不定积分(简明微积分)

                     

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预备知识 基本初等函数的导数

1. 原函数

   正如加法的逆运算是减法、乘法的逆运算是除法一样,求导有没有他的逆运算呢?一般而言,我们把求导 “逆运算” 的结果称为原函数(primitive function, antiderivative),正如 antiderivative 的英文名所暗示的那样(anti-:反,derivative:导函数)。

图
图 1:函数与原函数

定义 1 原函数

   若 $F(x)$ 的导数为 $f(x)$,那么 $F(x)$ 就是 $f(x)$ 的一个原函数。

\begin{equation} F'(x) = f(x) \end{equation}

定理 1 

   事实上,给出一个 $f(x)$,可以找到许多不同的原函数,但这些原函数都只相差一个常数。也就是说,给 $f(x)$ 的任意一个原函数加上一个常数 $C$,就可以得到 $f(x)$ 的另一个原函数。$C$ 叫做积分常数(constant of integration)

   或者换句话说,求导是一个 “有损” 的过程,函数在求导后失去了一个常数项的信息。因此,仅从导函数 $f(x)$ 不能唯一确定被求导的原函数 $F(x)$。

   证明:由于常函数导数为 $0$,给原函数加上常数后式 1 仍然成立

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} [F(x) + C] = f(x) \end{equation}
我们可以从几何上来理解该式:将函数曲线 $y = F(x)$ 整体在 $y$ 方向平移并不影响某个 $x$ 坐标处函数曲线的斜率。

2. 不定积分

   初学者可以简单地认为不定积分和原函数是同义词;不过我们使用术语 “不定积分” 时,通常指的是所有的原函数,即在书写时包括一项积分常数 $C$.

定义 2 不定积分

\begin{equation} \int f(x) \,\mathrm{d}{x} = F(x) + C \end{equation}

   注意积分符号 $\int$ 和 $ \,\mathrm{d}{x} $ 是一个整体算符,作用在他们中间的函数上1

   为什么原函数还被称为 “不定积分” 呢?原函数和积分之间又有什么联系呢?事实上,这两个看似毫无关联的事物可以被牛顿—莱布尼兹公式所联系,将求解定积分转换为求解原函数在积分上下限处的值。

3. 不定积分的基本性质

   由于求导是线性运算,不定积分也是线性运算。即若干函数的线性组合的积分等于分别对这些函数积分再线性组合。令 $a_n$ 为常数,有

\begin{equation} \int [a_1 f_1(x) + a_2 f_2(x)\dots] \,\mathrm{d}{x} = a_1 \int f_1(x) \,\mathrm{d}{x} + a_2 \int f_2(x) \,\mathrm{d}{x} \dots \end{equation}

4. 不定积分计算方法

   与求导不同,计算不定积分没有特定的步骤,这里介绍几种方法

  1. 最简单直接的方法是把已知的各种常见函数的导数写成积分的形式,例如已知 $\sin x$ 的导数是 $\cos x$,$\cos x$ 的积分就是 $\sin x$ 加任意常数。
  2. 换元积分法,包括第一类换元法和第二类换元法。
  3. 分部积分法
  4. 查表法。许多高等数学教材(包括本书)都会给出一个积分表。当然,在信息技术发达的今天这种方法几乎已经被计算软件和网站取代。
  5. 计算软件和网站。常见的符号计算软件有 Mathematica,Maple 等,数学网站有 Wolfram AlphaGeogebra等(建议先把积分技巧练熟再使用这些方法)。其中 Wolfram Alpha 对许多积分还会给出详细的计算步骤。

   对于一些常用积分,一般要求能熟记或快速推出。见积分表 中的常用积分部分。


1. ^ 有时候为了方便也会记为 $\int \,\mathrm{d}{x} f(x)$


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