贡献者： addis; huyushuo
轻杆在这里指是质量可以忽略不计，且不能伸缩的刚性杆。轻杆和质点一样都是一种理想化的模型。我们先来讨论轻杆的运动学特性，而把动力学放到后面。
1. 不可伸长条件
速度约束
我们来思考 “不可伸长” 这一条件会对杆两端的速度和加速度带来什么约束。令杆的长度为 $L$，两端点的位置矢量分别为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _1$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _2$，则杆的长度平方为 $L^2 = ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 - \boldsymbol{\mathbf{r}} _1)^2$。另外记端点的速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1, \boldsymbol{\mathbf{v}} _2$。
如果我们将 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _1$ 指向 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _2$ 的单位矢量记为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $，那么易得
\begin{equation}
\hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} = \frac{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 - \boldsymbol{\mathbf{r}} _1}{L}~.
\end{equation}
长度平方随时间的变化率为
1
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} L^2 = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 - \boldsymbol{\mathbf{r}} _1)^2~.
\end{equation}
由矢量求导法则
式 6 得
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} L^2 = 2L \frac{\mathrm{d}{L}}{\mathrm{d}{t}} = 2 ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 - \boldsymbol{\mathbf{r}} _1) \boldsymbol\cdot ( \boldsymbol{\mathbf{v}} _2 - \boldsymbol{\mathbf{v}} _1) = 2L ( \boldsymbol{\mathbf{v}} _2 - \boldsymbol{\mathbf{v}} _1) \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ~,
\end{equation}
即
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{L}}{\mathrm{d}{t}} = \boldsymbol{\mathbf{v}} _2 \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} - \boldsymbol{\mathbf{v}} _1 \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ~.
\end{equation}
所以要满足长度恒定不变，只需要满足（充分必要条件
）
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} _2 \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} = \boldsymbol{\mathbf{v}} _1 \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ~.
\end{equation}
该式说明，两个端点的速度延杆的分量在任意时刻都相等。
例 1
如图 3 ，杆的两端被固定在两个垂直的轨道上运动，两端的运动速度分别为 $v_1, v_2$，已知杆与水平轨道的夹角为 $\theta$，求 $v_1$ 和 $v_2$ 的关系。
图 1：杆的运动
解：由式 5 ，两速度在杆方向的分量应该相等，即
\begin{equation}
v_2 \cos\theta = v_1 \sin\theta~,
\end{equation}
即
\begin{equation}
v_2 = v_1 \tan\theta~.
\end{equation}
例 2 人拉船模型
如图 2 ，人在岸上通过一小滑轮用绳子以速度 $v$ 拉船，绳子与水平面的夹角为 $\theta$，求船的速度 $u$。
图 2：人拉船模型
解：我们可以把从滑轮到船的这段绳子的长度缩短的速度用式 4 来计算，这个速度也就是人的速度
\begin{equation}
v = - \frac{\mathrm{d}{L}}{\mathrm{d}{t}} = u \cos\theta~,
\end{equation}
所以
\begin{equation}
u = \frac{v}{\cos\theta}~.
\end{equation}
习题 1
三个小朋友 $ACB$ 两两相距 $30 \,\mathrm{m} $，接下来的任意时刻 $A$ 向着 $B$ 跑，$B$ 向着 $C$ 跑，$C$ 向着 $A$ 跑，速度都相等。求他们相遇时，各跑了多少路程。
角速度
首先假设杆长度不变，若已知两端点的速度，如何求出角速度呢？我们可以在以 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _1$ 为原点的无转动的参考系中观察，此时轻杆另一端的速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _2' = \boldsymbol{\mathbf{v}} _2 - \boldsymbol{\mathbf{v}} _1$ 且与 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 垂直，所以角速度大小为
\begin{equation}
\omega = \frac{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{v}} _2 - \boldsymbol{\mathbf{v}} _1 \right\rvert }{L}~.
\end{equation}
角速度矢量（
子节 3 ）为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{\omega}} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \boldsymbol\times \frac{ \boldsymbol{\mathbf{v}} _2 - \boldsymbol{\mathbf{v}} _1}{L}~.
\end{equation}
注意即使杆长度改变，该式同样成立。
加速度约束
若我们想知道轻杆对其两端加速度的约束，只需对式 3 两边再求一次时间导数，即式 2 的二阶时间导数。
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}{t}^{2}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 - \boldsymbol{\mathbf{r}} _1)^2 = 2( \boldsymbol{\mathbf{v}} _2 - \boldsymbol{\mathbf{v}} _1)^2 + 2( \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 - \boldsymbol{\mathbf{r}} _1) \boldsymbol\cdot ( \boldsymbol{\mathbf{a}} _2 - \boldsymbol{\mathbf{a}} _1) = 0~,
\end{equation}
用
式 10 把式中的 $( \boldsymbol{\mathbf{v}} _2 - \boldsymbol{\mathbf{v}} _1)^2$ 替换为 $\omega^2 L^2$，再两边除以 $L$ 得
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{a}} _1 \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} - \boldsymbol{\mathbf{a}} _2 \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} = \omega^2 L~.
\end{equation}
$\omega$ 是杆的瞬时角速度的大小。这就是说，杆两端的加速度之和（向内为正）等于 $\omega^2L$。
一个简单的特例是若杆的一端固定，另一端的向心加速度就是熟悉的 $\omega^2L$。
另外若杆允许伸缩，也不难证明
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}^{2}{L}}{\mathrm{d}{t}^{2}} = \omega^2 L + \boldsymbol{\mathbf{a}} _2 \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} - \boldsymbol{\mathbf{a}} _1 \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ~.
\end{equation}
例 3
在例 1 的模型中，若已知端点的速度 $v_1, v_2$ 和 $\theta$，求两点加速度 $a_1, a_2$ 的关系。
图 3：杆的运动
解：由式 11 和式 13 得，
\begin{equation}
\omega = (v_1 \cos\theta + v_2 \sin\theta)/r~,
\end{equation}
\begin{equation}
a_2 \cos\theta - a_1 \sin\theta = \omega^2 r = (v_1 \cos\theta + v_2 \sin\theta)^2/r~.
\end{equation}
习题 2
在例 2 中，若拉绳的人不仅有速度 $v$ 还有加速度 $a$，求滑块的加速度。
2. 动力学
轻杆没有质量，也没有转动惯量。假设我们只能在轻杆的两端对其施加两个力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _1, \boldsymbol{\mathbf{F}} _2$，这两个力会满足什么条件呢？首先，轻杆受到的合力必须为 $ \boldsymbol{\mathbf{0}} $，否则他就会马上被加速到无限快。这意味着这两个力大小相等，方向相反（$ \boldsymbol{\mathbf{F}} _1 + \boldsymbol{\mathbf{F}} _2 = \boldsymbol{\mathbf{0}} $）。其次，它受到的和力矩必须也为 $ \boldsymbol{\mathbf{0}} $，否则就会瞬间拥有无限大的角速度。这意味着两个力必须共线，即都延杆的方向。于是我们可以令 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _1 = F \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $，$ \boldsymbol{\mathbf{F}} _2 = -F \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $。
现在，无论轻杆如何运动，这两个力对轻杆做功的功率为
\begin{equation}
P = \boldsymbol{\mathbf{F}} _1 \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} _1 + \boldsymbol{\mathbf{F}} _2 \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} _2 = F ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} _1 - \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} _2)~,
\end{equation}
由
式 5 可知功率恒为 0。
1. ^ 为什么我们要用长度的平方而不是直接对 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 - \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 \right\rvert $ 求导？我们的确可以这么做并得到同样的结果，但是使用平方会使计算更方便。
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