导数(简明微积分)

                     

贡献者: ACertainUser; addis; JierPeter

预备知识 函数,切线与割线

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1. 一点处的导数

几何含义

   一个一元函数 $y = f(x)$ 在直角坐标系中表示为一条曲线.在切线与割线中,我们已经初步了解了什么是切线与割线.

图
图 1:B 趋向 A,割线趋向切线

   我们先写出割线的直线方程.由于割线就是一条经过 A,B 两点的直线,根据高中数学知识,很容易得到

\begin{equation} y-y_A=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}(x-x_A)=\frac{f(x_B)-f(x_A)}{x_B-x_A}(x-x_A) \end{equation}

   观察割线的方程,除了斜率项 $k=\frac{f(x_B)-f(x_A)}{x_B-x_A}$,其余项均与 $x_B$ 无关.现在,如图 1 所示,我们固定 A 点不动,让 B 点趋近于 A 点,即令 $x_B\rightarrow x_A$,这使割线趋向于切线,它的斜率即可用极限来定义

\begin{equation} k=\lim_{x_B\to x_A}\frac{f(x_B)-f(x_A)}{x_B-x_A} \end{equation}

   我们把这个切线的斜率定义为 $x=x_A$ 处 $f(x)$ 的导数,一般记为 $f'(x_A)$ 或 $ \frac{\mathrm{d}{f}}{\mathrm{d}{x}} |_{x=x_A}$.因此,我们说函数一点处的导数值就等于这点处切线的斜率.

图
图 2:点 $A$ 的切线.$f'(x_A)=k=\tan \theta$

   更一般的,有

定义 1 函数一点处的导数

   $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的导数为

\begin{equation} f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{equation}
也可以写为
\begin{equation} f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \end{equation}

“物理” 含义

   仔细观察 $x=x_0$ 附近切线的形状与 $f(x)$ 的形状,你很容易看出这两者是几乎一样的3,这启发我们在一个小区域内用切线来近似原函数.

图
图 3:将切点放大,会发现切线和曲线在切点附近 “重合”

   此时,若想计算 $x$ 轻微增加后,函数值 $y$ 的增量,就没有必要复杂地计算 $$\Delta y = f(x_0+\Delta x) - f(x_0)$$ ,而只需要计算

\begin{equation} \Delta y = f'(x_0) \Delta x \end{equation}
这就引入了微分的概念.更重要的是,这启发了我们导数的另一层含义:导函数确定了 $x=x_0$ 处,$y$ 关于 $x$ 变化的 “敏感度”,即 $x$ 轻微变化时,$y$ 会做出多大的响应.例如,一个绝对值大的导数值意味着 $y$ 会因为 $x$ 的轻微变化而剧烈变化.

   理解这一含义的最直白例子或许是速度,速度被定义为物体位置关于时间的导数 $v= \frac{\mathrm{d}{r}}{\mathrm{d}{t}} $.即使只靠直觉,我们也能理解“速度快” 就是指 “一瞬间他就从我眼前飞过去了”,这就是说当时间轻微增加时,物体的位置大幅变化.

单侧导数

   类似于单侧极限,我们也可以引入单侧导数的概念.如果 B 点从右侧趋近 A 点,但始终不运动到 A 点的左侧,那么此时切线的斜率即为该点处函数的右导数值,可以记为 $f'_+(x_A)$.更一般地,用极限的语言可以写为:

定义 2 单侧导数

   $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的右导数为:

\begin{equation} f'_+(x_0) = \lim_{x\to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{equation}
同理,可以定义左导数:
\begin{equation} f'_-(x_0) = \lim_{x\to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{equation}

   类似于极限,我们也有

定理 1 

   函数在某点可导的充分必要条件是它左右导数都存在并相等. $$f'(x_0)=A\Longleftrightarrow f'_+(x_0)=f'_-(x_0)=A$$

   也就是说,若左(或右)导数不存在,或者左、右导数存在但不相等,那此处的导数就不存在.

例 1 

   如图,在棱角处,虽然函数连续,甚至左、右导数均存在,但他们的大小不相同,因此在棱角处该函数不可导.

图
图 4:棱角处不可导

2. 导函数

   在上文中,我们定义了一点处函数的导数.原则上我们可以任意选取函数定义域中的一点,然后用根据上文 “导数的定义” 找到该点处的导数值.这也就是说,对于函数定义域中的任意一点,都有一个导数值与之对应,这符合函数的定义,也就是说我们可以在这二者间定义一个新函数,这就是 $f(x)$ 的 “导函数”;在不引起混淆的情况下往往简称为 “导数”.

   字面上看,导函数的定义与一点处函数的导数完全类似.

定义 3 导函数

\begin{equation} f'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \end{equation}

   通常将导函数记为以下的一种

\begin{equation} f'(x),\quad [f(x)]',\quad \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{x}} ,\quad \frac{\mathrm{d}{f}}{\mathrm{d}{x}} ,\quad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} f(x) \end{equation}
在物理中,还可以在物理量上方加一点表示对时间求导(注意仅限于对时间求导),例如 $\dot f(t) = \mathrm{d}{f(t)}/\mathrm{d}{t} $.

例 2 

   计算 $f(x)=2x+3$ 的导函数.

   根据定义, $$ \begin{aligned} f'(x)&=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to0}\frac{[2(x+\Delta x)+3]-(2x+3)}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to0}\frac{2\Delta x}{\Delta x}\\ &=2 \end{aligned} $$ 事实上,所有直线方程的导函数都是常函数,且数值上等于自己的斜率.当然,实际上很少直接使用定义计算导数,有一些技巧可以简化求导过程(见本节其他文章).

例 3 

   计算 $f(x)=C$ 的导函数, 其中 C 是常数.

   仍然根据定义, $$ \begin{aligned} f'(x)&=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to0}\frac{C-C}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to0}\frac{0}{\Delta x}\\ &=0\\ \end{aligned} $$ 因此常函数的导数为零.这可以理解为例 2 当 $x$ 的系数为零时的特例.


1. ^ 本文参考了 [2] , [4]
2. ^ 除非特别声明,我们暂且假定探讨的函数在定义域内处处可导,就和大多数物理学家和工程师所默许的一样
3. ^ 这个结论可不是我瞎说的,数学上是能给出严格的证明


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