质点系（摘要）

贡献者： ACertainUser

1. 质点系

图 1：质点系

　　质点系由若干质点组成，是人为选定的一个系统。

内力与外力

图 2：内力与外力

　　质点所受的力可分为两类：施力与受力物体都在系统内的力叫内力，而施力、受力物体之一在系统外的叫外力。同理，可区分内力矩与外力矩。

　　例如，把小明看作一个系统，那么地面对小明的支持力、小明所受的重力都是外力（因为施力物体是地球，显然不属于小明这个系统之内），而小明的腿对小明身子的支持力是内力。

　　之所以这么区分，是因为内力与内力矩有一个非常好的性质：系统中内力和与内力矩和始终为零。

质点系的势能

　　简而言之，质点系的势能可以理解为 “组建系统所需要的能量”，它的根源是质点系中各质点的相互作用。

状态量与过程量

　　系统的 “状态” 可由一系列的物理量描述、确定，包括 “宏观量”（系统的机械能、系统的体积...）与 “微观量”(各质点的位矢、动量...)等。

　　例如桌面上有一杯水，就经典物理的眼光而言，我们可以测量他的状态量，包括温度、体积、压力，甚至用想象中的神奇工具测出每一个水分子的位矢与动量。但是，我们不能直接测量它所经历的过程，我们还是不知道这杯水曾经被烧开过多少次，或者是从哪条河流中来的。

　　在牛顿力学中这部分内容不是必须的，但在经典热力学中我们会大量涉及这类问题。

2. 质点系动力学

表1：质点系相关物理定律

名称	公式	涉及的物理量 1	涉及的物理量 2	相应的守恒律
动量定理	$ \boldsymbol{\mathbf{F}} = \boldsymbol{\mathbf{F}} ^{out}= \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{P}} }}{\mathrm{d}{t}} $	$ \boldsymbol{\mathbf{P}} = \sum \boldsymbol{\mathbf{P}} _i = \sum (m_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _i)$ 系统的总动量是系统中各质点的动量之和。	$ \boldsymbol{\mathbf{F}} =\sum \boldsymbol{\mathbf{F}} _i$ 是系统所受的合力。由于内力和总为 $0$，只有外力和会改变系统的动量。	若 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $，则 $ \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{P}} }}{\mathrm{d}{t}} = 0$，即外力和为零时，系统动量守恒。
角动量定理	$ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} = \boldsymbol{\mathbf{\tau}} ^{out}= \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{L}} }}{\mathrm{d}{t}} $	$ \boldsymbol{\mathbf{L}} = \sum \boldsymbol{\mathbf{L}} _i= \sum ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i \times \boldsymbol{\mathbf{P}} _i)$ 系统的总角动量是系统中各质点的角动量之和。	$ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} =\sum \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _i = \sum \boldsymbol{\mathbf{(}} \boldsymbol{\mathbf{r}} _i \times \boldsymbol{\mathbf{F}} _i)$ 是系统所受的力矩和。由于内力矩和总为 $0$，只有外力矩和会改变系统的角动量。	外力矩和为零时，系统角动量守恒。
动能定理	$W = \Delta E_k$	$E_k = \frac{1}{2}\sum (m_i v_i^2)$ 系统总动能是各质点的总动能之和。	$W = \sum ( \boldsymbol{\mathbf{F}} _i \cdot \Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} _i)$ 是各力对系统做的功之和。注意 $\Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} _i$ 的含义不同于力矩中的符号，且内、外力做的功都会影响系统的总动能。	功之和为零时，系统动能守恒
保守力的功-能关系	$W_{CON} = -\Delta E_p$	$E_P$ 是系统的势能	$W_{CON}$ 是保守内力的功之和	$W_{C} = 0 \Rightarrow \Delta E_{P} = 0$
机械能定理	$W_{NC} = \Delta E_{mech}$	$E_{mech} = E_k+E_P$ 系统机械能是系统动能、势能之和	$W_{NC}$ 是外力与非保守内力的功之和	$W_{NC} = 0 \Rightarrow \Delta E_{mech} = 0$

3. 质心与质心系

　　有时，我们会抽象出系统的质心，并构建质心系。

表2：质心的物理量

名称	定义
质量	$M=\sum m_i$
位置	$ \boldsymbol{\mathbf{r}} _c =\frac{\sum (m_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _i)}{M} $
速度	$ \boldsymbol{\mathbf{v}} _c = \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _c}}{\mathrm{d}{t}} =\frac{\sum (m_i \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i}}{\mathrm{d}{t}} )}{M}=\frac{\sum (m_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _i)}{M} $
加速度	$ \boldsymbol{\mathbf{a}} _c = \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{v}} _c}}{\mathrm{d}{t}} =\frac{\sum (m_i \boldsymbol{\mathbf{a}} _i)}{M} $
动量	$ \boldsymbol{\mathbf{p}} _c = M \boldsymbol{\mathbf{v}} _c = \sum (m_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _i) = \sum \boldsymbol{\mathbf{p}} _i$
角动量	$ \boldsymbol{\mathbf{L}} _c = \boldsymbol{\mathbf{r}} _c \times \boldsymbol{\mathbf{P}} _c$
动能	$E_{k,c} = \frac{1}{2} M v_c^2$

　　注意，除了部分物理量，“质心的物理量” 并不同于 “质点系的物理量”。以下定理给出它们之间的部分联系：

表3：一些定理

相关物理量	公式	描述
动量	$ \boldsymbol{\mathbf{P}} = \boldsymbol{\mathbf{P}} _c$	某参考系中质点系的总动量=该参考系中质心的动量。质心系中系统的总动量始终为零。
角动量	$ \boldsymbol{\mathbf{L}} = \boldsymbol{\mathbf{L}} _c + \boldsymbol{\mathbf{L}} _{CMC}$	某参考系中质点系的总动量=该参考系中质心的角动量+质心系中系统的总角动量。
动能	$E_k = E_{k,c} + E_{k,CMC}$	某参考系中质点系的总动能=该参考系中质心的动能+质心系中系统的总动能。此即为柯尼希定理。

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