函数的极限(简明微积分)

             

贡献者: addis; JierPeter

预备知识 数列的极限(简明微积分),充分必要条件,函数

   实函数 $f(x)$ 可以看成是一种 “连续” 的数列,只不过把元素编号从离散的 $n$ 改为连续的 $x$.类比数列的极限,我们也可以定义函数趋于正无穷的极限

定义 1 函数趋于正无穷的极限

   考虑实函数 $f(x)$.若无论要求 $f(x)$ 和一确定实数 $A$ 的距离 $\epsilon$ 有多小(但 $\epsilon > 0$),都存在 实数 $X$,使得所有 $x > X$ 都满足 $ \left\lvert f(x)-A \right\rvert < \epsilon$,那么我们说 $A$ 是函数 $f(x)$ 在 $x$ 趋于正无穷时的极限,记为

\begin{equation} \lim\limits_{x\to +\infty} f(x) = A \end{equation}

   可以看到该定义和数列极限的定义(定义 1 )非常相似,只是简单做了替换.不过,函数并不是简单地把数列的概念拓展到连续的情况.数列的编号只能朝着一个方向增大,但函数的自变量 $x$ 既可以趋近正无穷也可以奔向负无穷,另外,由于 $x$ 是连续取值的,也可以考察自变量 $x$ 不断趋近某一点 $x_0$ 的极限,即 $x\to x_0$.

  

未完成:画图,画出函数曲线,距离要求就是两条直线之间的范围,等等

习题 1 

   请仿照定义 1 给出函数趋于负无穷时极限的定义

\begin{equation} \lim\limits_{x\to -\infty} f(x) = A \end{equation}

   如何描述 “自变量趋于一个给定的实数 $x_0$” 呢?只需要取自变量 $x$ 使得二者间的距离 $ \left\lvert x-x_0 \right\rvert $ 越来越接近 $0$ 即可.

定义 2 函数在某点的极限

   考虑实函数 $f(x)$.若无论要求 $f(x)$ 和确定实数 $A$ 的距离 $\epsilon > 0$ 有多小,都存在一个自变量的取值半径 $\delta > 0$,使得只要 $ \left\lvert x-x_0 \right\rvert < \delta$,就有 $ \left\lvert f(x)-\delta \right\rvert < \epsilon$, 那么我们说 $A$ 是函数 $f(x)$ 在 $x$ 趋于 $x_0$ 时的极限,记为

\begin{equation} \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A \end{equation}

  

未完成:画图,画出函数曲线,距离要求就是两条直线之间的范围,等等

例 1 

   求一些简单的函数在某个值处的极限时,通常可以直接代入数值计算,如

\begin{equation} \lim_{x\to 1} 2x + 1 = 3 \qquad \lim_{x\to 2}\frac{x + 1}{x + 2} = \frac34 \end{equation}

   当无穷大与常数相加时,可以忽略常数,如

\begin{equation} \lim_{x\to +\infty} \frac{x + 1}{2x + 2} = \lim_{x\to +\infty} \frac{x}{2x} = \frac12 \end{equation}

   但注意 $x\to x_0$ 的极限并不要求函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 这点有定义,因为定义中只考虑 $x$ 慢慢接近 $x_0$ 的过程,而不考虑 $x = x_0$ 的情况.即使我们把这点从函数定义域中挖去,极限是否存在,以及极限值是多少都不会被改变.例如以后在 “小角正弦极限” 中会看到,虽然 $\sin x/ x$ 在 $x = 0$ 处没有定义,但其极限却等于 $1$.

   我们还可以区分函数在某点的左极限(left limit)右极限(right limit).简而言之就是 $x$ 分别从左边和右边两个方向趋近 $x_0$ 时的极限,具体定义留做思考.左右极限记为

\begin{equation} \lim_{x\to x_0^-} f(x) = A_- \qquad \lim_{x\to x_0^+} f(x) = A_+ \end{equation}

例 2 

   函数

\begin{equation} \theta(x) = \left\{\begin{aligned} 0 \qquad (x < 0)\\ 1 \qquad (x \ge 0) \end{aligned}\right. \end{equation}
在 $x_0 = 0$ 处的左右极限分别为 $0$ 和 $1$,但它在 $x_0 = 0$ 处不存在极限.

   下面列出一些函数极限的定理,从直觉上来看它们是显然的,证明略,感兴趣的读者可以尝试自己证.

定理 1 

   函数在某点存在极限的充分必要条件是它左右极限都存在并相等.

定理 2 

   若两个函数分别存在极限 $\lim_{x\to a} f(x)$ 和 $\lim_{x\to a} g(x)$($a$ 可取 $\pm \infty$),那么有

\begin{equation} \lim_{x\to a} [f(x) \pm g(x)] = \lim_{x\to a}f(x) \pm \lim_{x\to a} g(x) \end{equation}
\begin{equation} \lim_{x\to a} [f(x) g(x)] = \lim_{x\to a}f(x) \lim_{x\to a} g(x) \end{equation}
\begin{equation} \lim_{x\to a} [f(x)/g(x)] = \lim_{x\to a}f(x)/\lim_{x\to a} g(x) \qquad (\lim_{x\to a} g(x) \ne 0) \end{equation}


广告

         

如果您喜欢小时百科, 请考虑打赏

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利