函数的极限(简明微积分)

                     

贡献者: ACertainUser; addis; JierPeter

预备知识 数列的极限(简明微积分),充分必要条件,函数

1. 引入

   我们先看一些简单的例子,以初步了解 “极限” 的概念.

例 1 

  

图
图 1:$f(x)=\frac{ \sin\left(x\right) }{x}$ 的图像

   思考一下 $f(x)=\frac{ \sin\left(x\right) }{x}$ 这一经典函数在原点附近的值.

   众所周知,当 $x=0$ 时,由于分母为 $0$,该分数没有意义;但当 $x$ 趋近于 $0$($x=0.1,x=0.01,...$)而不等于 $0$ 时,有趣的事情发生了:如图 1 所示,此时分数的值似乎趋于一个确定的值 $1$.

表1:x 与 f(x)
$x$ $0.1$ $0.01$ $0.001$
$f(x)$ $0.9983$ $0.99998$ $0.9999998$

   看起来,尽管我们不能定义 $f(x)$ 在零点处的值,但是我们知道,当 $x$ 趋近于 $0$ 时,$f(x)$ 趋近于 $1$. 因此,我们说 $\lim_{x\to0}\frac{sin(x)}{x}=1$

例 2 

图
图 2:$f(x)=\frac{1}{x}$ 的图像 (x>0)

   然后,我们再看看 $f(x)=\frac{1}{x}$ 另一经典函数的图像.我们还是知道,两个正数的商始终大于零;但当 $x$足够大时,$\frac{1}{x}$ 会足够小以至趋于 $0$. 因此,我们说 $\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0$.

2. 自变量趋于无穷的极限

   实函数 $f(x)$ 可以看成是一种 “连续” 的数列,只不过把元素编号从离散的 $n$ 改为连续的 $x$.类比数列的极限,我们也可以定义函数趋于正无穷的极限

定义 1 函数趋于正无穷的极限

   考虑实函数 $f(x)$.若无论要求 $f(x)$ 和一确定实数 $A$ 的距离 $\epsilon$ 有多小(但 $\epsilon > 0$),都存在 实数 $X$,使得所有 $x > X$ 都满足 $ \left\lvert f(x)-A \right\rvert < \epsilon$,那么我们说 $A$ 是函数 $f(x)$ 在 $x$ 趋于正无穷时的极限,记为

\begin{equation} \lim\limits_{x\to +\infty} f(x) = A \end{equation}

   可以看到该定义和数列极限的定义(定义 1 )非常相似,只是简单做了替换.不过,函数并不是简单地把数列的概念拓展到连续的情况.数列的编号只能朝着一个方向增大,但函数的自变量 $x$ 既可以趋近正无穷也可以奔向负无穷,

图
图 3:对于任意一个 $\epsilon$,都存在对应的 $X$.仿自 [4]

习题 1 

   请仿照定义 1 给出函数趋于负无穷时极限的定义

\begin{equation} \lim\limits_{x\to -\infty} f(x) = A \end{equation}

3. 自变量趋于一点的的极限

   另外,由于 $x$ 是连续取值的,也可以考察自变量 $x$ 不断趋近某一点 $x_0$ 的极限,即 $x\to x_0$.如何描述 “自变量趋于一个给定的实数 $x_0$” 呢?只需要取自变量 $x$ 使得二者间的距离 $ \left\lvert x-x_0 \right\rvert $ 越来越接近 $0$ 即可.

定义 2 函数在某点的极限

   考虑实函数 $f(x)$.若无论要求 $f(x)$ 和确定实数 $A$ 的距离 $\epsilon > 0$ 有多小,都存在一个自变量的取值半径 $\delta > 0$,使得只要 $ \left\lvert x-x_0 \right\rvert < \delta$,就有 $ \left\lvert f(x)-\delta \right\rvert < \epsilon$, 那么我们说 $A$ 是函数 $f(x)$ 在 $x$ 趋于 $x_0$ 时的极限,记为

\begin{equation} \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A \end{equation}

图
图 4:对于任意一个 $\epsilon$,都存在对应的 $\delta$.仿自 [4]

例 3 

   求一些简单的函数在某个值处的极限时,通常可以直接代入数值计算,如

\begin{equation} \lim_{x\to 1} 2x + 1 = 3 \qquad \lim_{x\to 2}\frac{x + 1}{x + 2} = \frac34 \end{equation}

   当无穷大与常数相加时,可以忽略常数,如

\begin{equation} \lim_{x\to +\infty} \frac{x + 1}{2x + 2} = \lim_{x\to +\infty} \frac{x}{2x} = \frac12 \end{equation}

   如果你想要处理更复杂的极限问题,那你可以参考求极限的一些方法.不过,其中部分方法已经超出了初学者的(以及 “简明微积分” 所意图介绍的)知识范围.

左、右极限

   我们还可以区分函数在某点的左极限(left limit)右极限(right limit).简而言之就是 $x$ 分别从左边和右边两个方向趋近 $x_0$ 时的极限,具体定义留做思考.左右极限记为

\begin{equation} \lim_{x\to x_0^-} f(x) = A_- \qquad \lim_{x\to x_0^+} f(x) = A_+ \end{equation}

定理 1 

   函数在某点存在极限的充分必要条件是它左右极限都存在并相等. $$\lim_{x\to x_0} f(x) = A \Leftrightarrow \lim_{x\to x_0^-} f(x) = \lim_{x\to x_0^+} f(x) = A $$

   也就是说,若左(或右)极限不存在,或者左右极限存在但不相等,那此处的极限就不存在.

