圆周运动（高中）

贡献者： kahoyip; addis

　　 质点的运动轨迹是圆（或圆弧的一部分）的运动叫做圆周运动。

1. 线速度

• 质点做圆周运动时，为了描述它经过某个点 $M$ 附近时运动的快慢，我们可以取一段很短的时间 $\mathrm{\Delta }t$ 以及从点 $M$ 开始运动的弧长 $\mathrm{\Delta }l$，$\mathrm{\Delta }l$ 与 $\mathrm{\Delta }t$ 之比就反映了质点在点 $M$ 附近的运动快慢。
• 当 $\mathrm{\Delta }t$ 极短时，可以认为 $\mathrm{\Delta }l$ 与 $\mathrm{\Delta }t$ 之比表示质点在点 $M$ 的运动快慢，将其称为线速度，其大小为
  $$\begin{array}{}\text{(1)}& v=\frac{\mathrm{\Delta }l}{\mathrm{\Delta }t}.\end{array}$$
  此时，质点运动的弧可近似看成线段，$\mathrm{\Delta }l$ 近似为质点的位移大小，则线速度实际上就是直线运动中的瞬时速度。
• 线速度是一个矢量，既有大小，也有方向。质点在某一点的线速度方向沿着圆周在该点的切线方向。因为圆周运动中运动方向（线速度方向）时刻在变，所以圆周运动是变速曲线运动。
• 线速度的定义也适用于圆周运动外的其他曲线运动。
• 当质点做圆周运动且线速度的大小处处相等时，物体所做的运动叫做匀速圆周运动，我们可以用质点通过的弧长 $l$ 与通过这段弧长所用时间 $t$ 之比来表示线速度的大小
  $$\begin{array}{}\text{(2)}& v=\frac{l}{t}.\end{array}$$
  要注意的是，匀速圆周运动的 “匀速” 只是描述速率不变，匀速圆周运动依然是变速运动。

2. 角速度

　　 质点做圆周运动时，质点所在的半径在转过的角度 $\mathrm{\Delta }\theta$ 与所用时间 $\mathrm{\Delta }t$ 之比叫做角速度，用 $\omega$ 表示，即

　　 此处的 $\mathrm{\Delta }\theta$ 以弧度为单位，因此角速度的单位为 $\mathrm{rad}/\mathrm{s}$。

　　 设圆周运动轨迹的半径为 $r$，对于相同的时间内，有 $\mathrm{\Delta }l=r\cdot \mathrm{\Delta }\theta$，由此可得

3. 匀速圆周运动的周期性

周期

　　 匀速圆周运动是周期性运动，做圆周运动的质点运动一周所用的时间叫做周期，用 $T$ 表示。质点在做匀速圆周运动时，在圆周上的任意一点每经过周期的整数倍周期的时间，都会回到原来的位置，且线速度的大小和方向与原来的一致。

　　 做匀速圆周运动的质点在一个周期 $T$ 内经过的弧长为 $2\pi r$，转过的角度为 $2\pi$，则线速度的大小与周期的关系为

转速

　　 物体转动的圈数与所用时间之比叫做转速，用符号 $n$ 表示，常用单位是转每秒（$\mathrm{r}/\mathrm{s}$）或转每分（$\mathrm{r}/\min$），实际计算时一般把转速换算成弧度每秒（$\mathrm{rad}/\mathrm{s}$）。

4. 向心力

　　 做匀速圆周运动的物体所受的合力总是指向圆心，这个指向圆心的力叫做向心力。

　　 质点做匀速圆周运动时，向心力的方向时刻在变化，且始终与线速度的方向垂直。向心力只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。

　　 向心力的大小：

　　 向心力是根据力的作用效果来命名的，向心力可以是某种性质的力如重力、弹力等，也可以是多个力的合力，也可以是某个力的分力。

　　 向心力的大小和方向适用于所有圆周运动。当质点做匀速圆周运动时，合力提供向心力；当质点做变速圆周运动时，合力指向圆心的分力提供向心力。

质点做匀速圆周运动的条件

　　 质点绕某一个点做匀速圆周运动时，需要具有一定的初速度，以及受到方向总是垂直于速度方向的合力 $\mathbf{F}$，$\mathbf{F}$ 的大小应等于质点做圆周运动所需的向心力大小，即满足式 7 。

　　 当 $F>m{v}^2/r$ 时，质点做半径变小的向心运动；当 $F<m{v}^2/r$ 时，合力不足以提供维持圆周运动所需的向心力，质点做离心运动。

5. 向心加速度

　　 质点做匀速圆周运动时，其加速度总是指向圆心，这个加速度叫做向心加速度。

　　 向心加速度的大小：

　　 向心加速度是由向心力产生的，其大小和方向同样适用于所有圆周运动。