刚体的平面运动（摘要）

贡献者： ACertainUser; addis

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1. 刚体

　　 刚体可视作一种特殊的质点系：质点之间存在约束并从不相对运动；同时，刚体中质量的分布是连续的而非离散的。因此，质点系的所有结论仍然适用于刚体。

自由度

　　 自由度可以理解为 “确定系统状态所需的独立物理量的个数”。

　　 单一质点有 $3$ 个自由度，即 $x,y,z$ 坐标(质点自身不能旋转，因此没有旋转角度的自由度）；而具有 $N$ 个质点的质点系有 $3N$ 个自由度，即各个质点的坐标（质点系中，各质点的状态或位置没有直接明确的约束）。

　　 作为对比，由于刚体内质点间的刚性约束，刚体只有 $6$ 个自由度，即质心的 $x,y,z$ 坐标与关于 $x,y,z$ 轴的旋转角度。在平面运动（见下文）中，刚体有 $4$ 个（$x,y,z$ 坐标与关于转轴的旋转角度）或 $3$ 个自由度（假定刚体在 $z=z_0$ 平面内运动，那么自由度只剩下 $x,y$ 坐标与关于转轴的旋转角度）。

2. 刚体运动学：描述刚体的运动

平动

　　 刚体平动前后，刚体中任意两点的连线依然平行。同时，刚体内各质点的位移、速度、加速度等都相同。

定轴转动

　　 刚体定轴转动 前后，刚体中任意两点的连线不再平行，各质点的速度、加速度等也不再相同，但角速度、角加速度等圆周运动量还是相同。由圆周运动 与曲线运动 的知识可以得出各质点的运动状态。

例 1　平动还是转动

图 3：地球的公转

　　 如图所示，如果不考虑地球的自转，那么地球的 “公转” 是平动还是转动？

　　 有点违反直觉的是，地球的 “公转” 还是平动，只是他的平动轨迹是一条圆弧线。

　　 作为对比，由于质点没有体积、形状，因此质点只存在 “平动” 问题，而不存在 “转动” 问题。

平面运动=同质心的平动+关于质心轴的定轴转动

　　 刚体的任意平面运动都可分解为 同质心的平动 与 质心系中关于质心轴的定轴转动。也就是说，如果你跟随刚体的质心一起平动，那么你会看到刚体的其余部分正关于质心轴转动。在平面运动的情况下，刚体只绕一个轴转动，因此旋转只有一个自由度。

　　 事实上，除质心之外，我们可以选取任意一点作为基点，并将刚体的平面运动分解为 同该基点的平动 与 固连于基点的参考系中关于过该基点的转轴的定轴转动。有趣的是，不论如何选取基点，你都能观察到相同的角速度与角加速度（但不一定能得到相同的速度或加速度）！这为解决一些问题带来了极大的方便。比如，分析摆锤的运动。

　　 但是，下文的柯尼希定理不能这么分解。要想使用柯尼希定理，你必须选取质心作为基点。

运动学公式

　　 以上内容可总结为如下公式。其实，我们只是在刚体中运用了伽利略变换：

　　 其中，

• $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _A, \boldsymbol{\mathbf{v}} _A, \boldsymbol{\mathbf{a}} _A$ 是某参考系中点 $A$ 的位矢、速度、加速度。
• $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _C, \boldsymbol{\mathbf{v}} _C, \boldsymbol{\mathbf{a}} _C$ 是某参考系中质心的位矢、速度、加速度。
• $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{AC} = \boldsymbol{\mathbf{r}} _A - \boldsymbol{\mathbf{r}} _C $ 是该点 $A$ 与质心的相对位矢。$ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{AC}$ 的模长始终不变
• $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} , \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} $ 是质心系中刚体转动的角速度与角加速度
• $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _t, \boldsymbol{\mathbf{a}} _n$ 是质心系中点 $A$ 圆周运动的切向与法向加速度。$a_t=r_{AC}\alpha, a_n=r_{AC}\omega^2$

3. 刚体动力学：驱动刚体运动的原因

转动惯量

　　 我们先从定轴转动的角动量出发，引入转动惯量 的概念。刚体做定轴转动时，系统的角动量是各个质点的角动量之和 $$L = \sum r_\perp p = \sum r_\perp \Delta m v = \sum r_\perp \Delta m \omega r_\perp = \omega \sum r_\perp^2 \Delta m~.$$

　　 我们发现其中 $\sum r_\perp^2 \Delta m$ 是无关转动角速度的量，但是有关刚体几何形状、质量分布、转轴位置等。由于刚体的质量是连续分布的，因此常写为积分形式。由此，我们定义转动惯量 $$ I =\sum r_\perp^2 \Delta m = \int_V r_\perp^2 \,\mathrm{d}{m} ~, $$ 那么 $$ L = I \omega~.$$

　　 同理，从定轴转动的转动动能出发，也容易得到相应的结果 。 $$E_k = \sum \frac{1}{2} \Delta m v^2 = \frac{1}{2} \sum \Delta m (\omega r_\perp)^2 = \frac{1}{2} \omega^2 \sum r_\perp^2 \Delta m = \frac{1}{2} I \omega^2~.$$

　　 因此我们说，类似于质量衡量了物体的 “（平动）惯性”，转动惯量 衡量了物体的 “转动惯性”。你最好熟悉一些基本几何体的转动惯量，以及转动惯量的几个非常重要的定理 。

柯尼希定理：动能=平动动能+转动动能

　　 我们知道柯尼希定理：某参考系中质点系的动能=该参考系中质心的动能+质心参考系中系统的动能。在刚体这个特殊的质点系中，柯尼希定理依然成立，并更有物理意义：某参考系中刚体的平面运动动能=该参考系中质心的平动动能+质心参考系中刚体的转动动能： $$E_k = \frac{1}{2}Mv_c^2 + \frac{1}{2} I_c \omega^2~,$$ 其中 $M$ 是刚体的质量，$v_c$ 是刚体质心的平动速率，$I_c$ 是刚体关于质心轴的转动惯量，$\omega$ 是刚体的转动角速度。

　　 你不能选取质心之外的点，然后试图套用柯尼希定理！

平面运动 动力学方程

　　 刚体的平面运动方程

4. 刚体静力学

　　 刚体的动量定理与角动量定理启发我们，如果刚体所受的外力和与外力矩和均为零³，那么刚体保持静止或做匀速平面运动。这也是我们分析系统静力平衡的重要依据 。

1. ^ 本文参考了张娟的《理论力学》与谢传峰等的《理论力学》。
2. ^ 这个公式的背后存在一些复杂的哲学问题。 我们说“定轴转动”时，已经认为角动量增量总在某一个方向上 $ \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{L}} }}{\mathrm{d}{t}} = \frac{\mathrm{d}{L}}{\mathrm{d}{t}} \hat{ \boldsymbol{\mathbf{z}} }$； 但从公式本身看，我们似乎不能保证外力矩都恰好在这个方向上，$\sum ( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _c) \times \boldsymbol{\mathbf{F}} _i$ 的方向似乎是任意的。 理解这个问题的两种思路： 1.刚体是被某种刚体之外的物理转轴钉死，转轴总会提供一个反向的力矩，来平衡那些不在转轴方向上的外力矩，因此刚体只能在转轴上转动； 2.我们施加的外力矩并不是“任意的”，而是精心选择的、只在转轴方向上的。
3. ^ 即使外力和为零，外力矩和也不一定为零！