刚体的平面运动(摘要)

                     

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预备知识 质点系(摘要)

1. 刚体

   刚体可视作一种特殊的质点系:质点之间存在约束并从不相对运动;同时,刚体中质量的分布是连续的而非离散的。因此,质点系的所有结论仍然适用于刚体

自由度

   自由度可以理解为 “确定系统状态所需的独立物理量的个数”。

   单一质点有 $3$ 个自由度,即 $x,y,z$ 坐标(质点自身不能旋转,因此没有旋转角度的自由度);而具有 $N$ 个质点的质点系有 $3N$ 个自由度,即各个质点的坐标(质点系中,各质点的状态或位置没有直接明确的约束)。

   作为对比,由于刚体内质点间的刚性约束,刚体只有 $6$ 个自由度,即质心的 $x,y,z$ 坐标与关于 $x,y,z$ 轴的旋转角度。在平面运动(见下文)中,刚体有 $4$ 个($x,y,z$ 坐标与关于转轴的旋转角度)或 $3$ 个自由度(假定刚体在 $z=z_0$ 平面内运动,那么自由度只剩下 $x,y$ 坐标与关于转轴的旋转角度)。

表1:自由度
质点 质点系 刚体 刚体(平面运动)
自由度 $3$ $3N$ $6$ $4$ 或 $3$

2. 刚体运动学:描述刚体的运动

平动

图
图 1:刚体的平动

   刚体平动前后,刚体中任意两点的连线依然平行。同时,刚体内各质点的位移、速度、加速度等都相同。

定轴转动

图
图 2:刚体的定轴转动

   刚体定轴转动 前后,刚体中任意两点的连线不再平行,各质点的速度、加速度等也不再相同,但角速度、角加速度等圆周运动量还是相同。由圆周运动曲线运动的知识可以得出各质点的运动状态。

例 1 平动还是转动

图
图 3:地球的公转

   如图所示,如果不考虑地球的自转,那么地球的 “公转” 是平动还是转动?

   有点违反直觉的是,地球的 “公转” 还是平动,只是他的平动轨迹是一条圆弧线。

   作为对比,由于质点没有体积、形状,因此质点只存在 “平动” 问题,而不存在 “转动” 问题。

平面运动=同质心的平动+关于质心轴的定轴转动

图
图 4:刚体的平面运动

   刚体的任意平面运动都可分解为 同质心的平动 与 质心系中关于质心轴的定轴转动。也就是说,如果你跟随刚体的质心一起平动,那么你会看到刚体的其余部分正关于质心轴转动。在平面运动的情况下,刚体只绕一个轴转动,因此旋转只有一个自由度。

习题 1 

   如果一刚体绕着一非质心轴做定轴转动,那么该如何用以上思路解释这种运动?

   事实上,除质心之外,我们可以选取任意一点作为基点,并将刚体的平面运动分解为 同该基点的平动 与 固连于基点的参考系中关于过该基点的转轴的定轴转动。有趣的是,不论如何选取基点,你都能观察到相同的角速度与角加速度(但不一定能得到相同的速度或加速度)!这为解决一些问题带来了极大的方便。比如,分析摆锤的运动。

   但是,下文的柯尼希定理不能这么分解。要想使用柯尼希定理,你必须选取质心作为基点。

运动学公式

   以上内容可总结为如下公式。其实,我们只是在刚体中运用了伽利略变换

表2:刚体运动学方程
位矢 速度 加速度
平动 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _A = \boldsymbol{\mathbf{r}} _C + \boldsymbol{\mathbf{r}} _{AC}$,$ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{AC}$ 是常数 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _A = \boldsymbol{\mathbf{v}} _C$ $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _A = \boldsymbol{\mathbf{a}} _C$
定轴转动(转轴在原点) $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _A = \boldsymbol{\mathbf{r}} _{AC}$,$\theta =\theta (t)$ $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _A = \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \times \boldsymbol{\mathbf{r}} _{AC}$ $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _A = \boldsymbol{\mathbf{a}} _t + \boldsymbol{\mathbf{a}} _n$
平面运动(质心为基点) $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _A = \boldsymbol{\mathbf{r}} _C + \boldsymbol{\mathbf{r}} _{AC}$,$\theta =\theta (t)$ $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _A = \boldsymbol{\mathbf{v}} _C + \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \times \boldsymbol{\mathbf{r}} _{AC}$ $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _A = \boldsymbol{\mathbf{a}} _C + \boldsymbol{\mathbf{a}} _t + \boldsymbol{\mathbf{a}} _n$

