自然对数底(简明微积分)

             

贡献者: addis; 零穹

预备知识 函数的极限,对数函数

   微积分中有一个重要的极限,极限值是一个无理数,叫做自然对数底,记为1 $ \mathrm{e} $.它是一个无限不循环小数

\begin{equation} \mathrm{e} \equiv \lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = 2.7182818284590452\dots \end{equation}
注意这里没有指定 $x\to 0$ 的方向,即无论 $x$ 正数或负数该式都成立.$ \mathrm{e} $ 也可以用无穷级数定义为
\begin{equation} \mathrm{e} \equiv \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} +\dots \end{equation}
我们把以 $ \mathrm{e} $ 为底的对数函数 $\log_e x$ 叫做自然对数函数,记为 $ \ln\left(x\right) $ 或者直接用 $ \log\left(x\right) $.以后会证明以上两种定义是等效的.
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   令 $k$ 为常数,可以把式 1 拓展得

\begin{equation} \lim_{x \to 0} (1 + kx)^{\frac{1}{kx}} = \mathrm{e} \qquad \Longrightarrow\qquad \lim_{x \to 0} (1 + kx)^{\frac{1}{x}} = \mathrm{e} ^k \end{equation}
当 $k = -1$ 时得
\begin{equation} \lim_{x \to 0} (1 - x)^{\frac{1}{x}} = \frac{1}{ \mathrm{e} } = 0.36787944117144232\dots \end{equation}

1. 数值验证

   这里先用数值的方法验证式 1 ,首先我们可以画出 $(1+x)^{1/x}$ 在原点附近的函数图,注意当 $x = 0$ 时,该函数无定义,但这并不妨碍极限的存在.可以看到,无论 $x$ 从左边还是右边趋近于原点(即左极限和右极限),结果都相等.

图
图 1:$(1+x)^{1/x}$ 的函数图

   表 1 用数值计算验证式 1 的右极限.

表1:极限 $ \mathrm{e} $ 数值验证(保留 6 位有效数字)
$x$ $10^{-1}$ $10^{-2}$ $10^{-3}$ $10^{-4}$ $10^{-5}$ $10^{-6}$
$(1 + x)^{1/x}$ $2.59374$ $2.70481$ $2.71692$ $2.71815$ $2.71827$ $2.71828$

   为什么说自然对数底是 “自然” 的呢?我们来看一个例子:

例 1 银行复利

   如果一笔数量为 $x$ 的钱存入某银行后,银行的年利率是 $\lambda$,那么一年后取出来连本带利共得 $(1+\lambda)x$.假设银行规定,在 $t$ 年时($t$ 取任意正实数)取出来,则利率按照 $\lambda t$ 来计算.例如半年取出共得 $(1+\lambda/2)x$,若取出立刻存入,再过半年连本带利为

\begin{equation} (1+\lambda/2)^2 x = (1 + \lambda + \lambda^2/4)x > (1 + \lambda) x \end{equation}
比直接存一年要多.可以证明,存取越频繁,一年的总利息就越多,简单来说这是因为充分地进行了 “利滚利”,也就是复利.

   如果不停地存取,且每次存取间隔时间取极限 $\Delta t \to 0$,那么 $t$ 年后连本带利的极限是多少呢($t$ 取 $\Delta t$ 的整数倍)?首先 $t$ 年后存取的次数为 $t/\Delta t$,利用式 3

\begin{equation} x_t = \lim_{\Delta t\to 0}(1 + \lambda \Delta t)^{t/\Delta t} x = \left[\lim_{\Delta t\to 0}(1 + \lambda \Delta t)^{1/(\lambda \Delta t)} \right] ^{\lambda t} x = \mathrm{e} ^{\lambda t} x \end{equation}
这样自然对数底就 “自然” 地出现了.

   现实中,活期利息几乎都是按照 $ \mathrm{e} ^{\lambda t}$ 来计算的,这就可以避免不必要的存取.注意这时的实际年利率($t = 1$)就是 $ \mathrm{e} ^\lambda - 1$ 而不是 $\lambda$.在泰勒展开中,有

\begin{equation} \mathrm{e} ^\lambda - 1 = \lambda + \frac{\lambda^2}{2!} + \frac{\lambda^3}{3!} + \dots \end{equation}
且当 $\lambda$ 很小时,$ \mathrm{e} ^\lambda - 1 \approx \lambda$.

   另一个彩票的例子见例 1


1. ^ 为了与其他变量区分,本书使用正体字母表示自然对数底.


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