自然对数底(简明微积分)

             

预备知识 极限,对数函数

   微积分中有一个重要的极限,极限值是一个无理数,叫做自然对数底,记为1 $ \mathrm{e} $.它是一个无限不循环小数

\begin{equation} \mathrm{e} \equiv \lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = 2.7182818284590452\dots \end{equation}
注意这里没有指定 $x\to 0$ 的方向,即无论 $x$ 正数或负数该式都成立.$ \mathrm{e} $ 也可以用无穷级数定义为
\begin{equation} \mathrm{e} \equiv \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} +\dots \end{equation}
我们把以 $ \mathrm{e} $ 为底的对数函数 $\log_e x$ 叫做自然对数函数,记为 $ \ln\left(x\right) $.可以证明两种定义是等效的.

   令 $k$ 为常数,可以把式 1 拓展得

\begin{equation} \lim_{x \to 0} (1 + kx)^{\frac{1}{kx}} = \mathrm{e} \end{equation}
当 $k = -1$ 时易得
\begin{equation} \lim_{x \to 0} (1 - x)^{\frac{1}{x}} = \left[\lim_{x \to 0} (1 - x)^{\frac{1}{-x}} \right] ^{-1} = \frac{1}{ \mathrm{e} } = 0.36787944117144232\dots \end{equation}

1. 数值验证

   这里先用数值的方法验证式 1 ,首先我们可以画出 $(1+x)^{1/x}$ 在原点附近的函数图,注意当 $x = 0$ 时,该函数无定义,但这并不妨碍极限的存在.可以看到,无论 $x$ 从左边还是右边趋近于原点(即左极限和右极限),结果都相等.

图
图 1:$(1+x)^{1/x}$ 的函数图

   表 1 用数值计算验证式 1 的右极限.

表1:极限 $ \mathrm{e} $ 数值验证(保留 6 位有效数字)
$x$ $10^{-1}$ $10^{-2}$ $10^{-3}$ $10^{-4}$ $10^{-5}$ $10^{-6}$
$(1 + x)^{1/x}$ $2.59374$ $2.70481$ $2.71692$ $2.71815$ $2.71827$ $2.71828$

2. 简单应用

预备知识 随机变量 概率分布函数

   为什么说自然对数底是 “自然” 的呢?我们来看两个例子.

例 1 银行利滚利

   如果一笔数量为 $x$ 的钱存入某银行后,银行的年利率是 $\lambda$,那么一年后取出来连本带利共得 $(1+\lambda)x$.假设银行规定,在 $y$ 年时($y$ 取任意正实数)取出来,则利率按照 $\lambda y$ 来计算.例如半年取出共得 $(1+\lambda/2)x$,若取出立刻存入,再过半年连本带利为

\begin{equation} (1+\lambda/2)^2 x = (1 + \lambda + \lambda^2/4)x > (1 + \lambda) x \end{equation}
比直接存一年要多.可以证明,存取越频繁,一年的总利息就越多,简单来说这是因为充分地进行了 “利滚利”.

   如果不停地存取,且每次存取间隔时间取极限 $y \to 0$,那么 $t$ 年后(取正实数)连本带利的极限是多少呢?首先 $t$ 年后存取的次数为 $t/y$,利用式 3

\begin{equation} x_t = \lim_{y\to 0}(1 + \lambda y)^{t/y} x = \left[\lim_{y\to 0}(1 + \lambda y)^{1/(\lambda y)} \right] ^{\lambda t} x = \mathrm{e} ^{\lambda t} x \end{equation}
这样自然对数底就 “自然” 地出现了.

   现实中,活期利息几乎都是按照 $ \mathrm{e} ^{\lambda t}$ 来计算的,这就可以避免不必要的存取.注意这时的实际年利率($t = 1$)就是 $ \mathrm{e} ^\lambda - 1$ 而不是 $\lambda$.以后在泰勒展开中,我们可以看到

\begin{equation} \mathrm{e} ^\lambda - 1 = \lambda + \frac{\lambda^2}{2!} + \frac{\lambda^3}{3!} + \dots \end{equation}
且当 $\lambda$ 很小时,$ \mathrm{e} ^\lambda - 1 \approx \lambda$.

例 2 彩票中奖概率分布

   假设某种彩票从 $t = 0$ 开始每隔 $\Delta t$ 开奖一次,开奖时每张彩票有 $\Delta P$ 的概率中奖,每张彩票可以参加任意多次抽奖2.令 $\lambda = {\Delta P}/{\Delta t}$,对每种彩票,$\lambda$ 是一个常数.为了让问题更连续,考虑极限 $\Delta t\to 0$ 的情况,若持有一张彩票,求第一次中奖时间概率分布 $f(t)$ 以及数学期望值.

   先考虑离散情况,画出概率树,在第 $N$ 次开奖时第一次中奖的概率为(注意要保证前 $N-1$ 次未中奖)

图
图 2:彩票中奖概率树

\begin{equation} \begin{aligned} P(N) &= (1-\Delta P)^{N-1} \Delta P\\ &= (1-\lambda\Delta t)^{\frac{t}{\Delta t}-1} \lambda\Delta t\\ &= [(1-\lambda\Delta t)^{\frac{1}{\lambda\Delta t}}]^{\lambda t} \frac{\lambda\Delta t}{1-\lambda\Delta t} \end{aligned} \end{equation}

   接下来,我们假设该彩票开奖的时间越来越短,但始终保持 $\lambda$ 不变.那么根据式 4 ,在极限 $\Delta t\to 0$ 下,上式中方括号等于 $1/ \mathrm{e} $,所以第一次中奖时间的概率密度为

\begin{equation} f(t) = \lim_{\Delta t\to 0} \frac{P(N)}{\Delta t} = \lambda \mathrm{e} ^{-\lambda t}\lim_{\Delta t\to 0} \frac{1}{1-\lambda\Delta t} = \lambda \mathrm{e} ^{-\lambda t} \end{equation}

图
图 3:第一次中奖时间概率密度函数

   可以验证归一化条件

\begin{equation} \int_0^{+\infty} f(t) \,\mathrm{d}{t} = \int_0^{+\infty} \lambda \mathrm{e} ^{-\lambda t} \,\mathrm{d}{t} = 1 \end{equation}
进而可以计算第一次中奖时间的数学期望为
\begin{equation} T = \int_0^{+\infty} t f(t) \,\mathrm{d}{t} = \int_0^{+\infty}t \lambda \mathrm{e} ^{-\lambda t} \,\mathrm{d}{t} = \frac{1}{\lambda} \end{equation}
也可以计算在时间 $[0, t]$ 内中奖的概率为
\begin{equation} P(t) = \int_0^{t} f(t') \,\mathrm{d}{t'} = 1 - \mathrm{e} ^{-\lambda t} \end{equation}

表2:中奖概率
累计时间 $t$ $T/3$ $T/2$ $T$ $2T$ $3T$ $4T$ $5T$
概率 $P(t)$ $0.283$ $0.393$ $0.632$ $0.865$ $0.950$ $0.982$ $0.993$

1. ^ 为了与其他变量区分,本书使用正体字母表示自然对数底.
2. ^ 也可以假设每张彩票只能抽一次,但每次抽奖后就立即购买一张新彩票.

致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择会员制,大量广告,内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

         

© 小时科技 保留一切权利