切线与割线

                     

贡献者: addis; Giacomo

预备知识 函数的极限(简明微积分)

   如图一,在一段光滑曲线上任取两点,过这两点做直线,就是曲线过 $A$ 点与 $B$ 点的割线(当然直线与曲线还可以有其他交点)。

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图 1:割线

   当 $A$, $B$ 两点逐渐向某点 $C$ 点靠近,割线的位置逐渐趋于不变。我们有很多种不同的方式使得 $A, B$ 靠近 $C$,比如先将 $A$ 点移动到 $C$ 点,再让 $B$ 点慢慢靠近 $C$ 点(反过来也可以);或者 $A, B$ 以不同的速度靠近 $C$ 点。如果用不同的方式能得到唯一确定的一条直线,我们就把它就叫做曲线在 $C$ 点的切线,我们称割线的极限存在;如果不存在,那么称 $C$ 点没有切线。下面举一个简单的例子说明。

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图 2:割线的极限是切线

   例如要求正方形一角的切线,用 $A$, $B$ 两点接近 $C$ 点,则无论 $AB$ 点 有多么靠近 $C$,切线的位置还要 取决于 $AB$ 点的具体位置(如右图) 若 $B$ 更接近 $C$,则直线就更接近竖直 方向。反之直线就更接近水平方向。

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图 3:C 点不存在切线

   用不同的方式得到的极限并不相同,因此 $C$ 点不存在切线。


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