切线与割线
贡献者: addis; Giacomo
1. 割线
如图一,在一段光滑曲线上任取两点,过这两点做直线,就是曲线过 点与 点的割线。当然直线与曲线还可以有其他交点,但这并不影响什么。
图 1:割线
2. 切线
当 , 两点逐渐向某个固定的点 靠近(注意 始终不重合,但它们之一可以和 重合),割线的位置可能会逐渐趋于不变。我们有很多种不同的方式使得 靠近 ,比如先将 点移动到 点,再让 点慢慢靠近 点(反过来也可以);或者 以不同的速度靠近 点。如果用不同的方式能得到唯一确定的一条直线,我们就把它就叫做曲线在 点的切线。这种用割线逼近切线的过程是一种极限。如果不能得到唯一的直线,那么该极限不存在,即 点没有切线。下面举一个简单的例子说明。
图 2:割线的极限是切线
例如要求正方形一角的切线,用 两点接近 点,则无论 有多么靠近 ,切线的位置还要取决于 点的具体位置(如右图)。若 更接近 ,则直线就更接近竖直方向。反之直线就更接近水平方向。用不同的方式得到的极限并不相同,因此 点不存在切线。
图 3:C 点不存在切线
用两点定义切线
上面定义切线使用了三点。但注意到我们强调若切线存在,则 接近 的速度是不做要求的。那我们能不能直接假设 点始终与 重合,而让 接近二者进而取极限呢?答案是可以的,但需要注意为了避免类似图 3 的拐角,必须要求 从曲线的两个方向分别接近 ,并确保得到的是同一条切线才能断定切线存在。
要严格证明该方法和上面方法是等价的,需要使用向量值函数的导数。
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