小角正弦极限(简明微积分)

             

预备知识 极限

   这里要介绍的是一个很显然的几何问题,然而它在高等数学和物理中却非常频繁地出现.

   设平面上 $O$ 点为圆心,以 $R$ 作为半径画圆.取一段的圆心角为 $\theta $ 的圆弧 $AB$(令长为 $l$),并作线段 $AB$(如图 1 ).

图
图 1:单位圆中,随着角度不断减小,弧长与线段长度的相对误差也不断减小

   由弧长公式得

\begin{equation} l = R\theta \end{equation}
线段 $AB$ 的长度为
\begin{equation} AB = 2R\sin \frac{\theta }{2} \end{equation}
显然弧长 $l$ 大于线段长度 $AB$(两点之间直线最短),但从图中可以看出随着 $\theta $ 越来越小,二者的相对误差($E$)越来越小.用极限的语言来说,就是当 $\theta $ 趋近于 $0$ 时,它们的比值趋近于1.注意这只是一个经验上的总结,证明参考任意高等数学教材.

   所以有

\begin{equation} 1=\lim_{\theta\to 0} \frac{AB}{l} = \lim_{\theta\to 0} \frac{2R \sin\left(\theta/2\right) }{R\theta} = \lim_{\theta\to 0}\frac{ \sin\left(\theta/2\right) }{\theta/2} \end{equation}
令 $x = \theta/2$,有
\begin{equation} \lim_{\theta\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \end{equation}

   这是一个非常重要的极限.在物理中,我们常常会就某个小角使用近似 $\sin x \approx x$,例如 “单摆” 以及 “双缝干涉”.严格来说,这是一个一阶近似,$x$ 就是 $\sin x$ 的泰勒展开(式 3 )的第一项.

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