自然对数底（极简微积分）

                     

贡献者： addis; Giacomo; 零穹

预备知识　函数的极限，对数函数

　　 微积分中有一个重要的极限，叫做自然对数底，或者自然常数，记为1 $ \mathrm{e} $，它是一个和圆周率 $\pi$ 类似的无理数，也就是无限不循环小数

\begin{equation} \mathrm{e} \equiv \lim_{n \to \pm\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = 2.7182818284590452\dots~ \end{equation}
注意这里的 $\pm\infty$ 表示，$n$ 既可以趋于正无穷也可以趋于负无穷。该定义我们在极简微积分中不做证明，但可以数值验证一下，见子节 1 。

　　 若令 $x = 1/n$，并取连续值，那么该式的一个推论是

\begin{equation} \lim_{x \to 0} \left(1 + x\right)^{1/x} = \mathrm{e} ~ \end{equation}
这么做的好处是考虑 $0$ 点2而不是 $+\infty$ 处的定义，而且可以定义在整个实数轴上（$x \neq -1$），方便作图；坏处是用到了 “开 $x$ 次方” 这种较为复杂运算。

　　 我们把以 $ \mathrm{e} $ 为底的对数函数 $\log_e x$ 叫做自然对数函数，记为 $\ln x$ 或者直接用 $\log x$。

　　 为什么说自然对数底是 “自然” 的呢？我们来看一些例子：

例 1　银行复利

　　 如果一笔数量为 $x$ 的钱存入某银行后，银行的年利率是 $\lambda$，那么一年后取出来连本带利共得 $(1+\lambda)x$。假设银行规定，在 $t$ 年时（$t$ 取任意正实数）取出来，则利率按照 $\lambda t$ 来计算。例如半年取出共得 $(1+\lambda/2)x$，若取出立刻存入，再过半年连本带利为

\begin{equation} (1+\lambda/2)^2 x = (1 + \lambda + \lambda^2/4)x > (1 + \lambda) x~. \end{equation}
比直接存一年要多。可以证明，存取越频繁，一年的总利息就越多，简单来说这是因为充分地进行了 “利滚利”，也就是复利。

　　 如果不停地存取，且每次存取间隔时间取极限 $\Delta t \to 0$，那么 $t$ 年后连本带利的极限是多少呢（$t$ 取 $\Delta t$ 的整数倍）？首先 $t$ 年后存取的次数为 $t/\Delta t$，利用式 6 得

\begin{equation} x_t = \lim_{\Delta t\to 0}(1 + \lambda \Delta t)^{t/\Delta t} x = \left[\lim_{\Delta t\to 0}(1 + \lambda \Delta t)^{1/(\lambda \Delta t)} \right] ^{\lambda t} x = \mathrm{e} ^{\lambda t} x~, \end{equation}
这样自然对数底就 “自然” 地出现了。

　　 现实中，活期利息几乎都是按照 $ \mathrm{e} ^{\lambda t}$ 来计算的，这就可以避免不必要的存取。注意这时的实际年利率（$t = 1$）就是 $ \mathrm{e} ^\lambda - 1$ 而不是 $\lambda$。

　　 拓展知识：以后在泰勒展开中会看到

\begin{equation} \mathrm{e} ^\lambda = 1 + \lambda + \frac{\lambda^2}{2!} + \frac{\lambda^3}{3!} + \dots~ \end{equation}
且当 $\lambda\to 0$ 时，$ \mathrm{e} ^\lambda - 1 \approx \lambda$。

　　 另一个彩票的例子见例 1 。

1. 数值验证

　　 这里可以用数值的方法验证式 2 ，首先我们可以画出 $(1+x)^{1/x}$ 在原点附近的函数图，注意当 $x = -1$ 时，该函数无定义，但这并不妨碍极限的存在。可以看到，无论 $x$ 从左边还是右边趋近于原点（即左极限和右极限），结果都相等。

图
图 1：$(1+x)^{1/x}$ 的函数图

　　 也可以用 表 1 数值计算验证式 1 中的 $n\to+\infty$ 极限。

表1：极限 $ \mathrm{e} $ 数值验证（保留 6 位有效数字）
$n$ $10^{1}$ $10^{2}$ $10^{3}$ $10^{4}$ $10^{5}$ $10^{6}$
$(1 + 1/n)^n$ $2.59374$ $2.70481$ $2.71692$ $2.71815$ $2.71827$ $2.71828$

2. 一些推论

　　 令 $k$ 为任意自然数，可以把式 1 拓展得

\begin{equation} \lim_{n \to +\infty} \left(1 + \frac{k}{n}\right)^{\frac{n}{k}} = \mathrm{e} \qquad \Longrightarrow\qquad \lim_{n \to +\infty} \left(1 + \frac{k}{n}\right)^n = \mathrm{e} ^k~. \end{equation}
当 $k = -1$ 时得
\begin{equation} \lim_{n \to +\infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n = \frac{1}{ \mathrm{e} } = 0.36787944117144232\dots~ \end{equation}

3. 拓展

　　 $ \mathrm{e} $ 也可以用无穷级数定义为（式中感叹号表示阶乘，例如 $3! = 1\times 2\times 3$）。

\begin{equation} \mathrm{e} \equiv \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} +\dots~, \end{equation}

1. ^ 为了与其他变量区分，小时百科使用正体字母表示自然对数底。
2. ^ 注意这里没有指定 $x\to 0$ 的方向，实际上无论 $x$ 正数或负数该式都成立。


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