数列的极限（极简微积分）

贡献者： addis; Connection; JierPeter; Giacomo; 欄、停敘

　　微积分的核心概念是极限（limit），常见的极限有数列的极限以及函数的极限。数列是离散的，比较容易理解。事实上，数列就是一种特殊的函数(定义域为 $N^{*}$ )。

　　我们通过一些例子引入。

例 1　圆周率

　　我们知道 $π$ 是一个无理数，所以 $π$ 的小数部分是无限多的。目前用计算机已经可以将 $π$ 精确地计算到小数点后数亿位。然而在实际应用中，往往只用取前几位小数的近似即可。下面给出一个数列，定义第 $n$ 项是 $π$ 的前 $n$ 位小数近似（去尾），即

\begin{matrix} (1) & a_{0} = 3, a_{1} = 3.1, a_{2} = 3.14, a_{3} = 3.141, \dots \end{matrix}

　　显而易见，当 $n$ 趋于无穷时， $a_{n}$ 趋于 $π$ 。无穷（infinity）用符号 $\infty$ 来表示。我们说该数列的极限值是 $π$ ，也可以简称极限（limit）。以上这种情况，用极限符号表示，就是

\begin{matrix} (2) & lim_{n \to \infty} a_{n} = π . \end{matrix}

这里

lim

是极限的数学符号，下方用箭头表示某个量 “无止境” 变化的过程。对于数列而言，唯一的 “无止境” 变化就是项标

n

不断增加。

　　 $lim_{n \to \infty}$ 在这里相当于一个 “操作”，叫做算符（operator）。它作用在整个数列上，并输出一个数，也就是数列的极限值。这有些类似于函数输入一个自变量并输出一个函数值，只不过 $lim$ 算符的自变量从数换成了数列。所以不要误以为式 2 是说当 $n = \infty$ 时，有¹ $a_{n} = π$ ，而要理解成数列 $a_{n}$ 经过算符 $lim_{n \to \infty}$ 的作用以后，得出的结果是 $π$ 。类比函数 $\sin x = y$ ，是说 $x$ 经过正弦函数作用后等于 $y$ 。所以从概念上来说，极限中的 “趋于” 和 “等于” 是不同的。趋于是数列整体的性质，而不是某一个项性质。

　　我们可以总结出以上数列的一个性质，并把它作为数列极限的一般定义。具有极限的数列最显著的特征是，随着 $n$ 增加，后面的所有项都越来越接近极限值。可是一个难点在于如何定义 “越来越接近”。先看一个错误的理解：考虑数列

\begin{matrix} (3) & a_{1} = 3.21, a_{2} = 3.201, a_{3} = 3.2001, a_{4} = 3.20001, \dots \end{matrix}

这个数列也同样越来越接近

π

，但直觉告诉我们，它的极限是

3.2

而不是

π

。

　　既然要讨论有多接近，那就要定义距离。我们可以把第 $a_{n}$ 和极限值 $π$ 的距离用绝对值定义为 $| a_{n} - π |$ 。对式 1 的数列，可以发现这个距离不光是越来越小，而且想要多小就有多小。例如要求 $| a_{n} - π | < 10^{- 2}$ ，容易发现 $n > 1$ 时就总能满足；又例如要求 $| a_{n} - π | < 10^{- 10}$ ，容易发现 $n > 9$ 时就总能满足；一般地如果要求 $| a_{n} - π | < 10^{- q}$ （ $q$ 为整数），只要 $n > q - 1$ 就总能满足，这就意味着 $lim_{n \to \infty} a_{n} = π$ 。

　　有了这个定义，我们就可以轻易地判断式 3 的极限不是 $π$ 。因为无论 $n$ 为多大，总是有 $| a_{n} - π | > 3.2 - π > 0.05$ ，所以如果要求一个比这更小的距离，那么就没有任何 $n$ 可以满足。

定义 1　数列的极限

　　考虑无穷项的实数数列 $a_{1}, a_{2}, \dots$ ，若存在一个实数 $A$ ，使得：无论多么小的正数 $ε$ ，总存在正整数 $N$ ，对任意 $n > N$ 都满足 $| a_{n} - A | < ε$ ，则该数列的极限就是 $A$ 。

图 1：数列的极限（查看动画）：图中每点代表数列的一项，数列的极限值为

1

，红色区域表示对距离

| a_{n} - A |

的要求，满足要求的

a_{n}

为红色，不满足的为蓝色。无论红色区域有多窄（只要不为零），总能找到一个不等式

n > N

使之后所有的点都是红色。

　　我们来看几个简单的例题，加深一下印象。

例 2　根据定义证明对数列 $a_{n} = (- 1)^{n} \frac{1}{2^{n}}$ ， $lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$

　　证明：

　　对任意 $ε$ ，取 $N = [- \log_{2} ε]$ ，则 $n > N$ 时有 $n > - \log_{2} ε$ ，即 $2^{- n} < ε$ 。又 $| a_{n} - 0 | = 2^{- n}$ 。

　　因此，对任意 $ε$ ，存在 $N = [- \log_{2} ε]$ ，使得当 $n > N$ 时， $| a_{n} - 0 | < ε$ 。根据定义有 $lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ 。

　　一些数列不存在极限：

习题 1　

　　考虑数列 $a_{n} = n$ 以及 $a_{n} = (- 1)^{n}$ 。它们存在极限吗？

定义 2　数列的敛散性

　　如果一个数列不存在极限，就称它是发散（divergent）的。如果存在极限，则称它是收敛（convergent）的。

例 3　

　　容易发现数列的极限和前面有限项的值都无关，例如把式 1 中的前 10 项都改成 $0$ ，那么该数列的极限仍然是 $π$ 。把前一万项改成 $0$ 也同理。

例 4　

　　根据定义，数列极限也并不要求 $n \to \infty$ 时数列的项不能等于极限值，例如数列

\begin{matrix} (4) & b_{0} = 3.3, b_{1} = 3.2, b_{2} = π, b_{3} = π, b_{n} = π (n \geq 2) . \end{matrix}

当

n \geq 2

时所有的项都等于

π

，那么根据定义 1 他的极限显然也是

π

。因为令

n > 1

即可满足定义中对距离的任何限制。

例 5　

　　注意存在极限的数列未必要求距离 $| a_{n} - A |$ 是严格递减的，例如数列

\begin{matrix} (5) & \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{5}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6}, \frac{1}{5}, \frac{1}{7}, \dots \end{matrix}

的极限是

0

。

1. ^ 有两个理由可以说明这种理解不正确：首先，按定义，每个 $a_{n}$ 都是有理数，而 $π$ 是无理数，所以不应该有任何一个 $a_{n} = π$ ；其次， $\infty$ 不是一个实数，不存在 $n = \infty$ 的说法。这里的 $n \to \infty$ 只是表示 $n$ 无限增加的过程。

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数列的极限（极简微积分）

例 1 圆周率

定义 1 数列的极限

例 2 根据定义证明对数列 an=(−1)n12n，limn→∞an=0

习题 1

定义 2 数列的敛散性

例 3

例 4

例 5

例 1　圆周率

定义 1　数列的极限

例 2　根据定义证明对数列 $a_{n} = (- 1)^{n} \frac{1}{2^{n}}$ ， $lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$

习题 1　

定义 2　数列的敛散性

例 3　

例 4　

例 5　