $f(x,y)$,则 $ \partial f/\partial x $ 和 $ \partial f/\partial y $ 分别是是某点处曲面延 $x$ 方向和 $y$ 方向的斜率。所以从某点 $(x_0, y_0)$ 延 $x$ 方向移动一个微小量 $\Delta x$,假设曲面平滑,则函数值增加

\begin{equation} \Delta f \approx \frac{\partial f}{\partial x} \Delta x~, \end{equation}
写成微分关系就是
\begin{equation} \,\mathrm{d}{f} = \frac{\partial f}{\partial x} \,\mathrm{d}{x} \qquad (y\, \text{不变})~. \end{equation}

2. 通用函数名

   物理中常常会出现一种容易混淆的情况,就是当一个因变量可以有几套自变量(例如上面的 $z(u,v)$ 和 $z(x,y)$)时,通常直接用因变量($z$)作为函数名而另外不定义函数名($f$)。然而 $z(u,v)$ 与 $z(x,y)$ 中的 $z$ 并不是同一个函数。以下举例说明

例 3 

   在二维直角坐标系中,定义一个曲面的方程为

\begin{equation} z=f(x,y)=x^2+y^2+2x~, \end{equation}
而若用极坐标的方程描述该曲面,则函数变为
\begin{equation} z = g(r,\theta) = f(r\cos \theta, r\sin \theta ) = r^2 + 2r\cos \theta~. \end{equation}
但许多物理书为了方便并不用 $f$ 和 $g$ 区分两个不同的函数,而是使用 $z(x,y)$ 表示式 6 和 $z(r,\theta)$ 表示式 7 。这样后者就有可能被误解为
\begin{equation} z(r,\theta) = r^2+\theta^2+2r \quad \text{(错)}~. \end{equation}
这就需要从语境中判断是否使用了通用函数名1

   使用通用函数名时,要注意从语境中判断偏导数使用的是哪一套变量,例如 $ \partial z/\partial x $ 一般默认使用 $z(x,y)$ 求偏导,即把 $y$ 看成常数;$ \partial z/\partial r $ 一般默认使用 $z(r,\theta)$ 求偏导,即把 $\theta$ 看成常数。或者为了明确起见可以分别把两种情况记为式 1 中的最后一种形式

\begin{equation} \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right) _y~, \qquad \left( \frac{\partial z}{\partial r} \right) _\theta~. \end{equation}
这样,把求偏导的变量和括号外的变量就是函数的自变量。

   再看一种更复杂的情况,如

\begin{equation} \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right) _\theta~. \end{equation}
按照上述定义,应该是仅用 $x$ 和 $\theta$ 表示 $z$,然后求偏导。考虑极坐标系和直角坐标系的转换(子节 1 ),有 $y=x\tan\theta$,代入式 6
\begin{equation} z(x,\theta) = x^2(1+\tan^2 \theta) + 2x~, \end{equation}
现在再对 $x$ 求偏导即可(过程略)。

3. 高阶偏导

   与一元函数的高阶导数类似,多元函数也可以求高阶偏导数,不同的是,由于每求一次偏导都需要指定对哪个变量。例如二元函数 $f(x,y)$ 的二阶偏导有:

\begin{equation} \frac{\partial^{2}{f}}{\partial{x}^{2}} ~, \qquad \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} ~, \qquad \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} ~, \qquad \frac{\partial^{2}{f}}{\partial{y}^{2}} ~. \end{equation}
若高阶偏导的分母中出现不止一个变量,我们就称其为混合偏导。混合偏导的一个重要性质就是当函数的任意混合偏导均在某点 $M_0$ 连续时,偏导的顺序可以任意改变,例如上式中有 $ \partial^2 f/\partial x \partial y = \partial^2 f/\partial y \partial x $。
以二元函数 $z=f(x,y)$ 为例,证明其混合偏导 $f_{xy}$ 和 $f_{yx}$ 在 $M_0(x_0,y_0)$ 连续时,$f_{xy}|_{M_0}=f_{yx}|_{M_0}$。

  

未完成:这个证明不应该出现在简明微积分
: 考虑差商
\begin{equation} I=\frac{[f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0+\Delta x,y_0)]-[f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)]}{\Delta x\Delta y}\\~. \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned} &\qquad\varphi(x)=f(x,y_0+\Delta y)-f(x,y_0)~,\\ &\qquad\psi(y)=f(x_0+\Delta x,y)-f(x_0,y)~,\\ \end{aligned} \end{equation}
那么利用微分中值定理可得
\begin{equation} \begin{aligned} &I=\frac{[f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0+\Delta x,y_0)]-[f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)]}{\Delta x\Delta y}\\ &\ \ =\frac{\varphi(x_0+\Delta x)-\varphi(x_0)}{\Delta x\Delta y}\\ &\ \ =\frac{\varphi'(x_0+\alpha_1\Delta x)\Delta x}{\Delta x\Delta y}\\ &\ \ =\frac{f_x(x_0+\alpha_1\Delta x,y_0+\Delta y)-f_x(x_0+\alpha_1\Delta x,y_0)}{\Delta y}\\ &\ \ =f_{xy}(x_0+\alpha_1\Delta x,y_0+\alpha_2\Delta y)\qquad(0<\alpha_1,\alpha_2<1)~.\\ \end{aligned} \end{equation}
同理,将 $I$ 重新组合可以得到
\begin{equation} \begin{aligned} &I=f_{yx}(x_0+\alpha_4\Delta x,y_0+\alpha_3\Delta y)\qquad(0<\alpha_3,\alpha_4<1)~.\\ \end{aligned} \end{equation}
因此
\begin{equation} \begin{aligned} &\qquad f_{xy}(x_0+\alpha_1\Delta x,y_0+\alpha_2\Delta y)=f_{yx}(x_0+\alpha_4\Delta x,y_0+\alpha_3\Delta y)~.\\ \end{aligned} \end{equation}
利用两个混合偏导 $f_{xy}$ 和 $f_{yx}$ 在点 $(x_0,y_0)$ 连续的条件,得到
\begin{equation} \begin{aligned} &f_{xy}(x_0,y_0)=\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}f_{xy}(x_0+\alpha_1\Delta x,y_0+\alpha_2\Delta y)\\ &\qquad\qquad\ =\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}f_{yx}(x_0+\alpha_4\Delta x,y_0+\alpha_3\Delta y)\\ &\qquad\qquad\ =f_{yx}(x_0,y_0)~. \end{aligned} \end{equation}


1. ^ “通用函数名” 是笔者起的名字,不清楚是否有其他叫法


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