小角极限（极简微积分）

贡献者： addis; Giacomo

预备知识　函数的极限

　　¹这里要介绍的是一个简单的几何问题，然而它在微积分和物理中却非常频繁地出现。

　　如图 1 ，令平面上 $O$ 点为圆心，以 $R$ 作为半径画圆。取一段的圆心角为 $θ$ 的圆弧 $A B$ （令长为 $l$ ），并作线段 $A B$ 。我们定义弧长和线段长度的相对误差为

\begin{matrix} (1) & E = \frac{l - A B}{l} . \end{matrix}

图 1：单位圆中，随着角度

θ

不断减小，弧长与线段长度的相对误差

E

也不断减小

　　由弧长公式得

\begin{matrix} (2) & l = R θ . \end{matrix}

线段

A B

的长度为

\begin{matrix} (3) & A B = 2 R \sin \frac{θ}{2} . \end{matrix}

显然弧长

l

大于线段长度

A B

（两点之间直线最短），但从图中可以看出随着

θ

越来越小，二者的相对误差（

E

）越来越小。用极限的语言来说，就是当

θ

趋近于 $0$ 时，它们的比值趋近于１。注意这只是一个经验上的总结，我们暂时不证明。

　　所以有

\begin{matrix} (4) & 1 = lim_{θ \to 0} \frac{A B}{l} = lim_{θ \to 0} \frac{2 R \sin (θ / 2)}{R θ} = lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ / 2)}{θ / 2} . \end{matrix}

令

x = θ / 2

，有

\begin{matrix} (5) & lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 . \end{matrix}

　　这是一个非常重要的极限。在物理中，我们常常会就某个小角使用近似 $\sin x \approx x$ ，例如 “单摆” 以及 “双缝干涉”。具体来说，这是一个一阶近似，以后会看到 $x$ 就是 $\sin x$ 的泰勒展开（式 3 ）的第一项。

未完成：类似地还有

\tan θ

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。

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