贡献者： addis
图 1：常见几何体的转动惯量，虚线为转轴，物体质量 $M$ 均匀分布，$R$ 为几何体的半径或红线标注的长度。
未完成：薄圆盘共面轴：画图
一个通用的结论是：若把刚体在延轴方向复制任意多次，其总质量 $M$ 相应变大但转动惯量公式不变。例如图 1 中的圆柱体可以看作薄圆盘延轴的方向叠加无限多次，又例如薄长方体（共面轴）可以看作细棒（中心轴）延轴的方向叠加无限多次。这是因为如果两个物体转动惯量分别为 $I_1 = \alpha M_1 R^2$ 和 $I_2 = \alpha M_2 R^2$，总质量 $M = M_1 + M_2$，那么总转动惯量为 $I = I_1 + I_2 = \alpha M R^2$，系数 $\alpha$ 不变。
1. 细圆环、薄圆柱环
细圆环和薄圆柱环的所有质量与转轴的距离都为 $R$，可以看成许多质点的叠加，每个质点的转动惯量为 $m_i R^2$，所以
\begin{equation}
I = \sum_i m_i R^2 = M R^2~.
\end{equation}
2. 细棒（端点轴）
细棒的线密度为 $\lambda = M/L$，如果划分成长度为 $\Delta r$ 的小段，第 $i$ 段距离转轴 $r_i$，有
\begin{equation}
I = \lim_{\Delta r \to 0}\sum_i \lambda\Delta r \cdot r_i^2 = \int_0^L \lambda r^2 \,\mathrm{d}{r} = \frac{1}{3}\lambda L^3 = \frac{1}{3}M L^2~.
\end{equation}
3. 细棒（中心轴）
细棒（中心轴）可以看做两个等质量的细棒（端点轴），质量都为 $M_1$，每个具有转动惯量（式 2 ）$M_1 R^2/3$，乘以 $2$ 得总转动惯量为（$M=2M_1$）
\begin{equation}
I = \frac{1}{3} MR^2 = \frac{1}{12}ML^2~,
\end{equation}
其中 $L=2R$。由此可以看出，
若一个物体可以拆分成转动惯量相同的若干部分，那么转动惯量公式不变。
4. 薄长方体（共面轴）
薄长方体（共面轴）可以看成许多细棒（中心轴）组成，所以转动惯量的系数仍然为
\begin{equation}
I = \frac{1}{3} MR^2 = \frac{1}{12}ML^2~.
\end{equation}
5. 薄圆盘、圆柱
薄圆盘可以看做许多宽度为 $\Delta r$ 的细圆环组成1，质量面密度为 $\sigma = M/(\pi R^2)$，第 $i$ 个圆环的半径为 $r_i$，面积为 $2\pi r_i \Delta {r}$，总转动惯量为
\begin{equation}
I = \int_0^R r^2 \,\mathrm{d}{m} = \int_0^R r^2 \sigma \cdot 2\pi r \,\mathrm{d}{r} = 2\pi \sigma \int_0^R r^3 \,\mathrm{d}{r} ~,
\end{equation}
也可以在
极坐标中直接根据定义写出积分
\begin{equation}
I = \int {r^2}\sigma \,\mathrm{d}{s} = \int_0^{2\pi } \int_0^R \sigma r^2 \cdot r \,\mathrm{d}{r} \,\mathrm{d}{\theta} = 2\pi \sigma \int_0^R r^3 \,\mathrm{d}{r} = \frac12\sigma \pi R^2 R^2 = \frac12 M R^2~,
\end{equation}
圆柱可看做由许多相同的薄圆盘组成，转动惯量系数相同。
6. 薄圆盘（共面轴）
使用垂直轴定理式 3 可得，薄圆盘（垂直轴）的转动惯量是薄圆盘（共面轴）的两倍，所以
\begin{equation}
I = \frac{1}{4}MR^2~.
