常见几何体的转动惯量

                     

贡献者: addis

预备知识 刚体定轴转动、转动惯量
图
图 1:常见几何体的转动惯量,虚线为转轴,物体质量 M 均匀分布,R 为几何体的半径或红线标注的长度。

  

未完成:薄圆盘共面轴:画图

   一个通用的结论是:若把刚体在延轴方向复制任意多次,其总质量 M 相应变大但转动惯量公式不变。例如图 1 中的圆柱体可以看作薄圆盘延轴的方向叠加无限多次,又例如薄长方体(共面轴)可以看作细棒(中心轴)延轴的方向叠加无限多次。这是因为如果两个物体转动惯量分别为 I1=αM1R2I2=αM2R2,总质量 M=M1+M2,那么总转动惯量为 I=I1+I2=αMR2,系数 α 不变。

1. 细圆环、薄圆柱环

   细圆环和薄圆柱环的所有质量与转轴的距离都为 R,可以看成许多质点的叠加,每个质点的转动惯量为 miR2,所以

(1)I=imiR2=MR2 .

2. 细棒(端点轴)

   细棒的线密度为 λ=M/L,如果划分成长度为 Δr 的小段,第 i 段距离转轴 ri,有

(2)I=limΔr0iλΔrri2=0Lλr2dr=13λL3=13ML2 .

3. 细棒(中心轴)

   细棒(中心轴)可以看做两个等质量的细棒(端点轴),质量都为 M1,每个具有转动惯量(式 2 M1R2/3,乘以 2 得总转动惯量为(M=2M1

(3)I=13MR2=112ML2 ,
其中 L=2R。由此可以看出,若一个物体可以拆分成转动惯量相同的若干部分,那么转动惯量公式不变

4. 薄长方体(共面轴)

   薄长方体(共面轴)可以看成许多细棒(中心轴)组成,所以转动惯量的系数仍然为

(4)I=13MR2=112ML2 .

5. 薄圆盘、圆柱

   薄圆盘可以看做许多宽度为 Δr 的细圆环组成1,质量面密度为 σ=M/(πR2),第 i 个圆环的半径为 ri,面积为 2πriΔr,总转动惯量为

(5)I=0Rr2dm=0Rr2σ2πrdr=2πσ0Rr3dr ,
也可以在极坐标中直接根据定义写出积分
(6)I=r2σds=02π0Rσr2rdrdθ=2πσ0Rr3dr=12σπR2R2=12MR2 ,
圆柱可看做由许多相同的薄圆盘组成,转动惯量系数相同。

6. 薄圆盘(共面轴)

   使用垂直轴定理式 3 可得,薄圆盘(垂直轴)的转动惯量是薄圆盘(共面轴)的两倍,所以

(7)I=14MR2 .
注意垂直轴定理只适用于薄片,所以圆柱(共面轴)并不能这么计算。

7. 薄球壳

   球壳可以看做由许多细圆环组成,质量面密度为 σ=M/(4πR2),球坐标中,令第 i 个圆环对应的极角为 θ,宽度为 Rdθ,面积为 dsi=2πRsinθRdθ,半径为 r=Rsinθ,总转动惯量为

(8)I=0πr2dm=R2sin2θσ2πRsinθRdθ=2πσR4sin3θidθ=2πσR40πsin3θdθ ,
也可以在球坐标中直接写出球面积分
(9)I=r2σds=02π0π(Rsinθ)2σR2sinθdθdϕ=2πσR40πsin3θdθ=2πσR411(1cos2θ)dcosθ=23(σ4πR2)R2=23MR2 ,
其中对 θ 的积分使用了换元积分法。

8. 球体

   球体可以看做由许多薄球壳组成,体密度为 ρ=M/(4πR3/3),令第 i 个球壳半径为 r,厚度为 dr,体积为 4πr2dr,总转动惯量为

(10)I=0R23r2dm=23ρ0Rr2dV=2MR30Rr4dr=25MR2 ,
也可以在球坐标中直接体积分
(11)I=(rsinθ)2dm=02π0π0R(rsinθ)2σr2sinθdrdθdϕ=3M2R30πsin3θdθ0Rr4dr=2MR30Rr4dr=25MR2 ,
其中对 θ 的积分使用了换元积分法。

9. 薄长方体(垂直轴)

   由 “薄长方体(共面轴)” 可知两个共面方向的转动惯量分别为(式 4 MR12/3MR22/3,使用垂直轴定理式 3 可得关于垂直轴的转动惯量为二者之和

(12)I=13M(R12+R22)=112M(L12+L22) ,
其中 L1=2R1L2=2R2 分别是两条边长。

10. 长方体

   另外由于长方体可以看作许多薄片延轴方向叠加,其转动惯量公式也相同

(13)I=13M(R12+R22)=112M(L12+L22) ,
其中 L1=2R1L2=2R2 分别是长方体垂直于转轴的两条边长。


1. ^ 然而薄圆盘不能看做由许多过圆心的细棒组成,因为这样面密度就是不均匀的。另外注意每个细环的转动惯量并不相同(因为半径各不相同),所以不能直接用圆环的转动惯量公式。


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