切线与割线

贡献者： addis

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如果是两点趋近于一点，就是双重极限有点复杂了，应该改成 $A$ 点固定，$B$ 点从两个方向分别趋近于 $A$ 点，且结果一致，类似于左极限和右极限。

预备知识　函数的极限（简明微积分）

　　如图一，在一段光滑曲线上任取两点，过这两点做直线，就是曲线过 $A$ 点与 $B$ 点的割线（当然直线与曲线还可以有其他交点）。

图 1：割线

　　当 $A$， $B$ 两点逐渐向某点 $C$ 点靠近，割线的位置逐渐趋于不变，割线位置的极限就叫做曲线在 $C$ 点的切线。

　　以上对切线的定义中，假设在 $A$， $B$ 两点靠近 $C$ 点的过程中，割线位置的极限存在。如果这个极限不存在，那么 $C$ 点没有极限。下面举一个简单的例子说明。

图 2：割线的极限是切线

　　例如要求正方形一角的切线，用 $A$， $B$ 两点接近 $C$ 点，则无论 $AB$ 点有多么靠近 $C$，切线的位置还要取决于 $AB$ 点的具体位置（如右图）若 $B$ 更接近 $C$，则直线就更接近竖直方向。反之直线就更接近水平方向。

图 3：C 点不存在切线

　　而真正的极限，只取决于点 $A$， $B$ 都趋于点 $C$ 的事实，而不要求它们谁更趋近。所以这个极限不存在。

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