极坐标系中单位矢量的偏导

贡献者： addis

预备知识　极坐标系，圆周运动的速度

　　与直角坐标系不同的是，极坐标系中的 $\hat{r}$ 与 $\hat{θ}$ 都是坐标的函数，即 $\hat{r} = \hat{r} (r, θ)$ ， $\hat{θ} = \hat{θ} (r, θ)$ ，它们对坐标的偏导如下：

\begin{matrix} (1) & {\begin{aligned} \frac{\partial \hat{r}}{\partial r} & = 0 \\ \frac{\partial \hat{r}}{\partial θ} & = \hat{θ} \end{aligned}, {\begin{aligned} \frac{\partial \hat{θ}}{\partial r} & = 0 \\ \frac{\partial \hat{θ}}{\partial θ} & = - \hat{r} \end{aligned} . \end{matrix}

这是容易理解的，若一个单位矢量绕着它的起点逆时针转动，那么它的终点的速度的方向必然是它本身逆时针旋转 90 度的方向，而大小等于矢量模长乘以角速度。

1. 证明

　　如果令极轴方向的单位矢量为 $\hat{x}$ ，令其逆时针旋转 $π / 2$ 的矢量为 $\hat{y}$ ，则

\begin{matrix} (2) & \hat{r} = \cos θ \hat{x} + \sin θ \hat{y}, \end{matrix}

\begin{matrix} (3) & \hat{θ} = \cos (θ + π / 2) \hat{x} + \sin (θ + π / 2) \hat{y} = - \sin θ \hat{x} + \cos θ \hat{y}, \end{matrix}

所以

\begin{matrix} (4) & {\begin{aligned} \frac{\partial \hat{r}}{\partial r} & = 0 \\ \frac{\partial \hat{r}}{\partial θ} & = - \sin θ \hat{x} + \cos θ \hat{y} = \hat{θ} \end{aligned}, {\begin{aligned} \frac{\partial \hat{θ}}{\partial r} & = 0 \\ \frac{\partial \hat{θ}}{\partial θ} & = - \cos θ \hat{x} - \sin θ \hat{y} = - \hat{r} \end{aligned} . \end{matrix}

事实上，由于

\hat{r}

与

\hat{θ}

都只是

θ

的函数，也可以把偏导符号改成导数符号

\begin{matrix} (5) & \frac{d \hat{θ}}{d θ} = - \hat{r}, \frac{d \hat{r}}{d θ} = \hat{θ} . \end{matrix}

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