切线与割线

贡献者： addis; Giacomo

1. 割线

　　 如图一，在一段光滑曲线上任取两点，过这两点做直线，就是曲线过 $A$ 点与 $B$ 点的割线。当然直线与曲线还可以有其他交点，但这并不影响什么。

2. 切线

　　 当 $A$，$B$ 两点逐渐向某个固定的点 $C$ 靠近（注意 $A,B$ 始终不重合，但它们之一可以和 $C$ 重合），割线的位置可能会逐渐趋于不变。我们有很多种不同的方式使得 $A, B$ 靠近 $C$，比如先将 $A$ 点移动到 $C$ 点，再让 $B$ 点慢慢靠近 $C$ 点（反过来也可以）；或者 $A, B$ 以不同的速度靠近 $C$ 点。如果用不同的方式能得到唯一确定的一条直线，我们就把它就叫做曲线在 $C$ 点的切线。这种用割线逼近切线的过程是一种极限。如果不能得到唯一的直线，那么该极限不存在，即 $C$ 点没有切线。下面举一个简单的例子说明。

　　 例如要求正方形一角的切线，用 $A,B$ 两点接近 $C$ 点，则无论 $A,B$ 有多么靠近 $C$，切线的位置还要取决于 $A,B$ 点的具体位置（如右图）。若 $B$ 更接近 $C$，则直线就更接近竖直方向。反之直线就更接近水平方向。用不同的方式得到的极限并不相同，因此 $C$ 点不存在切线。

用两点定义切线

　　 上面定义切线使用了三点。但注意到我们强调若切线存在，则 $A,B$ 接近 $C$ 的速度是不做要求的。那我们能不能直接假设 $B$ 点始终与 $C$ 重合，而让 $A$ 接近二者进而取极限呢？答案是可以的，但需要注意为了避免类似图 3 的拐角，必须要求 $A$ 从曲线的两个方向分别接近 $C$，并确保得到的是同一条切线才能断定切线存在。

　　 要严格证明该方法和上面方法是等价的，需要使用向量值函数的导数。