圆周运动(高中)

                     

贡献者: kahoyip; addis

预备知识 曲线运动

   质点的运动轨迹是圆(或圆弧的一部分)的运动叫做圆周运动

1. 线速度

2. 角速度

   质点做圆周运动时,质点所在的半径在转过的角度 $\Delta \theta$ 与所用时间 $\Delta t$ 之比叫做角速度,用 $\omega$ 表示,即

\begin{equation} \omega = \frac{\Delta \theta}{\Delta t} \end{equation}

   此处的 $\Delta \theta$ 以弧度为单位,因此角速度的单位为 $\mathrm{rad/s}$.

   设圆周运动轨迹的半径为 $r$,对于相同的时间内,有 $\Delta l=r \cdot \Delta \theta$,由此可得

\begin{equation} v=\omega r \end{equation}

3. 匀速圆周运动的周期性

周期

   匀速圆周运动是周期性运动,做圆周运动的质点运动一周所用的时间叫做周期,用 $T$ 表示.质点在做匀速圆周运动时,在圆周上的任意一点每经过周期的整数倍周期的时间,都会回到原来的位置,且线速度的大小和方向与原来的一致.

   做匀速圆周运动的质点在一个周期 $T$ 内经过的弧长为 $2\pi r$,转过的角度为 $2\pi$,则线速度的大小与周期的关系为

\begin{equation} v=\frac{2\pi r}{T} \end{equation}
角速度的大小与周期的关系为
\begin{equation} \omega = \frac{2\pi}{T} \end{equation}
联立式 5 式 6 也可得式 4 .

转速

   物体转动的圈数与所用时间之比叫做转速,用符号 $n$ 表示,常用单位是转每秒($\mathrm{r/s}$)或转每分($\mathrm{r/min}$),实际计算时一般把转速换算成弧度每秒($\mathrm{rad/s}$).

4. 向心力

   做匀速圆周运动的物体所受的合力总是指向圆心,这个指向圆心的力叫做向心力

   质点做匀速圆周运动时,向心力的方向时刻在变化,且始终与线速度的方向垂直.向心力只改变线速度的方向,不改变线速度的大小.

   向心力的大小:

\begin{equation} F=\frac{mv^2}{r}=m\omega^2r=m\omega v=m\frac{4\pi^2}{T^2}r \end{equation}

   向心力是根据力的作用效果来命名的,向心力可以是某种性质的力如重力、弹力等,也可以是多个力的合力,也可以是某个力的分力.

   向心力的大小和方向适用于所有圆周运动.当质点做匀速圆周运动时,合力提供向心力;当质点做变速圆周运动时,合力指向圆心的分力提供向心力.

质点做匀速圆周运动的条件

   质点绕某一个点做匀速圆周运动时,需要具有一定的初速度,以及受到方向总是垂直于速度方向的合力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $,$ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 的大小应等于质点做圆周运动所需的向心力大小,即满足式 7

   当 $F > mv^2/r$ 时,质点做半径变小的向心运动;当 $F < mv^2/r$ 时,合力不足以提供维持圆周运动所需的向心力,质点做离心运动.

5. 向心加速度

   质点做匀速圆周运动时,其加速度总是指向圆心,这个加速度叫做向心加速度

   向心加速度的大小:

\begin{equation} a=\frac{v^2}{r}=\omega^2r=\omega v=\frac{4\pi^2r}{T^2} \end{equation}

   向心加速度是由向心力产生的,其大小和方向同样适用于所有圆周运动.


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