质点系的动能、柯尼希定理

                     

贡献者: addis

预备知识 质点系的动量,质心参考系

   某参考系中,质点系的动能定义为每个质点的动能之和

\begin{equation} E_k = \frac12 \sum_i m_i v_{i}^2 ~. \end{equation}
其中 $m_i$ 是第 $i$ 个质点的质量,$v_i$ 是其速度的大小。

1. 柯尼希定理

定理 1 柯尼希定理(König's theorem)

   某参考系 $S$ 中,质点系的动能(式 1 )等于 $S$ 中质点系质心的动能加上质点系在质心系 $S_c$ 中的动能,即

\begin{equation} E_k = \frac12 Mv_c^2 + \frac12 \sum_i m_i v_{ci}^2 ~. \end{equation}
其中 $M=\sum_i m_i$ 是所质点系的总质量,$v_c$ 是质心系相对于当前参考系的运动速度的大小,$m_i$ 是第 $i$ 个质点的质量,$v_{ci}$ 是第 $i$ 个质点在质心系中的速度。

   所谓 “质心的动能”,就是 $S$ 中质心处质量为 $M$ 的质点的动能,即 $Mv_c^2/2$。

   注意根据速度的叠加原理,任意质点的三个速度矢量满足关系(式 1

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i = \boldsymbol{\mathbf{v}} _c + \boldsymbol{\mathbf{v}} _{ci}~. \end{equation}

例 1 圆环滚动的动能

   一个圆环在水平地面上延直线无摩擦不打滑地滚动,其半径为 $R$,质量为 $M$,角速度为 $\omega$,求地面参考系中圆环的动能。

   解:把圆环看成很多个小块,每块看作一个质点 $m_i$,每个质点相对于圆心旋转的线速度大小都是 $v_{ci} = \omega R$,所以不打滑时地面相对于圆心平移的移动速度大小,等于圆心相对于地面平移的速度大小,同样是 $v_c = \omega R$,代入式 2 得动能为

\begin{equation} E_k = \frac12 m v_c^2 + \frac12 \sum_i m_i v_{ci}^2 = \frac12 m\omega^2 R^2 + \frac12 \sum_i m_i \omega^2 R^2 = m\omega^2 R^2~. \end{equation}

2. 证明

   在 $S$ 系中,根据式 1 式 3

\begin{equation} \begin{aligned} E_k &= \frac12 \sum_i m_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _{i}^2 = \frac12 \sum_i m_i ( \boldsymbol{\mathbf{v}} _c + \boldsymbol{\mathbf{v}} _{ci} )^2 \\ &= \frac12 \sum_i m_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _{c}^2 + \frac12 \sum_i m_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _{ci}^2 + \sum_i m_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _c \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} _{ci}~. \end{aligned} \end{equation}
对比式 2 可知,现在只需证明 $\sum\limits_i m_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _c \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} _{ci} = 0$ 即可。考虑到
\begin{equation} \sum_i m_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _c \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} _{ci} = \boldsymbol{\mathbf{v}} _c \boldsymbol\cdot \sum_i m_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _{ci}~. \end{equation}
而质心系中的质点系动量为零(式 2 ),所以
\begin{equation} \sum_i m_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _{ci} = \boldsymbol{\mathbf{0}} ~. \end{equation}
证毕。


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