定积分(简明微积分)

             

预备知识 导数

   首先以不均匀细绳的质量为例,引入定积分的思想.严格来说本文介绍的是黎曼积分.

例 1 不均匀细绳的质量

   一条密度不均匀的绳子长为 $L$,横截面积是 $S$,细绳距离 O 端 $x (x < L) $ 处的密度为 $\rho(x)$.求绳子的质量.

图
图 1:密度不均匀的绳子

   如果题目中,密度是恒定的,那么直接可以写出绳子的质量为 $m = LS\rho$.但是题中 $\rho(x)$ 是关于 $x$ 的函数,所以我们要寻找另外的做法.假设绳子的密度变化是连续且 “平滑” 的,我们可以通过把绳子分割成 $n$ 小节(注意这些小节必须严格地首尾相接,不能有重合或者空隙).第 $i$ 节取 $x_i$ 到 $x_{i +1}$,令其长度为 $x_{i + 1} - {x_i} = \Delta x_i$ 使每一个小节内,密度可以近似看成是恒定的,这样我们可以用 $\rho(\xi_i)\,\, (x_i \leqslant \xi_i \leqslant x_{i + 1})$ 来代替第 $i$ 节的密度,当每一节足够小时,可以认为 $\xi_i$ 在 $x_i \leqslant \xi_i \leqslant x_{i + 1}$ 约束下的取值并不会影响结果.第 $i$ 小节的质量为

\begin{equation} \Delta {m_i} = \rho (\xi_i)\Delta {x_i}S \end{equation}
所以总的质量用求和符号来表示,就是
\begin{equation} m = \sum_{i = 1}^n \Delta m_i \approx \sum_{i = 1}^n \rho(\xi_i)\Delta x_i S = S \sum_{i = 1}^n \rho (\xi_i)\Delta x_i \end{equation}
由于当 $n$ 取有限值时,上式并不精确成立,所以只能使用约等号,但是 $n$ 越大,约等号两边就越精确成立.这是极限的思想,用极限符号来表,就是
\begin{equation} m = \lim_{n \to \infty } \sum_{i = 1}^n {\Delta {m_i}} = \lim_{n \to \infty } \sum_{i = 1}^n \rho(\xi_i)\Delta {x_i}S = S \lim_{n \to \infty } \sum_{i = 1}^n \rho(\xi_i)\Delta {x_i} \end{equation}
这种表达式在物理中反复出现,所以使用积分符号 $\int {} $ 用于代替极限和求和符号.另外把 ${\xi_i}$ 写成 $x$(当 $n$ 趋近于无穷大时,参量 $i$ 和 $\Delta {x_i}$ 具体是多少就不重要了),把表示增量的 $\Delta $ 变为表示微分的 $\mathrm{d}$,上式就写为
\begin{equation} m = \int \,\mathrm{d}{m} = \int S\rho(x) \,\mathrm{d}{x} = S\int \rho(x) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
下面先看看 $\int \rho(x) \,\mathrm{d}{x} $,即 $\lim\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n \rho(\xi_i)\Delta {x_i}$ 的另一种理解.画出 $\rho (x)$ 图像.例如 $\rho(x) = x + 1$,则 $\rho(\xi_i)\Delta {x_i}$ 可以表示左图的第 $i$ 个小长方形的面积,$\sum\limits_{i = 1}^n \rho(\xi_i)\Delta x_i$ 表示长方形面积之和.如果 $n$ 非常大且每个 $\Delta x_i$ 取得非常小,左图看起来就会像右图.所以 $\int \rho(x) \,\mathrm{d}{x} $ 可以用来表示右图阴影部分的面积.

图
图 2:定积分可以理解为曲线下面的面积,并看做由无限多个无穷窄的矩形组成.

   但 $\int \rho(x) \,\mathrm{d}{x} $ 里面显然不包含 $0$ 和 $L$ 的信息,我们根据题目中的情况,说这个积分是 “从 $0$ 积到 $L$”,其中 $0$ 是积分下限,$L$ 是积分上限.为了表示这个信息,把它写到积分号右边变为

\begin{equation} \int_0^L \rho(x) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
这就是定积分的标准形式,但有时候为了书写方便,在不混淆的情况下可以把积分上下限省略.

