不定积分(简明微积分)

             

预备知识 基本初等函数的导数

   一个实数函数 $f(x)$ 的不定积分(indefinite integral)是另一个函数 $F(x)$,叫做 $f(x)$ 的原函数(primitive function).不定积分记为

\begin{equation} F(x) = \int f(x) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
注意积分符号 $\int$ 和 $ \,\mathrm{d}{x} $ 是一个整体算符,作用在他们中间的函数上1

   不定积分被定义为求导的逆运算.即若能找到 $F(x)$ 使其导数为 $f(x)$,那么 $F(x)$ 就是 $f(x)$ 的一个原函数.

\begin{equation} F'(x) = f(x) \end{equation}

   给出一个 $f(x)$,可以找到许多不同的原函数,且这些原函数都只相差一个常数.也就是说,给 $f(x)$ 的任意一个原函数加上一个常数 $C$,就可以得到 $f(x)$ 的另一个原函数.$C$ 叫做积分常数(constant of integration)

   证明:由于常数导数为 $0$,给原函数加上常数后式 2 仍然成立

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} [F(x) + C] = f(x) \end{equation}
我们可以从几何上来理解该式:将函数曲线 $y = F(x)$ 整体在 $y$ 方向平移并不影响某个 $x$ 坐标处函数曲线的斜率.

1. 不定积分的基本性质

   由于求导是线性运算,不定积分也是线性运算.即若干函数的线性组合的积分等于分别对这些函数积分再线性组合.令 $a_n$ 为常数,有

\begin{equation} \int [a_1 f_1(x) + a_2 f_2(x)\dots] \,\mathrm{d}{x} = a_1 \int f_1(x) \,\mathrm{d}{x} + a_2 \int f_2(x) \,\mathrm{d}{x} \dots \end{equation}

2. 不定积分计算方法

   与求导不同,计算不定积分没有特定的步骤,这里介绍几种方法

  1. 最简单直接的方法是把已知的各种常见函数的导数写成积分的形式,例如已知 $\sin x$ 的导数是 $\cos x$,$\cos x$ 的积分就是 $\sin x$ 加任意常数.
  2. 换元积分法,包括第一类换元法和第二类换元法.
  3. 分部积分法
  4. 查表法.许多高等数学教材(包括本书)都会给出一个积分表.当然,在信息技术发达的今天这种方法几乎已经被计算软件和网站取代.
  5. 计算软件和网站.常见的符号计算软件有 Mathematica,Maple 等,数学网站有 Wolfram Alpha 等(建议先把积分技巧练熟再使用这些方法).其中 Wolfram Alpha 对许多积分还会给出详细的计算步骤.

   对于一些常用积分,一般要求能熟记或快速推出.见积分表 中的常用积分部分.


1. ^ 有时候为了方便也会记为 $\int \,\mathrm{d}{x} f(x)$

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