常见几何体的转动惯量

贡献者： addis

预备知识　刚体定轴转动、转动惯量

图 1：常见几何体的转动惯量，虚线为转轴，物体质量

M

均匀分布，

R

为几何体的半径或红线标注的长度。

未完成：薄圆盘共面轴：画图

　　一个通用的结论是：若把刚体在延轴方向复制任意多次，其总质量 $M$ 相应变大但转动惯量公式不变。例如图 1 中的圆柱体可以看作薄圆盘延轴的方向叠加无限多次，又例如薄长方体（共面轴）可以看作细棒（中心轴）延轴的方向叠加无限多次。这是因为如果两个物体转动惯量分别为 $I_{1} = α M_{1} R^{2}$ 和 $I_{2} = α M_{2} R^{2}$ ，总质量 $M = M_{1} + M_{2}$ ，那么总转动惯量为 $I = I_{1} + I_{2} = α M R^{2}$ ，系数 $α$ 不变。

1. 细圆环、薄圆柱环

　　细圆环和薄圆柱环的所有质量与转轴的距离都为 $R$ ，可以看成许多质点的叠加，每个质点的转动惯量为 $m_{i} R^{2}$ ，所以

\begin{matrix} (1) & I = \sum_{i} m_{i} R^{2} = M R^{2} . \end{matrix}

2. 细棒（端点轴）

　　细棒的线密度为 $λ = M / L$ ，如果划分成长度为 $Δ r$ 的小段，第 $i$ 段距离转轴 $r_{i}$ ，有

\begin{matrix} (2) & I = lim_{Δ r \to 0} \sum_{i} λ Δ r \cdot r_{i}^{2} = \int_{0}^{L} λ r^{2} d r = \frac{1}{3} λ L^{3} = \frac{1}{3} M L^{2} . \end{matrix}

3. 细棒（中心轴）

　　细棒（中心轴）可以看做两个等质量的细棒（端点轴），质量都为 $M_{1}$ ，每个具有转动惯量（式 2 ） $M_{1} R^{2} / 3$ ，乘以 $2$ 得总转动惯量为（ $M = 2 M_{1}$ ）

\begin{matrix} (3) & I = \frac{1}{3} M R^{2} = \frac{1}{12} M L^{2}, \end{matrix}

其中

L = 2 R

。由此可以看出，若一个物体可以拆分成转动惯量相同的若干部分，那么转动惯量公式不变。

4. 薄长方体（共面轴）

　　薄长方体（共面轴）可以看成许多细棒（中心轴）组成，所以转动惯量的系数仍然为

\begin{matrix} (4) & I = \frac{1}{3} M R^{2} = \frac{1}{12} M L^{2} . \end{matrix}

5. 薄圆盘、圆柱

　　薄圆盘可以看做许多宽度为 $Δ r$ 的细圆环组成¹，质量面密度为 $σ = M / (π R^{2})$ ，第 $i$ 个圆环的半径为 $r_{i}$ ，面积为 $2 π r_{i} Δ r$ ，总转动惯量为

\begin{matrix} (5) & I = \int_{0}^{R} r^{2} d m = \int_{0}^{R} r^{2} σ \cdot 2 π r d r = 2 π σ \int_{0}^{R} r^{3} d r, \end{matrix}

也可以在极坐标中直接根据定义写出积分

\begin{matrix} (6) & I = \int r^{2} σ d s = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{R} σ r^{2} \cdot r d r d θ = 2 π σ \int_{0}^{R} r^{3} d r = \frac{1}{2} σ π R^{2} R^{2} = \frac{1}{2} M R^{2}, \end{matrix}

