匀速曲线运动

             

预备知识 曲率半径,圆周运动的加速度

   要研究质点的任意曲线运动,如果我们已经知道曲线的形状和运动的速度,最重要的是算出它的加速度,以便用牛顿第二定律进行受力分析.质点沿曲线运动时,即使它的速度不变,也存在加速度,与速度的方向垂直.最典型的例子就是匀速圆周运动.我们现在把对圆周运动加速度的分析拓展到沿任意曲线的匀速运动,以后还会拓展到变速曲线运动

   在以下的推导中我们会发现可以直接使用匀速圆周运动的向心加速度公式来计算任意匀速曲线运动,只要把半径替换成曲线某点处的曲率半径.

1. 加速度推导

   质点做匀速曲线运动时,由于速度矢量模长 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{v}} \right\rvert $ 恒定,加速度矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} $ 完全由速度矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 的方向改变而产生,就像匀速圆周运动那样.回顾加速度的定义(式 5

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{a}} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \boldsymbol{\mathbf{v}} }{\Delta t} \end{equation}
类似用几何法推导匀速圆周运动的速度那样,我们可以近似认为当速度矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 转过一个小角度 $\Delta \theta$ 时,它的增量 $\Delta \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 垂直于 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $,且大小为
\begin{equation} \left\lvert \Delta \boldsymbol{\mathbf{v}} \right\rvert = v\Delta\theta \end{equation}
代入式 2 得加速度大小为
\begin{equation} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{a}} \right\rvert = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{ \left\lvert \Delta \boldsymbol{\mathbf{v}} \right\rvert }{\Delta t} = v\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta \theta}{\Delta t} = v\omega \end{equation}
其中 $\omega$ 是速度矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 在某个时刻旋转的角速度.方向与 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 垂直,即曲线切线变化的方向.

   如果使用角速度矢量(图 2 )$ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $,那么加速度矢量可以用矢量叉乘表示为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{a}} = \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} \end{equation}

   那么当质点经过曲线某一点时,如何求 $\omega$ 呢?我们可以使用曲率的概念.令质点所在位置的曲率半径为 $R$,根据曲率半径的定义(式 1 ),$\Delta t$ 内质点在曲线上走过的长度为 $\Delta l = v \Delta t$,所以切线的角度变化率为

\begin{equation} \omega = \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta \theta}{\Delta t} = \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta \theta}{\Delta l} \frac{\Delta l}{\Delta t} = \frac{v}{R} \end{equation}
再带入式 3
\begin{equation} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{a}} \right\rvert = v\omega = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R \end{equation}
这和匀速圆周运动的向心加速度(式 4 )的形式一样,只是把半径换为曲率半径.这是意料之中的,因为圆就是曲率半径恒为 $R$ 的特殊曲线.

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