   这样的写法是很形象的,可以想象,积分号就是函数的曲线需要积分的部分,下标的位置代表曲线的起点,上标代表曲线的终点.这样,物理中很多问题就可以用积分表示了.

   要注意的是,根据上面积分的定义,如果曲线在 $x$ 轴的下方,面积应该表示成负值.但根据例 1 的物理情景,可知密度不可能是负值.

   至于计算积分的具体方法,比求导要复杂得多,甚至很多积分的结果不能用初等函数表示,只能表示为级数等形式.然而对于基本初等函数的积分,用牛顿-莱布尼兹公式 即可马上求解.

例 2 求圆的面积

   在直角坐标系中,圆的方程为 $x^2 + y^2 = R^2$,上半圆的方程可看做 $y$ 关于 $x$ 的函数

\begin{equation} y = f(x) = \sqrt{R^2 - x^2} \quad (x\in [-R,R]) \end{equation}
将该式定积分再乘以 2 即可得到圆的面积
\begin{equation} S = 2\int_{-R}^{R} f(x) \,\mathrm{d}{x} = 2\int_{-R}^{R} \sqrt{R^2 - x^2} \,\mathrm{d}{x} \end{equation}

   我们还可以用另一种方法验证圆的面积公式.把原划分成许多微小圆环,由例 2 ,每个微小圆环的面积为 $2\pi r \,\mathrm{d}{r} $,所以圆的面积可以用定积分表示为

\begin{equation} S = \int_0^{R} 2\pi r \,\mathrm{d}{r} \end{equation}

   以上两个定积分的结果都为 $\pi R^2$,过程见 “牛顿—莱布尼兹公式” 的例 2

例 3 球体的表面积

  

图
图 3:将球的表面划分成许多细圆环,每个对应的极角为 $ \,\mathrm{d}{\theta} $

   以球心为原点建立球坐标系,我们可以把球体的表面根据不同的 $\theta$ 划分成许多细圆环(如图 3 ),每个圆环的面积等于周长乘以宽度,即

\begin{equation} \,\mathrm{d}{S} = 2\pi R\sin\theta \cdot R \,\mathrm{d}{\theta} \end{equation}
所以球的表面积可以用定积分记为
\begin{equation} S = \int_0^{\pi} 2\pi R\sin\theta \cdot R \,\mathrm{d}{\theta} = 2\pi R^2 \int_0^{\pi} \sin\theta \,\mathrm{d}{\theta} \end{equation}

   虽然我们还不会计算这个定积分(见 “牛顿—莱布尼兹公式”),但我们现在可以用一种巧妙的方法来简化问题.让我们来计算每个细圆环在极轴方向投影的长度.我们不妨把极轴叫做 $z$ 轴,则对某个细圆环有 $z = R\cos\theta$,微分得 $ \,\mathrm{d}{z} = -R\sin\theta \,\mathrm{d}{\theta} $,将该式消去式 9 中的 $ \,\mathrm{d}{\theta} $ 得

\begin{equation} \,\mathrm{d}{S} = -2\pi R \,\mathrm{d}{z} \end{equation}
这说明无论细圆环的位置如何,其面积与其在 $z$ 轴投影的长度的比值恒为 $2\pi$.至于上式中的负号,是因为我们假设了正的 $ \,\mathrm{d}{\theta} $ 对应正的面积,而正的 $ \,\mathrm{d}{\theta} $ 却对应负的 $ \,\mathrm{d}{z} $.由于面积恒为正值,我们可以取绝对值将负号去掉.这样,球的表面积就可以用定积分表示为
\begin{equation} S = \int_{-R}^{R} 2\pi R \,\mathrm{d}{z} \end{equation}
由于被积函数是一个常数,定积分的结果就是该常数乘以积分区间的长度即 $4\pi R^2$.

例 4 球的体积

   要计算一个半径为 $R$ 的球体的体积,可以将球划分为无限个薄球壳,每个薄球壳的体积等于该球壳的表面积乘以厚度(见例 2 ),即 $ \,\mathrm{d}{V} = 4\pi r^2 \,\mathrm{d}{r} $.所以球的体积可用定积分表示为

\begin{equation} V = \int_0^R 4\pi r^2 \,\mathrm{d}{r} \end{equation}
同样由 “牛顿—莱布尼兹公式” 可得积分结果为 $4\pi R^3/3$.

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