【导航】极简微积分

贡献者： addis

　　 从物理学巨人牛顿发明了微积分以来¹，微积分就在物理学和其他自然科学中被大量使用。高中的物理教学有意避开了使用微积分，但从大学开始，微积分与物理将形影不离。不夸张地说，不懂微积分，在学习超出高中范围之外的物理时将寸步难行。微积分最核心的内容是极限、求导与微分、积分、无穷级数、常微分方程、偏微分方程等。

　　 “极简微积分” 系列可以看作一个微积分速成课程，这里介绍的内容通常比理科专业大一年所学微积分课程要简单得多，比较适合参加高中物理和数学竞赛的同学快速了解微积分的核心思想和简单用法。我们重点强调如何简单使用微积分解决一些常见物理问题而一般不涉及严谨推导和证明。我们很多时候甚至不去严谨地表述相关定理以及它们的适用范围，而是通过举例、数值验证、互动演示、文字说明等来初步建立使用微积分的直觉和常用计算方法。

　　 因此，这里所讲的方法仅适用于一些常见问题，例如我们假设所讨论的一元函数可以画成 $x$-$y$ 直角坐标系中一条曲线，有时候要求这个曲线不能断开（称为连续）、有时候要求不能出现弯折、有时候要求不能无限快地震荡等，而不是具体用集合以及映射去严谨地定义什么是函数，也不严谨定义什么是连续，什么是光滑。

　　 这样的形象处理必然会导致我们学习一些定理后不能严格地区分它在什么情况成立，更不可能严格地给出证明，但优点是可以快速了解微积分核心思想并解决常见的问题，例如高中物理竞赛和理工科的普通物理课程中涉及的问题。但如果你学完本部分之后碰到了无法解决的情况或者希望更严肃系统地对待微积分，那么还是强烈建议阅读大学的微积分教材甚至数学分析课程的教材，又或小时百科中的相关部分。

　　 我们使用 Matlab、Mathematica 等数学软件进行辅助教学²。它们可以帮我们做一些微积分的数值实验、进行简单的画图、或者给出求导和积分的解析表达式等。 事实上在计算机高度发达的今天，具体的运算技巧已经越发不重要，尤其是求解不定积分和常微分方程的复杂技巧。掌握微积分的相关概念和思想才是更重要的。

1. 极限

　　 极限的概念是微积分的基础，我们先讨论数列的极限然后自然地过渡到函数的极限。函数的极限大致可以理解为 “一个函数在某个量为无穷小或无穷大时所逼近的值”，例如函数 $1/x$ 在 $x$ 无穷大时的极限为零，$(1+x)/(2+x)$ 在 $x$ 无穷小时的极限为 $1/2$。稍微没那么显然的一些极限例如经典的 $\sin x/ x$ 在 $x$ 无穷小时等于 $1$（小角极限），$(1+x)^{1/x}$ 在 $x$ 无穷小时等于 $ \mathrm{e} $（自然对数底）。

　　 用符号表示，可以把 “$x$ 无穷大” 记为 $x \to +\infty$，“$x$ 无穷小” 记为 $x \to 0$，我们在下面会使用这些符号。

　　 有时候可以把无穷小分为不同的阶，例如一阶无穷小，二阶无穷小，无穷大也同理，例如一阶无穷大，二阶无穷大。这些划分是相对的，例如令 $a$ 是一个不为零的常数，当 $x \to 0$ 时，$a x$ 就是（关于 $x$ 的）一阶无穷小，$a x^2$ 是（关于 $x$ 的）二阶无穷小，$a$ 可以叫做零阶无穷小。在不同阶的无穷小相加时，可以只保留最低阶的无穷小。例如函数 $(1+2x)/(2+3x^2)$ 中，当 $x\to 0$ 时，分子和分母中的 $1$ 和 $2$ 就是零阶无穷小，而 $2x$ 和 $3x^2$ 分别是一阶无穷小和二阶无穷小，所以 $x\to 0$ 时可以只保留零阶无穷小，直接得到 $1/2$ 的极限。