\end{equation}
注意垂直轴定理只适用于薄片，所以圆柱（共面轴）并不能这么计算。
7. 薄球壳
球壳可以看做由许多细圆环组成，质量面密度为 $\sigma = M/(4\pi R^2)$，球坐标中，令第 $i$ 个圆环对应的极角为 $\theta$，宽度为 $R \,\mathrm{d}{\theta} $，面积为 $ \,\mathrm{d}{s_i} = 2\pi R\sin\theta \cdot R \,\mathrm{d}{\theta} $，半径为 $r_{\bot} = R\sin\theta$，总转动惯量为
\begin{equation}
\begin{aligned}
I &= \int_0^\pi r_\bot^2 \,\mathrm{d}{m} = \int R^2 \sin^2 \theta \cdot \sigma \cdot 2\pi R\sin\theta \cdot R \,\mathrm{d}{\theta} \\
&= 2\pi \sigma R^4 \int \sin^3 \theta_i \,\mathrm{d}{\theta} = 2\pi \sigma R^4 \int_0^\pi \sin^3 \theta \,\mathrm{d}{\theta} ~,\end{aligned} \end{equation}
也可以在球坐标中直接写出球面积分
\begin{equation}
\begin{aligned}
I &= \int r^2 \sigma \,\mathrm{d}{s} = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi (R\sin \theta)^2 \sigma R^2\sin \theta \,\mathrm{d}{\theta} \,\mathrm{d}{\phi} = 2\pi \sigma R^4 \int_0^\pi \sin^3 \theta \,\mathrm{d}{\theta} \\
&= 2\pi \sigma R^4\int_{-1}^1 (1 - \cos^2 \theta ) \,\mathrm{d}{\cos \theta} = \frac23 (\sigma 4\pi R^2) R^2 = \frac23 M R^2~,
\end{aligned} \end{equation}
其中对 $\theta$ 的积分使用了换元积分法。
8. 球体
球体可以看做由许多薄球壳组成，体密度为 $\rho = M/(4\pi R^3/3)$，令第 $i$ 个球壳半径为 $r$，厚度为 $ \,\mathrm{d}{r} $，体积为 $4\pi r^2 \,\mathrm{d}{r} $，总转动惯量为
\begin{equation}
I = \int_0^R \frac23 r^2 \,\mathrm{d}{m} = \frac23 \rho \int_0^R r^2 \,\mathrm{d}{V} = \frac{2M}{R^3} \int_0^R r^4 \,\mathrm{d}{r} = \frac{2}{5} M R^2~,
\end{equation}
也可以在球坐标中直接体积分
\begin{equation}
\begin{aligned}
I &= \int (r\sin \theta )^2 \,\mathrm{d}{m} = \int_0^{2\pi } \int_0^\pi \int_0^R (r\sin \theta )^2\sigma r^2 \sin \theta \,\mathrm{d}{r} \,\mathrm{d}{\theta} \,\mathrm{d}{\phi} \\
&= \frac{3M}{2R^3}\int_0^\pi \sin^3\theta \,\mathrm{d}{\theta} \int_0^R r^4 \,\mathrm{d}{r} =\frac{2M}{R^3}\int_0^R r^4 \,\mathrm{d}{r} = \frac{2}{5} M R^2~,
\end{aligned} \end{equation}
其中对 $\theta$ 的积分使用了换元积分法。
9. 薄长方体（垂直轴）
由 “薄长方体（共面轴）” 可知两个共面方向的转动惯量分别为（式 4 ）$MR_1^2/3$ 和 $MR_2^2/3$，使用垂直轴定理式 3 可得关于垂直轴的转动惯量为二者之和
\begin{equation}
I = \frac13 M(R_1^2 + R_2^2) = \frac{1}{12} M(L_1^2 + L_2^2)~,
\end{equation}
其中 $L_1 = 2R_1$，$L_2 = 2R_2$ 分别是两条边长。
10. 长方体
另外由于长方体可以看作许多薄片延轴方向叠加，其转动惯量公式也相同
\begin{equation}
I = \frac13 M(R_1^2 + R_2^2) = \frac{1}{12} M(L_1^2 + L_2^2)~,
\end{equation}
其中 $L_1 = 2R_1$，$L_2 = 2R_2$ 分别是长方体垂直于转轴的两条边长。
1. ^ 然而薄圆盘不能看做由许多过圆心的细棒组成，因为这样面密度就是不均匀的。另外注意每个细环的转动惯量并不相同（因为半径各不相同），所以不能直接用圆环的转动惯量公式。
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