圆柱可看做由许多相同的薄圆盘组成，转动惯量系数相同。

6. 薄圆盘（共面轴）

　　使用垂直轴定理式 3 可得，薄圆盘（垂直轴）的转动惯量是薄圆盘（共面轴）的两倍，所以

\begin{matrix} (7) & I = \frac{1}{4} M R^{2} . \end{matrix}

注意垂直轴定理只适用于薄片，所以圆柱（共面轴）并不能这么计算。

7. 薄球壳

　　球壳可以看做由许多细圆环组成，质量面密度为 $σ = M / (4 π R^{2})$ ，球坐标中，令第 $i$ 个圆环对应的极角为 $θ$ ，宽度为 $R d θ$ ，面积为 $d s_{i} = 2 π R \sin θ \cdot R d θ$ ，半径为 $r_{⊥} = R \sin θ$ ，总转动惯量为

\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} I & = \int_{0}^{π} r_{⊥}^{2} d m = \int R^{2} \sin^{2} θ \cdot σ \cdot 2 π R \sin θ \cdot R d θ \\ = 2 π σ R^{4} \int \sin^{3} θ_{i} d θ = 2 π σ R^{4} \int_{0}^{π} \sin^{3} θ d θ, \end{aligned} \end{matrix}

也可以在球坐标中直接写出球面积分

\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} I & = \int r^{2} σ d s = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} (R \sin θ)^{2} σ R^{2} \sin θ d θ d ϕ = 2 π σ R^{4} \int_{0}^{π} \sin^{3} θ d θ \\ = 2 π σ R^{4} \int_{- 1}^{1} (1 - \cos^{2} θ) d \cos θ = \frac{2}{3} (σ 4 π R^{2}) R^{2} = \frac{2}{3} M R^{2}, \end{aligned} \end{matrix}

其中对

θ

的积分使用了换元积分法。

8. 球体

　　球体可以看做由许多薄球壳组成，体密度为 $ρ = M / (4 π R^{3} / 3)$ ，令第 $i$ 个球壳半径为 $r$ ，厚度为 $d r$ ，体积为 $4 π r^{2} d r$ ，总转动惯量为

\begin{matrix} (10) & I = \int_{0}^{R} \frac{2}{3} r^{2} d m = \frac{2}{3} ρ \int_{0}^{R} r^{2} d V = \frac{2 M}{R^{3}} \int_{0}^{R} r^{4} d r = \frac{2}{5} M R^{2}, \end{matrix}

也可以在球坐标中直接体积分

\begin{matrix} (11) & \begin{aligned} I & = \int (r \sin θ)^{2} d m = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} \int_{0}^{R} (r \sin θ)^{2} σ r^{2} \sin θ d r d θ d ϕ \\ = \frac{3 M}{2 R^{3}} \int_{0}^{π} \sin^{3} θ d θ \int_{0}^{R} r^{4} d r = \frac{2 M}{R^{3}} \int_{0}^{R} r^{4} d r = \frac{2}{5} M R^{2}, \end{aligned} \end{matrix}

其中对

θ

的积分使用了换元积分法。

9. 薄长方体（垂直轴）

　　由 “薄长方体（共面轴）” 可知两个共面方向的转动惯量分别为（式 4 ） $M R_{1}^{2} / 3$ 和 $M R_{2}^{2} / 3$ ，使用垂直轴定理式 3 可得关于垂直轴的转动惯量为二者之和

\begin{matrix} (12) & I = \frac{1}{3} M (R_{1}^{2} + R_{2}^{2}) = \frac{1}{12} M (L_{1}^{2} + L_{2}^{2}), \end{matrix}

其中

L_{1} = 2 R_{1}

，

L_{2} = 2 R_{2}

分别是两条边长。

10. 长方体

　　另外由于长方体可以看作许多薄片延轴方向叠加，其转动惯量公式也相同

\begin{matrix} (13) & I = \frac{1}{3} M (R_{1}^{2} + R_{2}^{2}) = \frac{1}{12} M (L_{1}^{2} + L_{2}^{2}), \end{matrix}

其中

L_{1} = 2 R_{1}

，

L_{2} = 2 R_{2}

分别是长方体垂直于转轴的两条边长。

1. ^ 然而薄圆盘不能看做由许多过圆心的细棒组成，因为这样面密度就是不均匀的。另外注意每个细环的转动惯量并不相同（因为半径各不相同），所以不能直接用圆环的转动惯量公式。

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