极坐标系中单位矢量的偏导

                     

贡献者: addis

预备知识 极坐标系,圆周运动的速度

   与直角坐标系不同的是,极坐标系中的 r^θ^ 都是坐标的函数,即 r^=r^(r,θ)θ^=θ^(r,θ),它们对坐标的偏导如下:

(1){r^r=0r^θ=θ^    ,{θ^r=0θ^θ=r^    .
这是容易理解的,若一个单位矢量绕着它的起点逆时针转动,那么它的终点的速度的方向必然是它本身逆时针旋转 90 度的方向,而大小等于矢量模长乘以角速度

1. 证明

   如果令极轴方向的单位矢量为 x^,令其逆时针旋转 π/2 的矢量为 y^,则

(2)r^=cosθx^+sinθy^ ,
(3)θ^=cos(θ+π/2)x^+sin(θ+π/2)y^=sinθx^+cosθy^ ,
所以
(4){r^r=0r^θ=sinθx^+cosθy^=θ^    ,{θ^r=0θ^θ=cosθx^sinθy^=r^    .
事实上,由于 r^θ^ 都只是 θ 的函数,也可以把偏导符号改成导数符号
(5)dθ^dθ=r^ ,dr^dθ=θ^ .


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