牛顿—莱布尼兹公式（极简微积分）

                     

贡献者： addis

预备知识　不定积分，定积分，一元函数的微分（极简微积分）

　　 牛顿—莱布尼兹公式描述了定积分和不定积分的关系。我们已知不定积分是求导的逆运算，而定积分是函数曲线与 $x$ 轴之间的面积，二者乍看起来没什么联系，但牛顿—莱布尼兹公式却揭示了了二者之间的重要关系。1

　　 若 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则

\begin{equation} \int_a^b f(x) \,\mathrm{d}{x} = F(b) - F(a)~. \end{equation}

1. 幼稚的推导

　　 这里给出一个比较直观的推导方法，可能对初学者有一定启发或者帮助记忆，但以后会看到这是不严谨的。

图
图 1：右图中 $f(x)$ 的原函数为左图中的 $F(x)$，当步长趋近 0 时，右图中的长方形面积趋近于左图中小竖线的长度。

　　

未完成：图中 d 应该改为 $\Delta$

　　 如图 1 ，根据定积分的定义，有2

\begin{equation} \int_a^b f(x) \,\mathrm{d}{x} = \lim_{\Delta x_i\to 0}\sum_i f(x_i)\Delta x_i~. \end{equation}
其中 $f(x_i)\Delta x_i$ 可看成是右图中第 $i$ 个小矩形的面积，求和是对从 $a$ 到 $b$ 的所有小矩形求和。现在不妨把 $x_i$ 设为第 $i$ 个小矩形左端3的 $x$ 坐标。考虑到求导是不定积分的逆运算，有 $f(x_i)=F'(x_i)$，所以小矩形的面积变为
\begin{equation} f(x_i)\Delta x_i = F'(x_i)\Delta x_i \approx \Delta F_i = F(x_{i+1})-F(x_i)~, \end{equation}
等式右边就是左图中的第 $i$ 条垂直线段的长度。式子中的约等号使用了微分近似（子节 1 ）。该式可以理解成，右图中的小矩形面积约等于左图中的小竖线长度，即原函数 $F(x)$ 在 $x_i$ 到 $x_{i+1}$ 间的增量。当取极限 $\Delta x_i \to 0$ 时，上式取等号。代回式 1 ，有
\begin{equation} \int_a^b f(x) \,\mathrm{d}{x} = \lim_{\Delta x_i\to 0}\sum_i [F(x_{i+1})-F(x_i)] = F(b)-F(a)~. \end{equation}
该式可理解为，如果把左图中每一段 $\Delta x_i$ 所对应的微小增量（垂直小线段的长度）$\Delta F_i$ 都加起来，再取极限 $\Delta x_i \to 0$，就是 $F(x)$ 从 $a$ 到 $b$ 的总增量。在计算定积分的过程中，为了书写简洁，我们往往将上式中的 $F(b) - F(a)$ 记为 $ \left. F(x) \right\rvert _a^b$。

例 1　计算定积分

\begin{equation} \int_{-l}^l \sin^{2}\left(\frac{n\pi}{l} x\right) \,\mathrm{d}{x} ~. \end{equation}

图
图 2：$y = \sin^{2}\left(\pi x/l\right) $ 的定积分，阴影面积恰好是长方形的一半。

　　 先计算对应的不定积分。由积分表 中的式 13 结合式 1 得不定积分为

\begin{equation} \int \sin^{2}\left(\frac{n\pi}{l} x\right) \,\mathrm{d}{x} = \frac{l}{2n\pi} \left[\frac{n\pi}{l} x - \sin\left(\frac{n\pi}{l} x\right) \cos\left(\frac{n\pi}{l} x\right) \right] ~, \end{equation}
再利用牛顿—莱布尼兹公式求定积分结果为 $l$。计算该定积分还有另一种更简单的几何方法（见图 2 ），由于被积函数的对称性，函数曲线可将区间 $[-l,l]$ 内高为 1 的长方形（面积为 $2l$）划分成等面积的上下两部分，曲线下方的面积 $l$ 就是定积分的结果。

例 2　圆的面积

　　 现在我们可以用例 2 中列出的两个定积分计算圆的面积。先看第一个定积分，由积分表式 17 得

\begin{equation} \int \sqrt{R^2 - x^2} \,\mathrm{d}{x} = \frac12 \left(x\sqrt{R^2 - x^2} + R^2\arcsin\frac{x}{R} \right) + C~. \end{equation}
由牛顿—莱布尼兹公式，$-R$ 到 $R$ 的定积分为 $\pi R^2/2$，所以圆的面积为 $\pi R^2$。

　　 第二个定积分要简单得多，由幂函数的积分式 2 和牛顿—莱布尼兹公式得

\begin{equation} \int_0^R 2\pi r \,\mathrm{d}{r} = \pi \left. r^2 \right\rvert _0^R = \pi R^2~. \end{equation}

例 3　球壳与球盖的面积

　　 现在我们可以直接求例 3 中的积分

\begin{equation} S = 2\pi R^2 \int_0^{\pi} \sin\theta \,\mathrm{d}{\theta} = 2\pi R^2 \left. (-\cos\theta) \right\rvert _0^\pi = 4\pi R^2~. \end{equation}
我们还可以将积分上下限任意改变，得到球面上一个环形曲面的面积
\begin{equation} S = 2\pi R^2 \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sin\theta \,\mathrm{d}{\theta} = 2\pi R^2 (\cos{\theta_1} - \cos{\theta_2})~. \end{equation}
当 $\theta_1 = 0$ 且 $\theta_2 = \alpha$ 时，我们就得到了球盖的面积
\begin{equation} S = 2\pi R^2 (1 - \cos\alpha)~. \end{equation}

2. 对定积分上下限求导

　　 有时候我们会需要对定积分的上下限求导，例如

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \int_a^x f(t) \,\mathrm{d}{t} ~. \end{equation}
我们可以先对定积分用牛顿莱布尼兹公式，令原函数为 $F(x)$，有
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \int_a^x f(t) \,\mathrm{d}{t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \left[F(x) - F(a) \right] = f(x)~. \end{equation}

　　 类似地，对积分下限求导如

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \int_x^a f(t) \,\mathrm{d}{t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \left[F(a) - F(x) \right] = -f(x)~. \end{equation}
或者对上下限同时求导如
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \int_{-x}^{x} f(t) \,\mathrm{d}{t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \left[F(x) - F(-x) \right] = f(x) + f(-x)~. \end{equation}

1. ^ 注意在 “极简微积分” 系列中，定积分仅限于黎曼积分。但牛顿—莱布尼兹公式同样适用于更广义的勒贝格积分。
2. ^ 这里假设极限存在。
3. ^ 其实把 “左端” 改成 “右端” 或 “中点” 等也不影响结论。


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