导数（简明微积分）

贡献者： addis; JierPeter

预备知识　切线与割线，函数

1. 导数的直观几何理解

　　一个一元函数 $y = f(x)$ 在直角坐标系中表示为一条曲线．在这个曲线的光滑部分取一点 $A$，并作其切线．

图 1：点 $A$ 的切线

　　若切线存在，该切线与 $x$ 轴的夹角 $\theta$ 的正切值，就叫点 $A$ 的导数．当函数在 $A$ 点递增时，可能的取值为 $\theta \in (0,\pi/2)$，即 $\tan \theta \in (0, + \infty)$．递减时，取 $\theta \in (-\pi/2,0)$，即 $\tan \theta \in (-\infty ,0)$．当切线水平时，$\theta = \tan \theta = 0$．

　　若函数曲线在 $x$ 的某一开区间内的每一点都可导，则这个区间上每一个 $x$ 对应一个导数．将其写成关于 $x$ 的函数 $g(x)$， $g(x)$ 就是该区间上的 导函数．通常将导函数记为以下的一种（后 3 种记号的来源见下文）

\begin{equation} f'(x),\quad [f(x)]',\quad \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{x}} ,\quad \frac{\mathrm{d}{f}}{\mathrm{d}{x}} ,\quad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} f(x) \end{equation}

在物理中，常常在物理量上方加一点表示对时间求导（注意仅限于对时间求导），例如 $\dot f(t) = \mathrm{d}{f(t)}/\mathrm{d}{t} $．

　　若切线不存在（例如折线的棱角处，但也有其他更复杂的情况），我们说点 $A$ 不可导．如果某区间内是 “光滑” 的，那么的该区间内处处可导．

图 2：棱角处不可导

　　若函数曲线在某一点附近是光滑的，那么在这点附近取一小段，当这一段取得足够小，可以近似认为它是线段且与切线重合（如下图）．以这条线段为斜边，作一直角三角形，令其底边长为 $ \,\mathrm{d}{x} $（在微积分中，通常把非常小的一段 $\Delta x$ 记为 $ \,\mathrm{d}{x} $， $ \,\mathrm{d}{x} $ 是一不能分割的整体符号，而不是两个量相乘），竖直边的边长为 $ \,\mathrm{d}{y} $（当函数递增时，$ \,\mathrm{d}{y} $ 取正值，反之取负值）．根据上面导数的定义，$ \mathrm{d}{y}/\mathrm{d}{x} = \tan \theta $ 就是函数的导数．所以导数通常表示为 $ \mathrm{d}{y}/\mathrm{d}{x} $，导数的倒数则为 $ \mathrm{d}{x}/\mathrm{d}{y} $．

图 3：将切点放大，会发现切线和曲线在切点附近 “重合”

　　由上面的讨论可得，当 $x$ 增加一小段 $\Delta x$ 时，$y$ 轴的增量约为 $\Delta y \approx f'(x)\Delta x$，且当 $\Delta x$ 越小，这条式子就越精确成立，记为 $ \,\mathrm{d}{y} = f'(x) \,\mathrm{d}{x} $．这个关系就叫函数的微分．

2. 导数的严谨理解

　　导数的代数理解就是：一个量关于另一个量的变化率．例如质点直线运动时，速度的大小就是其路程对时间的导数．把这种描述用极限表达出来就是

\begin{equation} f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \end{equation}

在图 3 的右图中，$\Delta x$ 的始末位置并不非常重要，既可以从 $x$ 取到 $x + \Delta x$，也可以从 $x - \Delta x$ 取到 $x$ 等等（因为当 $\Delta x$ 非常小的时候，$x$ 附近的曲线基本处处跟切线重合，它们的斜率都是一样的）．所以导数的定义也有其他类似的形式

\begin{equation} f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x) - f(x - \Delta x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x - \Delta x)}{2\Delta x} \end{equation}

虽然上面用到了诸如 “近似” 等词，但根据定义，极限都是精确的．

　　例子：速度加速度（一维）．

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