数列的极限(简明微积分)

             

贡献者: addis; JierPeter

   微积分的核心概念是极限(limit),而极限最基础的情形是数列的极限.数列是离散的,比较容易理解,而所有与极限有关的概念也都可以从数列的极限拓展得到.先来看一个数列的例子. 注意只有无穷数列具有极限.

例 1 

   我们知道 $\pi$ 是一个无理数,所以 $\pi$ 的小数部分是无限多的.目前用计算机已经可以将 $\pi$ 精确地计算到小数点后数亿位.然而在实际应用中,往往只用取前几位小数的近似即可.下面给出一个数列,定义第 $n$ 项是 $\pi$ 的前 $n$ 位小数近似(不考虑四舍五入),即

\begin{equation} a_0 = 3,\,\, a_1 = 3.1,\,\, a_2 = 3.14,\,\, a_3 = 3.141,\,\dots. \end{equation}

   这个数列显而易见的性质,就是当 $n$ 趋于无穷时,$a_n$ 趋于 $\pi$.无穷(infinity)用符号 $\infty$ 来表示.我们说该数列的极限值是 $\pi$,也可以简称极限(limit).以上这种情况,用极限符号表示,就是

\begin{equation} \lim_{n \to \infty } {a_n} = \pi \end{equation}
这里 $\lim$ 是极限的数学符号,下方用箭头表示某个量 “无止境” 变化的过程.对于数列而言,唯一的 “无止境” 变化就是项标 $n$ 不断增加,所以数列只有一种极限.

   $\lim\limits_{n \to \infty }$ 在这里相当于一个 “操作”,叫算符(operator).它作用在整个数列上,并输出一个数,也就是数列的极限值.这有些类似于函数输入一个自变量并输出一个因变量,只不过自变量从数换成了数列.所以不要误以为这条式子是说当 $n = \infty$ 时,有1 $a_n=\pi$,而要理解成数列 $a_n$ 经过算符 $\lim\limits_{n \to \infty }$ 的作用以后,得出的结果是 $\pi$.类比函数 $\sin x = y$,并不是说 $x=y$,而是说 $x$ 经过正弦函数作用后等于 $y$.所以从概念上来说,极限中的 “趋于” 和 “等于” 是不同的.趋于是数列整体的性质,而不是某一个项性质.

   我们可以总结出以上数列的一个性质,并把它作为数列极限的一般定义.具有极限的数列最显著的特征是,随着 $n$ 增加,后面的所有项都越来越接近极限值.可是一个难点在于如何定义 “越来越接近”.先看一个错误的理解:考虑数列

\begin{equation} a_1 = 3.21,\ a_2 = 3.201,\ a_3 = 3.2001,\ a_4 = 3.20001, \dots \end{equation}
这个数列也同样越来越接近 $\pi$,但直觉告诉我们,它的极限是 $3.2$ 而不是 $\pi$.

   既然要讨论有多接近,那就要定义距离.我们可以把第 $a_n$ 和极限值 $\pi$ 的距离用绝对值定义为 $ \left\lvert a_n - \pi \right\rvert $.对式 1 的数列,可以发现无论我们要求这个距离有多小,当 $n$ 大到一定程度的时候就总能满足这个要求.例如要求 $ \left\lvert a_n - \pi \right\rvert < 10^{-2}$,容易发现 $n > 1$ 时就总能满足;又例如要求 $ \left\lvert a_n - \pi \right\rvert < 10^{-10}$,容易发现 $n > 9$ 时就总能满足.一般地如果要求 $ \left\lvert a_n - \pi \right\rvert < 1 \times 10^{-q} $($q$ 为整数),只要 $n > q-1$ 就总能满足.这就意味着 $\lim\limits_{n \to \infty } a_n = \pi$.

   有了这个定义,我们就可以轻易地判断式 3 的极限不是 $\pi$.因为无论 $n$ 为多大,总是有 $ \left\lvert a_n - \pi \right\rvert > 3.2 - \pi$.所以如果要求一个比这更小的距离,那么就没有任何 $n$ 可以满足.

定义 1 数列的极限

   考虑实数数列 $a_1, a_2, \dots, a_n, \dots$,若无论要求项 $a_n$ 和一给定实数 $A$ 的距离 $ \left\lvert a_n - A \right\rvert $ 有多小(不为零),都存在对应的不等式 $n > N$($N$ 是一确定的整数)来满足,那么该数列的极限就是 $A$.

图
图 1:数列的极限(查看动画):图中每点代表数列的一项,数列的极限值为 $1$,红色区域表示对距离 $ \left\lvert a_n - A \right\rvert $ 的要求,满足要求的 $a_n$ 为红色,不满足的为蓝色.无论红色区域有多窄(只要不为零),总能找到一个不等式 $n > N$ 使之后所有的点都是红色.

   我们来看几个简单的例题,加深一下印象.

例 2 

   考虑数列 $a_n= {(-1)^n}/{2^n}$.根据定义可证明 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$.

   一些数列不存在极限:

例 3 

   考虑数列 $a_n = n$ 以及 $a_n=(-1)^n$.它们存在极限吗?

定义 2 数列的敛散性

   如果一个数列不存在极限,就称它是发散(divergent)的.如果存在极限,则称它是收敛(convergent)的.

例 4 

   容易发现数列的极限和前面有限项的值都无关,例如把式 1 中的前三项改成 $0$,那么该数列的极限仍然是 $\pi$.

例 5 

   根据定义,数列极限也并不要求 $n\to \infty$ 时数列的项不能等于极限值,例如数列

\begin{equation} b_0 = 3.3,\,\, b_1 = 3.2, \,\, b_2 = \pi, \,\, b_3 = \pi, \,\, b_n = \pi \;\; (n \ge 2) \end{equation}
当 $n \ge 2$ 时所有的项都等于 $\pi$,那么根据定义 1 他的极限显然也是 $\pi$.因为令 $n > 1$ 即可满足定义中对距离的任何限制.

例 6 

   注意存在极限的数列未必要求距离 $ \left\lvert a_n - A \right\rvert $ 是严格递减的,例如数列

\begin{equation} \frac{1}{2},\;\; \frac{1}{4},\;\; \frac{1}{3},\;\; \frac{1}{5},\;\; \frac{1}{4},\;\; \frac{1}{6},\;\; \dots \end{equation}
的极限是 $0$.


1. ^ 有两个理由可以说明这种理解不正确:首先,按定义,每个 $a_n$ 都是有理数,而 $\pi$ 是无理数,所以不应该有任何一个 $a_n=\pi$;其次,$\infty$ 不是一个实数,不存在 $n=\infty$ 的说法.这里的 $n\to\infty$ 只是表示 $n$ 无限增加的过程.


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