不定积分（简明微积分）

                     

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预备知识　基本初等函数的导数

1. 原函数

　　 正如加法的逆运算是减法、乘法的逆运算是除法一样，求导有没有他的逆运算呢？一般而言，我们把求导 “逆运算” 的结果称为原函数(primitive function, antiderivative)，正如 antiderivative 的英文名所暗示的那样(anti-:反，derivative：导函数)。

图
图 1：函数与原函数

定义 1　原函数

　　 若 $F(x)$ 的导数为 $f(x)$，那么 $F(x)$ 就是 $f(x)$ 的一个原函数。

\begin{equation} F'(x) = f(x)~. \end{equation}

定理 1　

　　 事实上，给出一个 $f(x)$，可以找到许多不同的原函数，但这些原函数都只相差一个常数。也就是说，给 $f(x)$ 的任意一个原函数加上一个常数 $C$，就可以得到 $f(x)$ 的另一个原函数。$C$ 叫做积分常数（constant of integration）。

　　 或者换句话说，求导是一个 “有损” 的过程，函数在求导后失去了一个常数项的信息。因此，仅从导函数 $f(x)$ 不能唯一确定被求导的原函数 $F(x)$。

　　 证明：由于常函数导数为 $0$，给原函数加上常数后式 1 仍然成立

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} [F(x) + C] = f(x)~. \end{equation}
我们可以从几何上来理解该式：将函数曲线 $y = F(x)$ 整体在 $y$ 方向平移并不影响某个 $x$ 坐标处函数曲线的斜率。

2. 不定积分

　　 初学者可以简单地认为不定积分和原函数是同义词，但事实上，使用术语 “不定积分” 时，通常指的是所有的原函数，即在书写时包括一项积分常数 $C$.

定义 2　不定积分

\begin{equation} \int f(x) \,\mathrm{d}{x} = F(x) + C~. \end{equation}

　　 注意积分符号 $\int$ 和 $ \,\mathrm{d}{x} $ 是一个整体算符，作用在他们中间的函数上1。

　　 可以注意到，尽管在书写时，会使用积分符号 $\int$，且名称中包含 “积分” 二字，但 “不定积分” 其实是一个微分学上的概念，它的来源也与积分无关。那么为什么原函数还被称为 “不定积分” 呢？原函数和积分之间又有什么联系呢？事实上，这两个看似毫无关联的事物可以被牛顿—莱布尼兹公式所联系，将求解定积分转换为求解原函数在积分上下限处的值。

3. 不定积分的基本性质

　　 由于求导是线性运算，不定积分也是线性运算。即若干函数的线性组合的积分等于分别对这些函数积分再线性组合。令 $a_n$ 为常数，有

\begin{equation} \int [a_1 f_1(x) + a_2 f_2(x)\dots] \,\mathrm{d}{x} = a_1 \int f_1(x) \,\mathrm{d}{x} + a_2 \int f_2(x) \,\mathrm{d}{x} \dots~ \end{equation}

4. 不定积分计算方法

　　 与求导不同，计算不定积分没有特定的步骤，这里介绍几种方法

  1. 最简单直接的方法是把已知的各种常见函数的导数写成积分的形式，例如已知 $\sin x$ 的导数是 $\cos x$，$\cos x$ 的积分就是 $\sin x$ 加任意常数。
  2. 换元积分法，包括第一类换元法和第二类换元法。
  3. 分部积分法。
  4. 查表法。许多高等数学教材都会给出一个积分表。当然，在信息技术发达的今天这种方法几乎已经被计算软件和网站取代。
  5. 计算软件和网站。常见的符号计算软件有 Mathematica，Maple 等，数学网站有 Wolfram Alpha ，Geogebra等（建议先把积分技巧练熟再使用这些方法）。其中 Wolfram Alpha 对许多积分还会给出详细的计算步骤。

　　 对于一些常用积分，一般要求能熟记或快速推出。见积分表中的常用积分部分。

1. ^ 有时候为了方便也会记为 $\int \,\mathrm{d}{x} f(x)$


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