例 4 

图
图 5:函数 $\theta(x)$ 的图像

   函数

\begin{equation} \theta(x) = \left\{\begin{aligned} 0 \qquad (x < 0)\\ 1 \qquad (x \ge 0) \end{aligned}\right. \end{equation}

   计算左极限 $\lim_{x\to x_0^-} \theta(x)$ 时,假定 x 从左侧不断接近 $0$($x=-0.1,x=-0.01,...$),但从不超过(也不等于)$0$.此时总有 $x < 0$,因此 $\lim_{x\to x_0^-} \theta(x) = 0$.

   同理,$\lim_{x\to x_0^+} \theta(x) = 1$

   由于左右极限不相同,因此 $\theta(x)$ 在 $x=0$ 处的极限不存在.

某点处函数的极限值与函数值

   新手最常犯的错误莫过于过度纠结某处的函数极限值 $\lim_{x\to x_0} f(x)$ 与函数值 $f(x_0)$ 的联系.事实上,这两者之间没有必要的关联1.$f(x_0)$ 可以不等于 $\lim_{x\to x_0} f(x)$,$f(x)$ 甚至可以在 $x_0$ 处没有定义.总之,某处的函数极限值并不依赖于该点处的函数值.

   这是因为定义中只考虑 $x$ 慢慢接近 $x_0$ 的过程,而不考虑 $x = x_0$ 的情况.即使我们把这点从函数定义域中挖去,极限是否存在,以及极限值是多少都不会被改变.例如在例 1 与在 “小角正弦极限” 中会看到,虽然 $\sin x/ x$ 在 $x = 0$ 处没有定义,但其极限却等于 $1$.

例 5 可去间断点

图
图 6:函数 f(x)的图像

   函数

\begin{equation} f(x) = \left\{\begin{aligned} x \qquad (x \ne 1)\\ 1.5 \qquad (x = 1) \end{aligned}\right. \end{equation}
计算 $\lim_{x\to 1} f(x)$ 时,由于只考虑 $x=1$ 附近的情况、而不考虑 $x=1$ 本身的情况,因此 $\lim_{x\to 1} f(x)$ 的结果与 $f(1)$ 的值无关.在本例中,$\lim_{x\to 1} f(x)=1$, 而 $f(1)=1.5$.

4. 极限的基本性质与运算法则

   下面列出一些函数极限的定理,从直觉上来看它们是显然的,证明略,感兴趣的读者可以尝试自己证.

定理 2 极限的四则运算

   若两个函数分别存在极限 $\lim_{x\to a} f(x)$ 和 $\lim_{x\to a} g(x)$($a$ 可取 $\pm \infty$),那么有

\begin{equation} \lim_{x\to a} [f(x) \pm g(x)] = \lim_{x\to a}f(x) \pm \lim_{x\to a} g(x) \end{equation}
\begin{equation} \lim_{x\to a} [f(x) g(x)] = \lim_{x\to a}f(x) \lim_{x\to a} g(x) \end{equation}
\begin{equation} \lim_{x\to a} [f(x)/g(x)] = \lim_{x\to a}f(x)/\lim_{x\to a} g(x) \qquad (\lim_{x\to a} g(x) \ne 0) \end{equation}
注意,可以四则运算的前提是参与运算的各个极限均存在.

定理 3 局部保号性、保序性

   局部保号性:

\begin{equation} \lim_{x\to x_0}f(x)=A > 0\Rightarrow \exists \mathring{U} (x_0), \forall x \in U(x_0), f(x) > 0 \end{equation}

   局部保序性:

\begin{equation} \lim_{x\to x_0}f(x)=A > 0 \Rightarrow \exists \mathring{U} (x_0), \forall x \in U(x_0), f(x) > A/2 \end{equation}

   $\mathring{U} (x_0)$ 指 $x_0$ 附近的一个小区间,但不包括 $x_0$ 自身,也称去心区间.“去心” 这个词让我想到 “比干挖心” 的传说故事

   这是一组简单的、但却有点难以理解的结论.在处理一些刁钻的问题时,局部保号、保序性偶尔会派上用场.通俗地说,这意味着若 $\lim_{x\to x_0}f(x)=A$,则 $x$ 在 $x_0$ 附近时,$f(x)$ 的函数值也会收缩到 $A$ 附近.

图
图 7:在 $(x_0-\delta, x_0+\delta)$ 区间内,$f(x) > 0$. 仿自 [4]

   局部保号性的一个幼稚 “证明”:如图 7 所示(其实就是图 4 ),我们总能取一个 $\varepsilon_1 \in (0,A)$,极限的定义保证了我们总能找到对应的 $\delta_1$.显然,在 $(x_0-\delta_1, x_0+\delta_1)$ 这个小去心区间2(即 $\mathring{U} ({x_0})$)内,有 $f(x) > 0$.

   同理,将选取 $\varepsilon$ 的区间改为 $(0,A/2)$,我们就能找到相应的、使 $f(x) > A/2$ 的区间,即说明了局部保序性.原则上,由此可导出更广义的局部保序性,即总存在 $f(x) > A/3,A/4,A/5,...$ 的区间.


1. ^ 对于连续函数,才有 $\lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0)$.然而,大多数常见的函数都是连续函数,这使得这个问题更具迷惑性
2. ^ 严格来说,或许应该写为 $(x_0-\delta_1,x_0)\cup(x_0, x_0+\delta_1)$,不过在正文中这么写实在太繁琐了,也不利于把握重点


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