轻杆模型

             

预备知识 速度 加速度

   轻杆在这里指是质量可以忽略不计,且不能伸缩的刚性杆.轻杆和质点一样都是一种理想化的模型.我们先来讨论轻杆的运动学特性,而把动力学放到后面.

1. 不可伸长条件

速度约束

   我们来思考 “不可伸长” 这一条件会对杆两端的速度和加速度带来什么约束.令杆的长度为 $L$,两端点的位置矢量分别为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _1$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _2$,则杆的长度平方为 $L^2 = ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 - \boldsymbol{\mathbf{r}} _1)^2$.另外记端点的速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1, \boldsymbol{\mathbf{v}} _2$.

   如果我们将 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _1$ 指向 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _2$ 的单位矢量记为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $

\begin{equation} \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} = \frac{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 - \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 \right\rvert }{L} \end{equation}

   长度平方随时间的变化的率为1

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} L^2 = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 - \boldsymbol{\mathbf{r}} _1)^2 \end{equation}
由矢量求导法则
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} L^2 = 2L \frac{\mathrm{d}{L}}{\mathrm{d}{t}} = 2 ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 - \boldsymbol{\mathbf{r}} _1) \boldsymbol\cdot ( \boldsymbol{\mathbf{v}} _2 - \boldsymbol{\mathbf{v}} _1) = 2L ( \boldsymbol{\mathbf{v}} _2 - \boldsymbol{\mathbf{v}} _1) \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \end{equation}
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{L}}{\mathrm{d}{t}} = \boldsymbol{\mathbf{v}} _2 \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} - \boldsymbol{\mathbf{v}} _1 \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \end{equation}
所以要满足长度恒定不变,只需要满足(充分必要条件)
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} _2 \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} = \boldsymbol{\mathbf{v}} _1 \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \end{equation}
该式的意思是,两个端点的速度延杆的分量在任意时刻都相等.

例 1 

   如图 3 ,杆的两端被固定在两个垂直的轨道上运动,两端的运动速度分别为 $v_1, v_2$,已知杆与水平轨道的夹角为 $\theta$,求 $v_1$ 和 $v_2$ 的关系.

图
图 1:杆的运动

   解:由式 5 ,两速度在杆方向的分量应该相等,即

\begin{equation} v_2 \cos\theta = v_1 \sin\theta \end{equation}
\begin{equation} v_2 = v_1 \tan\theta \end{equation}

例 2 人拉船模型

   如图 2 ,人在岸上通过一小滑轮用绳子以速度 $v$ 拉船,绳子与水平面的夹角为 $\theta$,求船的速度 $u$.

图
图 2:人拉船模型

   解:我们可以把从滑轮到船的这段绳子的长度缩短的速度用式 4 来计算,这个速度也就是人的速度

\begin{equation} v = - \frac{\mathrm{d}{L}}{\mathrm{d}{t}} = u \cos\theta \end{equation}
所以
\begin{equation} u = \frac{v}{\cos\theta} \end{equation}

习题 1 

   三个小朋友 $ACB$ 两两相距 $30 \,\mathrm{m} $,接下来的任意时刻 $A$ 向着 $B$ 跑,$B$ 向着 $C$ 跑,$C$ 向着 $A$ 跑,速度都相等.求他们相遇时,各跑了多少路程.

角速度

预备知识 圆周运动的加速度

   若已知两端点的速度,如何求出角速度呢?我们可以在以 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _1$ 为原点的无转动的参考系中观察,此时轻杆另一端的速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _2' = \boldsymbol{\mathbf{v}} _2 - \boldsymbol{\mathbf{v}} _1$ 且与 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 垂直,所以角速度大小为

\begin{equation} \omega = \frac{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{v}} _2 - \boldsymbol{\mathbf{v}} _1 \right\rvert }{r} \end{equation}
矢量表达式为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \boldsymbol\times \frac{ \boldsymbol{\mathbf{v}} _2 - \boldsymbol{\mathbf{v}} _1}{r} \end{equation}

加速度约束

   若我们想知道对加速度的约束,只需对式 3 两边再求一次时间导数,即式 2 的二阶时间导数.

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}{t}^{2}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 - \boldsymbol{\mathbf{r}} _1)^2 = ( \boldsymbol{\mathbf{v}} _2 - \boldsymbol{\mathbf{v}} _1)^2 + ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 - \boldsymbol{\mathbf{r}} _1) \boldsymbol\cdot ( \boldsymbol{\mathbf{a}} _2 - \boldsymbol{\mathbf{a}} _1) = 0 \end{equation}

   用式 10 把 $( \boldsymbol{\mathbf{v}} _2 - \boldsymbol{\mathbf{v}} _1)^2$ 用 $\omega$ 表示,再两边除以 $r$ 得

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{a}} _1 \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} - \boldsymbol{\mathbf{a}} _2 \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} = \omega^2 r \end{equation}
$\omega$ 是杆的瞬时角速度的大小.

例 3 

   在例 1 的模型中,若已知端点的速度 $v_1, v_2$ 和 $\theta$,求两点加速度 $a_1, a_2$ 的关系.

图
图 3:杆的运动

   解:由式 11 式 13 得,

\begin{equation} \omega = (v_2 \cos\theta + v_1 \sin\theta)/r \end{equation}
\begin{equation} a_2 \cos\theta - a_1 \sin\theta = \omega^2 r = (v_2 \cos\theta + v_1 \sin\theta)^2/r \end{equation}

2. 动力学

预备知识 转动惯量

   轻杆没有质量,也没有转动惯量.假设我们只能在轻杆的两端对其施加两个力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _1, \boldsymbol{\mathbf{F}} _2$,这两个力会满足什么条件呢?首先,轻杆受到的合力必须为 $ \boldsymbol{\mathbf{0}} $,否则他就会马上被加速到无限快.这意味着这两个力大小相等,方向相反($ \boldsymbol{\mathbf{F}} _1 + \boldsymbol{\mathbf{F}} _2 = \boldsymbol{\mathbf{0}} $).其次,它受到的和力矩必须也为 $ \boldsymbol{\mathbf{0}} $,否则就会瞬间拥有无限大的角速度.这意味着两个力必须共线,即都延杆的方向.于是我们可以令 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _1 = F \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $,$ \boldsymbol{\mathbf{F}} _2 = -F \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $.

   现在,无论轻杆如何运动,这两个力对轻杆做功的功率为

\begin{equation} P = \boldsymbol{\mathbf{F}} _1 \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} _1 + \boldsymbol{\mathbf{F}} _2 \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} _2 = F ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} _1 - \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} _2) \end{equation}
式 5 可知功率恒为 0.


1. ^ 为什么我们要用长度的平方而不是直接对 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 - \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 \right\rvert $ 求导?我们的确可以这么做并得到同样的结果,但是使用平方会使计算更方便.

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