质点系(摘要)

                     

贡献者: ACertainUser

1. 质点系

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图 1:质点系

   质点系由若干质点组成,是人为选定的一个系统。

内力与外力

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图 2:内力与外力

   质点所受的力可分为两类:施力与受力物体都在系统内的力叫内力,而施力、受力物体之一在系统外的叫外力。同理,可区分内力矩与外力矩。

   例如,把小明看作一个系统,那么地面对小明的支持力、小明所受的重力都是外力(因为施力物体是地球,显然不属于小明这个系统之内),而小明的腿对小明身子的支持力是内力。

   之所以这么区分,是因为内力与内力矩有一个非常好的性质:系统中内力和内力矩和始终为零。

质点系的势能

   简而言之,质点系的势能可以理解为 “组建系统所需要的能量”,它的根源是质点系中各质点的相互作用

状态量与过程量

   系统的 “状态” 可由一系列的物理量描述、确定,包括 “宏观量”(系统的机械能、系统的体积...)与 “微观量”(各质点的位矢、动量...)等

   例如桌面上有一杯水,就经典物理的眼光而言,我们可以测量他的状态量,包括温度、体积、压力,甚至用想象中的神奇工具测出每一个水分子的位矢与动量。但是,我们不能直接测量它所经历的过程,我们还是不知道这杯水曾经被烧开过多少次,或者是从哪条河流中来的。

   在牛顿力学中这部分内容不是必须的,但在经典热力学中我们会大量涉及这类问题。

2. 质点系动力学

表1:质点系相关物理定律
名称 公式 涉及的物理量 1 涉及的物理量 2 相应的守恒律
动量定理 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} = \boldsymbol{\mathbf{F}} ^{out}= \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{P}} }}{\mathrm{d}{t}} $ $ \boldsymbol{\mathbf{P}} = \sum \boldsymbol{\mathbf{P}} _i = \sum (m_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _i)$ 系统的总动量是系统中各质点的动量之和。 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} =\sum \boldsymbol{\mathbf{F}} _i$ 是系统所受的合力。由于内力和总为 $0$,只有外力和会改变系统的动量。 若 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $,则 $ \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{P}} }}{\mathrm{d}{t}} = 0$,即外力和为零时,系统动量守恒。
角动量定理 $ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} = \boldsymbol{\mathbf{\tau}} ^{out}= \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{L}} }}{\mathrm{d}{t}} $ $ \boldsymbol{\mathbf{L}} = \sum \boldsymbol{\mathbf{L}} _i= \sum ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i \times \boldsymbol{\mathbf{P}} _i)$ 系统的总角动量是系统中各质点的角动量之和。 $ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} =\sum \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _i = \sum \boldsymbol{\mathbf{(}} \boldsymbol{\mathbf{r}} _i \times \boldsymbol{\mathbf{F}} _i)$ 是系统所受的力矩和。由于内力矩和总为 $0$,只有外力矩和会改变系统的角动量。 外力矩和为零时,系统角动量守恒。
动能定理 $W = \Delta E_k$ $E_k = \frac{1}{2}\sum (m_i v_i^2)$ 系统总动能是各质点的总动能之和。 $W = \sum ( \boldsymbol{\mathbf{F}} _i \cdot \Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} _i)$ 是各力对系统做的功之和。注意 $\Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} _i$ 的含义不同于力矩中的符号,且内、外力做的功都会影响系统的总动能。 功之和为零时,系统动能守恒
保守力的功-能关系$W_{CON} = -\Delta E_p$$E_P$ 是系统的势能$W_{CON}$ 是保守内力的功之和$W_{C} = 0 \Rightarrow \Delta E_{P} = 0$
机械能定理 $W_{NC} = \Delta E_{mech}$ $E_{mech} = E_k+E_P$ 系统机械能是系统动能、势能之和 $W_{NC}$ 是外力与非保守内力的功之和 $W_{NC} = 0 \Rightarrow \Delta E_{mech} = 0$

3. 质心与质心系

   有时,我们会抽象出系统的质心,并构建质心系

表2:质心的物理量
名称 定义
质量 $M=\sum m_i$
位置 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _c =\frac{\sum (m_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _i)}{M} $
速度 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _c = \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _c}}{\mathrm{d}{t}} =\frac{\sum (m_i \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i}}{\mathrm{d}{t}} )}{M}=\frac{\sum (m_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _i)}{M} $
加速度 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _c = \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{v}} _c}}{\mathrm{d}{t}} =\frac{\sum (m_i \boldsymbol{\mathbf{a}} _i)}{M} $
动量 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} _c = M \boldsymbol{\mathbf{v}} _c = \sum (m_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _i) = \sum \boldsymbol{\mathbf{p}} _i$
角动量 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} _c = \boldsymbol{\mathbf{r}} _c \times \boldsymbol{\mathbf{P}} _c$
动能 $E_{k,c} = \frac{1}{2} M v_c^2$

   注意,除了部分物理量,“质心的物理量” 并不同于 “质点系的物理量”。以下定理给出它们之间的部分联系:

表3:一些定理
相关物理量 公式 描述
动量 $ \boldsymbol{\mathbf{P}} = \boldsymbol{\mathbf{P}} _c$ 某参考系中质点系的总动量=该参考系中质心的动量。质心系中系统的总动量始终为零。
角动量 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} = \boldsymbol{\mathbf{L}} _c + \boldsymbol{\mathbf{L}} _{CMC}$ 某参考系中质点系的总动量=该参考系中质心的角动量+质心系中系统的总角动量。
动能 $E_k = E_{k,c} + E_{k,CMC}$ 某参考系中质点系的总动能=该参考系中质心的动能+质心系中系统的总动能。此即为柯尼希定理。

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