   其中,

3. 刚体动力学:驱动刚体运动的原因

转动惯量

   我们先从定轴转动的角动量出发,引入转动惯量的概念。刚体做定轴转动时,系统的角动量是各个质点的角动量之和 $$L = \sum r_\perp p = \sum r_\perp \Delta m v = \sum r_\perp \Delta m \omega r_\perp = \omega \sum r_\perp^2 \Delta m~.$$

   我们发现其中 $\sum r_\perp^2 \Delta m$ 是无关转动角速度的量,但是有关刚体几何形状、质量分布、转轴位置等。由于刚体的质量是连续分布的,因此常写为积分形式。由此,我们定义转动惯量 $$ I =\sum r_\perp^2 \Delta m = \int_V r_\perp^2 \,\mathrm{d}{m} ~, $$ 那么 $$ L = I \omega~.$$

   同理,从定轴转动的转动动能出发,也容易得到相应的结果 。 $$E_k = \sum \frac{1}{2} \Delta m v^2 = \frac{1}{2} \sum \Delta m (\omega r_\perp)^2 = \frac{1}{2} \omega^2 \sum r_\perp^2 \Delta m = \frac{1}{2} I \omega^2~.$$

   因此我们说,类似于质量衡量了物体的 “(平动)惯性”,转动惯量衡量了物体的 “转动惯性”。你最好熟悉一些基本几何体的转动惯量,以及转动惯量的几个非常重要的定理

例 2 转动惯量与生活

   当你推一扇大而厚重的门(例如防盗门)时,你会发现门很难被推动,也很难被停下。这就是因为这扇门关于门轴的转动惯量很大。如上文所述,门的转动惯量与质量与几何形状都有关。非常不建议你为了感受转动惯量而用力推门,除非你是 Suzume 并肩负拯救世界的重任。

柯尼希定理:动能=平动动能+转动动能

   我们知道柯尼希定理:某参考系中质点系的动能=该参考系中质心的动能+质心参考系中系统的动能。在刚体这个特殊的质点系中,柯尼希定理依然成立,并更有物理意义:某参考系中刚体的平面运动动能=该参考系中质心的平动动能+质心参考系中刚体的转动动能: $$E_k = \frac{1}{2}Mv_c^2 + \frac{1}{2} I_c \omega^2~,$$ 其中 $M$ 是刚体的质量,$v_c$ 是刚体质心的平动速率,$I_c$ 是刚体关于质心轴的转动惯量,$\omega$ 是刚体的转动角速度。

   你不能选取质心之外的点,然后试图套用柯尼希定理!

平面运动 动力学方程

   刚体的平面运动方程

表3:平面运动 动力学方程
名称 公式 相应的物理量 1 相应的物理量 2
动量定理 $\sum \boldsymbol{\mathbf{F}} _i = \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{P}} }}{\mathrm{d}{t}} = M \boldsymbol{\mathbf{a}} _c$ $\sum \boldsymbol{\mathbf{F}} _i$ 是外力和 $ \boldsymbol{\mathbf{P}} $ 是刚体的动量,$M$ 是刚体的质量,$ \boldsymbol{\mathbf{a}} _c$ 是质心加速度
角动量定理 $\sum ( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _c) \times \boldsymbol{\mathbf{F}} _i = \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{L}} }}{\mathrm{d}{t}} = I \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} $2 $\sum ( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _c)\times \boldsymbol{\mathbf{F}} _i$ 是关于质心的外力矩和 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 是刚体的角动量,$I_c$ 是关于质心轴的转动惯量,$ \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} $ 是刚体的转动加速度

4. 刚体静力学

   刚体的动量定理与角动量定理启发我们,如果刚体所受的外力和外力矩和均为零3,那么刚体保持静止或做匀速平面运动。这也是我们分析系统静力平衡的重要依据


1. ^ 本文参考了张娟的《理论力学》与谢传峰等的《理论力学》。
2. ^ 这个公式的背后存在一些复杂的哲学问题。 我们说“定轴转动”时,已经认为角动量增量总在某一个方向上 $ \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{L}} }}{\mathrm{d}{t}} = \frac{\mathrm{d}{L}}{\mathrm{d}{t}} \hat{ \boldsymbol{\mathbf{z}} }$; 但从公式本身看,我们似乎不能保证外力矩都恰好在这个方向上,$\sum ( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _c) \times \boldsymbol{\mathbf{F}} _i$ 的方向似乎是任意的。 理解这个问题的两种思路: 1.刚体是被某种刚体之外的物理转轴钉死,转轴总会提供一个反向的力矩,来平衡那些不在转轴方向上的外力矩,因此刚体只能在转轴上转动; 2.我们施加的外力矩并不是“任意的”,而是精心选择的、只在转轴方向上的。
3. ^ 即使外力和为零,外力矩和也不一定为零!


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