质点系的动能、柯尼希定理
贡献者： addis
某参考系中，质点系的动能定义为每个质点的动能之和
\begin{equation}
E_k = \frac12 \sum_i m_i v_{i}^2 ~.
\end{equation}
其中 $m_i$ 是第 $i$ 个质点的质量，$v_i$ 是其速度的大小。
1. 柯尼希定理
定理 1 柯尼希定理（König's theorem）
某参考系 $S$ 中，质点系的动能（式 1 ）等于 $S$ 中质点系质心的动能加上质点系在质心系 $S_c$ 中的动能，即
\begin{equation}
E_k = \frac12 Mv_c^2 + \frac12 \sum_i m_i v_{ci}^2 ~.
\end{equation}
其中 $M=\sum_i m_i$ 是所质点系的总质量，$v_c$ 是质心系相对于当前参考系的运动速度的大小，$m_i$ 是第 $i$ 个质点的质量，$v_{ci}$ 是第 $i$ 个质点在质心系中的速度。
所谓 “质心的动能”，就是 $S$ 中质心处质量为 $M$ 的质点的动能，即 $Mv_c^2/2$。
注意根据速度的叠加原理，任意质点的三个速度矢量满足关系（式 1 ）
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} _i = \boldsymbol{\mathbf{v}} _c + \boldsymbol{\mathbf{v}} _{ci}~.
\end{equation}
例 1 圆环滚动的动能
一个圆环在水平地面上延直线无摩擦不打滑地滚动，其半径为 $R$，质量为 $M$，角速度为 $\omega$，求地面参考系中圆环的动能。
解：把圆环看成很多个小块，每块看作一个质点 $m_i$，每个质点相对于圆心旋转的线速度大小都是 $v_{ci} = \omega R$，所以不打滑时地面相对于圆心平移的移动速度大小，等于圆心相对于地面平移的速度大小，同样是 $v_c = \omega R$，代入式 2 得动能为
\begin{equation}
E_k = \frac12 m v_c^2 + \frac12 \sum_i m_i v_{ci}^2 = \frac12 m\omega^2 R^2 + \frac12 \sum_i m_i \omega^2 R^2 = m\omega^2 R^2~.
\end{equation}
2. 证明
在 $S$ 系中，根据式 1 和式 3 有
\begin{equation}
\begin{aligned}
E_k &= \frac12 \sum_i m_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _{i}^2
= \frac12 \sum_i m_i ( \boldsymbol{\mathbf{v}} _c + \boldsymbol{\mathbf{v}} _{ci} )^2 \\
&= \frac12 \sum_i m_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _{c}^2 + \frac12 \sum_i m_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _{ci}^2 + \sum_i m_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _c \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} _{ci}~.
\end{aligned} \end{equation}
对比
式 2 可知，现在只需证明 $\sum\limits_i m_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _c \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} _{ci} = 0$ 即可。考虑到
\begin{equation}
\sum_i m_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _c \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} _{ci} = \boldsymbol{\mathbf{v}} _c \boldsymbol\cdot \sum_i m_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _{ci}~.
\end{equation}
而质心系中的质点系动量为零（
式 2 ），所以
\begin{equation}
\sum_i m_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _{ci} = \boldsymbol{\mathbf{0}} ~.
\end{equation}
证毕。
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