常见几何体的转动惯量
贡献者: addis
图 1:常见几何体的转动惯量,虚线为转轴,物体质量 均匀分布, 为几何体的半径或红线标注的长度。
未完成:薄圆盘共面轴:画图
一个通用的结论是:若把刚体在延轴方向复制任意多次,其总质量 相应变大但转动惯量公式不变。例如图 1 中的圆柱体可以看作薄圆盘延轴的方向叠加无限多次,又例如薄长方体(共面轴)可以看作细棒(中心轴)延轴的方向叠加无限多次。这是因为如果两个物体转动惯量分别为 和 ,总质量 ,那么总转动惯量为 ,系数 不变。
1. 细圆环、薄圆柱环
细圆环和薄圆柱环的所有质量与转轴的距离都为 ,可以看成许多质点的叠加,每个质点的转动惯量为 ,所以
2. 细棒(端点轴)
细棒的线密度为 ,如果划分成长度为 的小段,第 段距离转轴 ,有
3. 细棒(中心轴)
细棒(中心轴)可以看做两个等质量的细棒(端点轴),质量都为 ,每个具有转动惯量(式 2 ),乘以 得总转动惯量为()
其中 。由此可以看出,
若一个物体可以拆分成转动惯量相同的若干部分,那么转动惯量公式不变。
4. 薄长方体(共面轴)
薄长方体(共面轴)可以看成许多细棒(中心轴)组成,所以转动惯量的系数仍然为
5. 薄圆盘、圆柱
薄圆盘可以看做许多宽度为 的细圆环组成1,质量面密度为 ,第 个圆环的半径为 ,面积为 ,总转动惯量为
也可以在
极坐标中直接根据定义写出积分
圆柱可看做由许多相同的薄圆盘组成,转动惯量系数相同。
6. 薄圆盘(共面轴)
使用垂直轴定理式 3 可得,薄圆盘(垂直轴)的转动惯量是薄圆盘(共面轴)的两倍,所以
注意垂直轴定理只适用于薄片,所以圆柱(共面轴)并不能这么计算。
7. 薄球壳
球壳可以看做由许多细圆环组成,质量面密度为 ,球坐标中,令第 个圆环对应的极角为 ,宽度为 ,面积为 ,半径为 ,总转动惯量为
也可以在球坐标中直接写出球面积分
其中对 的积分使用了换元积分法。
8. 球体
球体可以看做由许多薄球壳组成,体密度为 ,令第 个球壳半径为 ,厚度为 ,体积为 ,总转动惯量为
也可以在球坐标中直接体积分
其中对 的积分使用了换元积分法。
9. 薄长方体(垂直轴)
由 “薄长方体(共面轴)” 可知两个共面方向的转动惯量分别为(式 4 ) 和 ,使用垂直轴定理式 3 可得关于垂直轴的转动惯量为二者之和
其中 , 分别是两条边长。
10. 长方体
另外由于长方体可以看作许多薄片延轴方向叠加,其转动惯量公式也相同
其中 , 分别是长方体垂直于转轴的两条边长。
1. ^ 然而薄圆盘不能看做由许多过圆心的细棒组成,因为这样面密度就是不均匀的。另外注意每个细环的转动惯量并不相同(因为半径各不相同),所以不能直接用圆环的转动惯量公式。
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