贡献者: addis; JierPeter
一个一元函数 $y = f(x)$ 在直角坐标系中表示为一条曲线.在这个曲线的光滑部分取一点 $A$,并作其切线.
若切线存在,该切线与 $x$ 轴的夹角 $\theta$ 的正切值,就叫点 $A$ 的导数.当函数在 $A$ 点递增时,可能的取值为 $\theta \in (0,\pi/2)$,即 $\tan \theta \in (0, + \infty)$.递减时,取 $\theta \in (-\pi/2,0)$,即 $\tan \theta \in (-\infty ,0)$.当切线水平时,$\theta = \tan \theta = 0$.
若函数曲线在 $x$ 的某一开区间内的每一点都可导,则这个区间上每一个 $x$ 对应一个导数.将其写成关于 $x$ 的函数 $g(x)$, $g(x)$ 就是该区间上的 导函数.通常将导函数记为以下的一种(后 3 种记号的来源见下文)
若切线不存在(例如折线的棱角处,但也有其他更复杂的情况),我们说点 $A$ 不可导.如果某区间内是 “光滑” 的,那么的该区间内处处可导.
若函数曲线在某一点附近是光滑的,那么在这点附近取一小段,当这一段取得足够小,可以近似认为它是线段且与切线重合(如下图).以这条线段为斜边,作一直角三角形,令其底边长为 $ \,\mathrm{d}{x} $(在微积分中,通常把非常小的一段 $\Delta x$ 记为 $ \,\mathrm{d}{x} $, $ \,\mathrm{d}{x} $ 是一不能分割的整体符号,而不是两个量相乘),竖直边的边长为 $ \,\mathrm{d}{y} $(当函数递增时,$ \,\mathrm{d}{y} $ 取正值,反之取负值).根据上面导数的定义,$ \mathrm{d}{y}/\mathrm{d}{x} = \tan \theta $ 就是函数的导数.所以导数通常表示为 $ \mathrm{d}{y}/\mathrm{d}{x} $,导数的倒数则为 $ \mathrm{d}{x}/\mathrm{d}{y} $.
由上面的讨论可得,当 $x$ 增加一小段 $\Delta x$ 时,$y$ 轴的增量约为 $\Delta y \approx f'(x)\Delta x$,且当 $\Delta x$ 越小,这条式子就越精确成立,记为 $ \,\mathrm{d}{y} = f'(x) \,\mathrm{d}{x} $.这个关系就叫函数的微分.
导数的代数理解就是:一个量关于另一个量的变化率.例如质点直线运动时,速度的大小就是其路程对时间的导数.把这种描述用极限表达出来就是
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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