常见几何体的转动惯量

             

预备知识 转动惯量
图
图 1:常见几何体的转动惯量,虚线为转轴,物体质量 $M$ 均匀分布,$R$ 为几何体的半径或红线标注的长度.

   一个通用的结论是:若把刚体在延轴方向复制任意多次,其质量 $M$ 变大但转动惯量公式不变.例如图 1 中的薄圆盘和圆柱体,又例如细棒(中心轴)和薄长方体(共面轴).这是因为如果两个物体转动惯量分别为 $I_1 = \alpha M_1 R^2$ 和 $I_2 = \alpha M_2 R^2$,总质量 $M = M_1 + M_2$,那么总转动惯量为 $I = I_1 + I_2 = \alpha M R^2$,系数 $\alpha$ 不变.

1. 细圆环 薄圆柱环

   细圆环和薄圆柱环的所有质量与转轴的距离都为 $R$,可以看成许多质点的叠加,每个质点转惯量为 $m_i R^2$,所以

\begin{equation} I = \sum_i m_i R^2 = M R^2 \end{equation}

2. 细棒(端点轴)

   细棒的线密度为 $\lambda = M/L$,如果划分成长度为 $\Delta r$ 的小段,第 $i$ 段距离转轴 $r_i$,有

\begin{equation} I = \lim_{\Delta r \to 0}\sum_i \lambda\Delta r \cdot r_i^2 = \int_0^L \lambda r^2 \,\mathrm{d}{r} = \frac{1}{3}\lambda L^3 = \frac{1}{3}M L^2 \end{equation}

3. 细棒(中心轴)

   细棒(中心轴)可以看做两个等质量的细棒(端点轴),质量都为 $M_1$,每个具有转动惯量(式 2 )$M_1 R^2/3$,乘以二得总转动惯量为

\begin{equation} I = \frac{1}{3} MR^2 = \frac{1}{12}ML^2 \end{equation}
其中 $L=2R$.由此可以看出,若一个物体可以拆分成转动惯量相同的若干部分,那么转动惯量公式不变

4. 薄长方体(共面轴)

   薄长方体(共面轴)可以看成许多细棒(中心轴)组成,所以转动惯量的系数仍然为

\begin{equation} I = \frac{1}{3} MR^2 = \frac{1}{12}ML^2 \end{equation}

5. 薄圆盘 圆柱

   薄圆盘可以看做许多宽度为 $\Delta r$ 的细圆环组成1,质量面密度为 $\sigma = M/(\pi R^2)$,第 $i$ 个圆环的半径为 $r_i$,面积为 $2\pi r_i \Delta {r}$,总转动惯量为

\begin{equation} I = \int_0^R r^2 \,\mathrm{d}{m} = \int_0^R \sigma \cdot 2\pi r \,\mathrm{d}{r} \,\mathrm{d}{r^2} = 2\pi \sigma \int_0^R r^3 \,\mathrm{d}{r} \end{equation}
也可以在极坐标极坐标中直接根据定义写出积分
\begin{equation} I = \int {r^2}\sigma \,\mathrm{d}{s} = \int_0^{2\pi } \int_0^R \sigma r^2 \cdot r \,\mathrm{d}{r} \,\mathrm{d}{\theta} = 2\pi \sigma \int_0^R r^3 \,\mathrm{d}{r} = \frac12\sigma \pi R^2 R^2 = \frac12 M R^2 \end{equation}
圆柱可看做由许多相同的薄圆盘组成,转动惯量系数相同.

