质点系（摘要）

贡献者： ACertainUser

1. 质点系

图 1：质点系

　　质点系由若干质点组成，是人为选定的一个系统。

内力与外力

图 2：内力与外力

　　质点所受的力可分为两类：施力与受力物体都在系统内的力叫内力，而施力、受力物体之一在系统外的叫外力。同理，可区分内力矩与外力矩。

　　例如，把小明看作一个系统，那么地面对小明的支持力、小明所受的重力都是外力（因为施力物体是地球，显然不属于小明这个系统之内），而小明的腿对小明身子的支持力是内力。

　　之所以这么区分，是因为内力与内力矩有一个非常好的性质：系统中内力和与内力矩和始终为零。

质点系的势能

　　简而言之，质点系的势能可以理解为 “组建系统所需要的能量”，它的根源是质点系中各质点的相互作用。

状态量与过程量

　　系统的 “状态” 可由一系列的物理量描述、确定，包括 “宏观量”（系统的机械能、系统的体积...）与 “微观量”(各质点的位矢、动量...)等。

　　例如桌面上有一杯水，就经典物理的眼光而言，我们可以测量他的状态量，包括温度、体积、压力，甚至用想象中的神奇工具测出每一个水分子的位矢与动量。但是，我们不能直接测量它所经历的过程，我们还是不知道这杯水曾经被烧开过多少次，或者是从哪条河流中来的。

　　在牛顿力学中这部分内容不是必须的，但在经典热力学中我们会大量涉及这类问题。

2. 质点系动力学

表1：质点系相关物理定律

名称	公式	涉及的物理量 1	涉及的物理量 2	相应的守恒律
动量定理	$ \boldsymbol{\mathbf{F}} = \boldsymbol{\mathbf{F}} ^{out}= \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{P}} }}{\mathrm{d}{t}} $	$ \boldsymbol{\mathbf{P}} = \sum \boldsymbol{\mathbf{P}} _i = \sum (m_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _i)$ 系统的总动量是系统中各质点的动量之和。	$ \boldsymbol{\mathbf{F}} =\sum \boldsymbol{\mathbf{F}} _i$ 是系统所受的合力。由于内力和总为 $0$，只有外力和会改变系统的动量。	若 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $，则 $ \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{P}} }}{\mathrm{d}{t}} = 0$，即外力和为零时，系统动量守恒。
角动量定理	$ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} = \boldsymbol{\mathbf{\tau}} ^{out}= \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{L}} }}{\mathrm{d}{t}} $	$ \boldsymbol{\mathbf{L}} = \sum \boldsymbol{\mathbf{L}} _i= \sum ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i \times \boldsymbol{\mathbf{P}} _i)$ 系统的总角动量是系统中各质点的角动量之和。	$ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} =\sum \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _i = \sum \boldsymbol{\mathbf{(}} \boldsymbol{\mathbf{r}} _i \times \boldsymbol{\mathbf{F}} _i)$ 是系统所受的力矩和。由于内力矩和总为 $0$，只有外力矩和会改变系统的角动量。	外力矩和为零时，系统角动量守恒。
动能定理	$W = \Delta E_k$	$E_k = \frac{1}{2}\sum (m_i v_i^2)$ 系统总动能是各质点的总动能之和。	$W = \sum ( \boldsymbol{\mathbf{F}} _i \cdot \Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} _i)$ 是各力对系统做的功之和。注意 $\Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} _i$ 的含义不同于力矩中的符号，且内、外力做的功都会影响系统的总动能。	功之和为零时，系统动能守恒
保守力的功-能关系	$W_{CON} = -\Delta E_p$	$E_P$ 是系统的势能	$W_{CON}$ 是保守内力的功之和	$W_{C} = 0 \Rightarrow \Delta E_{P} = 0$
机械能定理	$W_{NC} = \Delta E_{mech}$	$E_{mech} = E_k+E_P$ 系统机械能是系统动能、势能之和	$W_{NC}$ 是外力与非保守内力的功之和	$W_{NC} = 0 \Rightarrow \Delta E_{mech} = 0$

3. 质心与质心系

　　有时，我们会抽象出系统的质心，并构建质心系。

表2：质心的物理量

名称	定义
质量	$M=\sum m_i$
位置	$ \boldsymbol{\mathbf{r}} _c =\frac{\sum (m_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _i)}{M} $
速度	$ \boldsymbol{\mathbf{v}} _c = \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _c}}{\mathrm{d}{t}} =\frac{\sum (m_i \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i}}{\mathrm{d}{t}} )}{M}=\frac{\sum (m_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _i)}{M} $
加速度	$ \boldsymbol{\mathbf{a}} _c = \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{v}} _c}}{\mathrm{d}{t}} =\frac{\sum (m_i \boldsymbol{\mathbf{a}} _i)}{M} $
动量	$ \boldsymbol{\mathbf{p}} _c = M \boldsymbol{\mathbf{v}} _c = \sum (m_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _i) = \sum \boldsymbol{\mathbf{p}} _i$
角动量	$ \boldsymbol{\mathbf{L}} _c = \boldsymbol{\mathbf{r}} _c \times \boldsymbol{\mathbf{P}} _c$
动能	$E_{k,c} = \frac{1}{2} M v_c^2$

　　注意，除了部分物理量，“质心的物理量” 并不同于 “质点系的物理量”。以下定理给出它们之间的部分联系：

表3：一些定理

相关物理量	公式	描述
动量	$ \boldsymbol{\mathbf{P}} = \boldsymbol{\mathbf{P}} _c$	某参考系中质点系的总动量=该参考系中质心的动量。质心系中系统的总动量始终为零。
角动量	$ \boldsymbol{\mathbf{L}} = \boldsymbol{\mathbf{L}} _c + \boldsymbol{\mathbf{L}} _{CMC}$	某参考系中质点系的总动量=该参考系中质心的角动量+质心系中系统的总角动量。
动能	$E_k = E_{k,c} + E_{k,CMC}$	某参考系中质点系的总动能=该参考系中质心的动能+质心系中系统的总动能。此即为柯尼希定理。

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元，我们一个星期内就能脱离亏损，并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。