2. 导数

　　 理解极限了以后，导数便是一个首要的应用。事实上高中物理的许多物理量都使用了导数的概念，只是没有提出 “导数” 这个词。例如一点延 $x$ 轴直线运动中（瞬时）速度的定义就是位移除以时间 $\Delta x/\Delta t$ 在 $\Delta t \to 0$ 时的极限，而这事实上是导数的定义，即速度关于时间的函数 $v(t)$ 是位置关于时间的函数 $x(t)$ 的导函数，简称导数。同理，直线运动的加速度是 $\Delta v/\Delta t$ 在 $\Delta t \to 0$ 时的极限，也就是加速度关于时间的函数 $a(t)$ 是 $v(t)$ 的导函数。也就是说，$a(t)$ 是 $x(t)$ 的导函数的导函数，称为二阶导数。这样就产生了高阶导数的概念，类似地也有 $N$ 阶导数。

　　 然而在速度和加速度的例子中，如果考虑曲线运动，也就是二维平面和三维空间中的一般运动时，位置关于时间的函数就变成了一个向量函数 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} (t)$。注意我们用粗体加正体表示向量，下同。所以我们有必要复习一下几何向量的运算，然后学习如何对一个向量函数求导。例如，高中对匀速圆周运动的向心加速度的推导过程中就运用了几何微元法计算向量速度 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} = \Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} /\Delta t$ 的极限。在微积分中，向量函数 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} (t)$ 就是 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} (t)$ 的导函数。学习微积分以后，我们就可以直接用求导的方法计算圆周运动的速度和圆周运动的加速度了，更一般地，我们可以计算任意变速曲线运动的速度和加速度，这是不通过微积分无法做到的。学习微积分后，我们就能考虑物理中更一般的问题而不是某几个特定的问题。

3. 积分

　　 高中物理中，位移（向量）$ \boldsymbol{\mathbf{s}} $ 等于速度 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 乘以时间 $t$，功 $W$ 等于力 $F$ 乘以位移 $ \boldsymbol{\mathbf{s}} $ 在力方向的投影等概念都已经耳熟能详。然而如果速度随时间变化或者力随位置变化时，就不能用简单的乘法来计算这些问题。这时一个基本的思想就是把时间或位移划分成许多小份，每份中的速度或力都近似为恒定不变，然后再把所有小份的位移或做功加起来即可。这时用极限的思想，求出当这些小份为无穷小（或者说分成无穷多份）时求和的极限，就得到了总位移和总功，这个过程叫做定积分。注意在 “极简微积分” 系列中，所有的定积分都是指黎曼积分，适用范围更广的勒贝格积分不在该系列的范围。

　　 牛顿—莱布尼兹公式告诉我们，函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的定积分是 $f$ 的任意一个 “原函数” 在 $a, b$ 两点的值之差（$f$ 是原函数的导函数）。因此我们发现要求函数的定积分，我们可以先求解函数的原函数，这个方法被称为不定积分（极简微积分）。

4. 微分方程

　　 大量的物理定律和问题都是通过微分方程（组）来描述的。最简单的微分方程是线性常微分方程，是函数 $y(x)$ 及不同阶导 $y'(x)$，$y''(x)$ 以及自变量 $x$ 组成的等式。例如力学中著名的弹簧振子（又称简谐振子）模型就是通过二阶线性常微分方程（二阶代表方程中出现的最高阶导数为 2）来描述的。

1. ^ 一般认为牛顿和莱布尼兹都分别在十七世纪中独立地发明了微积分，然而他们都声称对方窃取了自己的成果，并为此争执了一生。
2. ^ 也可以用类似 Mathematica 的 Wolfram Alpha 网站。Wolfram Alpha 可以在浏览器中免费使用，而 Mathematica 需要购买并安装。