简单刚体系统的静力学分析

                     

贡献者: ACertainUser

   本文简要介绍分析简单平面刚体系统的静力学分析。1

1. 轻绳与轻杆模型

轻绳

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图 1:轻绳

   拉紧的轻绳只能受拉而不能受压。

   拉紧的轻绳向与其相连的刚体提供拉力,但不能提供压力(轻绳不能被压缩);如果轻绳被拉直,那么轻绳提供的拉力方向总是平行于绳。

轻杆

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图 2:轻杆

   轻杆可以受压或受拉,同时轻杆提供的力的方向也不一定平行于轻杆。

2. 常见约束条件

接触面 Surface Constraint

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图 3:接触面模型 1
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图 4:接触面模型 2

   放置于平坦接触面的刚体受一个垂直于公切面的支持力。如果接触面粗糙,还可以提供一个平行于接触面的静摩擦力。

小车模型 Roller Support

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图 5:小车模型

   小车可以为与其相连的杆提供一个垂直接触面向上的支持力,但是不能提供一个垂直表面向下的拉力;如果接触面是粗糙的,那还能提供一个平行于接触面的静摩擦力。

铰链模型 Fixed Hinge

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图 6:铰链模型

   铰链可以为与其相连的杆提供一个任意方向的力,但是不能提供力偶。在初步的受力分析中,力的方向不能确定,因此可以先记为两个互相垂直的分力。

钉子模型 Fixed Rod

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图 7:钉子模型

   杆钉入墙中的部分可以提供一个任意方向的力与一个力偶。同铰链一样,力的方向无法立刻确定,先记为两个互相垂直的分力。

3. 系统、内力与外力

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图 8:灵光一现(图片来自 Pixabay)

   你或许已经了解过系统、内力与外力的相关内容。不过,在此之前,你最好复习一下相关概念。

   系统是指人为选定的一组物体、组件。系统的选取是任意的,即你应该根据具体问题的不同,以适合解决问题的方式来选取系统。有时,为了研究方便,我们还能在系统中再选取子系统,并分析各个子系统之间的相互作用。例如,我们可以选取灯泡(以及其中的灯丝、装填的惰性气体等)作为一个系统。

   内力指受力与施力物体均在系统之内的力。例如,灯头对灯丝施加对支持力就是内力,因为灯头与灯丝都在灯泡这一系统内。

   而外力的施力物体在系统之外。例如,灯泡所受的重力(施力物体是地球,在系统之外),电线对灯泡的拉力(施力物体是电线,也在系统之外)都是外力。

   我们将在下文探讨为何要选定系统。

4. 主动力与约束力

   先简要定义约束力与主动力:

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图 9:主动力与约束力

5. 受力分析

   总体思路是系统法与隔离法,即先分析系统的整体受力,再逐个分析系统内各个组件的受力。分析系统受力不是一蹴而就,经常是一个反复试错、修正的过程。

   特别要注意的是,根据牛顿第三定律,若 A 对 B 施加约束力,那么 B 对 A 也会施加一个等大反向的约束力。也就是说,若 A 对 B 施加的约束力已被确定,那么 B 对 A 施加的约束力也随之确定。标注组件的约束力时必须注意到这一点,以避免引入多余变量。

6. 静力平衡方程

预备知识 刚体的静力平衡

   当系统处于静力平衡时,其中每一个刚体都处于静力平衡。而对于一个刚体,处于平衡的条件是合力为 0,且力矩和为 0。或许你已经知道,若合力为 0 但力矩和不为 0,那么刚体会开始加速旋转。

合力

   对于合力,一般把所有力分解至水平与竖直方向,在这两个方向上的合力分别为 0. 力是有方向的,在这种平面情况下,以正负号代表方向。可选取水平向右、垂直向上为正方向。

\begin{equation} \sum F_x=\sum F_y=0 \end{equation}
如果一个力的计算结果是负数,那么说明力的实际方向与假定的相反。

力矩和

   对于力矩和,一般选取未知力较多的点作为参考点,因为作用点在该点上的未知力关于该点的力矩均为 0。同时,计算力矩时,也是一般把力分解至水平与竖直方向,分别计算力矩。力矩也是有方向的,在这种平面情况下,以正负号代表方向。可使用右手法则确定力矩的正负:拇指放在参考点,四指指向力的方向。拇指向纸面内为正,朝纸面外为负。

\begin{equation} \sum M=0 \end{equation}
有时,也可以选取多个不同的点作为参考点,并列出多个 力矩和 方程。

例 1 框架结构的受力

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图 13:框架结构

   如图,杆的重力均不计,分析框架的受力

   先分析系统的整体受力。但此时未知力太多,无法得到有价值的信息。

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图 14:AB 杆受力

   再分析 AB 杆的受力。显然,AB 杆只受两个力(分别由两个铰链提供),根据二力平衡定理,两力等大、反向、作用点共线。

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图 15:BC 杆受力

   再分析 BC 杆的受力。注意根据牛顿第三定律,B 处力的方向已经可以确定。

   最后,根据各组件力的平衡条件列方程组,即可解得 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _A, \boldsymbol{\mathbf{F}} _B, \boldsymbol{\mathbf{F}} _C$。例如,在 BC 杆中,可列出平衡方程:

   x 方向合力为 0: $F_{Cx}-P-F_{B} \cos \theta=0$

   y 方向合力为 0: $F_{Cy}-P-F_{B}\sin \theta=0$

   关于 C 点的力矩和为 0: $P \cdot l_{CP} + F_{By} \cdot l_{CB} = 0$

   共有 3 个未知量($F_{Cx}, F_{Cy}, F_B$)与 3 个方程,原则上可以解出全部未知力。

习题 1 “反重力积木”?

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图 16:“反重力积木”

   试受力分析该 “反重力积木”,并说明其实它并没有反重力。2


1. ^ 本文参考了张娟著《理论力学》.本文无协议冲突的部分适用于 CC-BY-SA,否则相应部分遵循原协定。
2. ^ 图片来自网络


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