6. 薄球壳

   球壳可以看做由许多细圆环组成,质量面密度为 $\sigma = M/(4\pi R^2)$,球坐标中,令第 $i$ 个圆环对应的极角为 $\theta$,宽度为 $R \,\mathrm{d}{\theta} $,面积为 $ \,\mathrm{d}{s_i} = 2\pi R\sin\theta \cdot R \,\mathrm{d}{\theta} $,半径为 $r_{\bot} = R\sin\theta$,总转动惯量为

\begin{equation} \begin{aligned} I &= \int_0^\pi r_\bot^2 \,\mathrm{d}{m} = \int R^2 \sin^2 \theta \cdot \sigma \cdot 2\pi R\sin\theta \cdot R \,\mathrm{d}{\theta} \\ &= 2\pi \sigma R^4 \int \sin^3 \theta_i \,\mathrm{d}{\theta} = 2\pi \sigma R^4 \int_0^\pi \sin^3 \theta \,\mathrm{d}{\theta} \end{aligned} \end{equation}
也可以在球坐标中直接写出球面积分
\begin{equation} \begin{aligned} I &= \int r^2 \sigma \,\mathrm{d}{s} = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi (R\sin \theta)^2 \sigma R^2\sin \theta \,\mathrm{d}{\theta} \,\mathrm{d}{\phi} = 2\pi \sigma R^4 \int_0^\pi \sin^3 \theta \,\mathrm{d}{\theta} \\ &= 2\pi \sigma R^4\int_{-1}^1 (1 - \cos^2 \theta ) \,\mathrm{d}{\cos \theta} = \frac23 (\sigma 4\pi R^2) R^2 = \frac23 M R^2 \end{aligned} \end{equation}
其中对 $\theta$ 的积分使用了换元积分法.

7. 球体

   球体可以看做由许多薄球壳组成,体密度为 $\rho = M/(4\pi R^3/3)$,令第 $i$ 个球壳半径为 $r$,厚度为 $ \,\mathrm{d}{r} $,体积为 $4\pi r^2 \,\mathrm{d}{r} $,总转动惯量为

\begin{equation} I = \int_0^R \frac23 r^2 \,\mathrm{d}{m} = \frac23 \rho \int_0^R r^2 \,\mathrm{d}{V} = \frac{2M}{R^3} \int_0^R r^4 \,\mathrm{d}{r} = \frac{2}{5} M R^2 \end{equation}
也可以在球坐标中直接体积分
\begin{equation} \begin{aligned} I &= \int (r\sin \theta )^2 \,\mathrm{d}{m} = \int_0^{2\pi } \int_0^\pi \int_0^R (r\sin \theta )^2\sigma r^2 \sin \theta \,\mathrm{d}{r} \,\mathrm{d}{\theta} \,\mathrm{d}{\phi} \\ &= \frac{3M}{2R^3}\int_0^\pi \sin^3\theta \,\mathrm{d}{\theta} \int_0^R r^4 \,\mathrm{d}{r} =\frac{2M}{R^3}\int_0^R r^4 \,\mathrm{d}{r} = \frac{2}{5} M R^2 \end{aligned} \end{equation}
其中对 $\theta$ 的积分使用了换元积分法.

8. 薄长方体(垂直轴)

   由 “薄长方体(共面轴)” 可知两个共面方向的转动惯量分别为(式 4 )$MR_1^2/3$ 和 $MR_2^2/3$,使用垂直轴定理式 3 可得关于垂直轴的转动惯量为二者之和

\begin{equation} I = \frac13 M(R_1^2 + R_2^2) = \frac{1}{12} M(L_1^2 + L_2^2) \end{equation}
其中 $L_1 = 2R_1$,$L_2 = 2R_2$ 分别是两条边长.

9. 长方体

   另外由于长方体可以看作许多薄片延轴方向叠加,其转动惯量公式也相同

\begin{equation} I = \frac13 M(R_1^2 + R_2^2) = \frac{1}{12} M(L_1^2 + L_2^2) \end{equation}
其中 $L_1 = 2R_1$,$L_2 = 2R_2$ 分别是长方体垂直于转轴的两条边长.


1. ^ 然而薄圆盘不能看做由许多过圆心的细棒组成,因为这样面密度就是不均匀的.另外注意每个细环的转动惯量并不相同(因为半径各不相同),所以不能直接用圆环的转动惯量公式.

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