轻杆模型

贡献者： addis; huyushuo

预备知识 1　速度、加速度

　　轻杆在这里指是质量可以忽略不计，且不能伸缩的刚性杆。轻杆和质点一样都是一种理想化的模型。我们先来讨论轻杆的运动学特性，而把动力学放到后面。

1. 不可伸长条件

速度约束

　　我们来思考 “不可伸长” 这一条件会对杆两端的速度和加速度带来什么约束。令杆的长度为 $L$ ，两端点的位置矢量分别为 $r_{1}$ 和 $r_{2}$ ，则杆的长度平方为 $L^{2} = (r_{2} - r_{1})^{2}$ 。另外记端点的速度为 $v_{1}, v_{2}$ 。

　　如果我们将 $r_{1}$ 指向 $r_{2}$ 的单位矢量记为 $\hat{r}$ ，那么易得

\begin{matrix} (1) & \hat{r} = \frac{r_{2} - r_{1}}{L} . \end{matrix}

长度平方随时间的变化率为¹

\begin{matrix} (2) & \frac{d}{d t} L^{2} = \frac{d}{d t} (r_{2} - r_{1})^{2} . \end{matrix}

由矢量求导法则式 6 得

\begin{matrix} (3) & \frac{d}{d t} L^{2} = 2 L \frac{d L}{d t} = 2 (r_{2} - r_{1}) \cdot (v_{2} - v_{1}) = 2 L (v_{2} - v_{1}) \cdot \hat{r}, \end{matrix}

即

\begin{matrix} (4) & \frac{d L}{d t} = v_{2} \cdot \hat{r} - v_{1} \cdot \hat{r} . \end{matrix}

所以要满足长度恒定不变，只需要满足（充分必要条件）

\begin{matrix} (5) & v_{2} \cdot \hat{r} = v_{1} \cdot \hat{r} . \end{matrix}

该式说明，两个端点的速度延杆的分量在任意时刻都相等。

例 1　

　　如图 3 ，杆的两端被固定在两个垂直的轨道上运动，两端的运动速度分别为 $v_{1}, v_{2}$ ，已知杆与水平轨道的夹角为 $θ$ ，求 $v_{1}$ 和 $v_{2}$ 的关系。

图 1：杆的运动

　　解：由式 5 ，两速度在杆方向的分量应该相等，即

\begin{matrix} (6) & v_{2} \cos θ = v_{1} \sin θ, \end{matrix}

即

\begin{matrix} (7) & v_{2} = v_{1} \tan θ . \end{matrix}

例 2　人拉船模型

　　如图 2 ，人在岸上通过一小滑轮用绳子以速度 $v$ 拉船，绳子与水平面的夹角为 $θ$ ，求船的速度 $u$ 。

图 2：人拉船模型

　　解：我们可以把从滑轮到船的这段绳子的长度缩短的速度用式 4 来计算，这个速度也就是人的速度

\begin{matrix} (8) & v = - \frac{d L}{d t} = u \cos θ, \end{matrix}

所以

\begin{matrix} (9) & u = \frac{v}{\cos θ} . \end{matrix}

习题 1　

　　三个小朋友 $A C B$ 两两相距 $30 m$ ，接下来的任意时刻 $A$ 向着 $B$ 跑， $B$ 向着 $C$ 跑， $C$ 向着 $A$ 跑，速度都相等。求他们相遇时，各跑了多少路程。

角速度

预备知识 2　圆周运动的加速度

　　首先假设杆长度不变，若已知两端点的速度，如何求出角速度呢？我们可以在以 $r_{1}$ 为原点的无转动的参考系中观察，此时轻杆另一端的速度为 $v_{2}^{'} = v_{2} - v_{1}$ 且与 $\hat{r}$ 垂直，所以角速度大小为

\begin{matrix} (10) & ω = \frac{| v_{2} - v_{1} |}{L} . \end{matrix}

角速度矢量（子节 3 ）为

\begin{matrix} (11) & ω = \hat{r} \times \frac{v_{2} - v_{1}}{L} . \end{matrix}

注意即使杆长度改变，该式同样成立。

加速度约束

　　若我们想知道轻杆对其两端加速度的约束，只需对式 3 两边再求一次时间导数，即式 2 的二阶时间导数。

\begin{matrix} (12) & \frac{d^{2}}{d t^{2}} (r_{2} - r_{1})^{2} = 2 (v_{2} - v_{1})^{2} + 2 (r_{2} - r_{1}) \cdot (a_{2} - a_{1}) = 0, \end{matrix}

用式 10 把式中的

(v_{2} - v_{1})^{2}

替换为

ω^{2} L^{2}

，再两边除以

L

得

\begin{matrix} (13) & a_{1} \cdot \hat{r} - a_{2} \cdot \hat{r} = ω^{2} L . \end{matrix}

ω

是杆的瞬时角速度的大小。这就是说，杆两端的加速度之和（向内为正）等于

ω^{2} L

。

　　一个简单的特例是若杆的一端固定，另一端的向心加速度就是熟悉的 $ω^{2} L$ 。

　　另外若杆允许伸缩，也不难证明

\begin{matrix} (14) & \frac{d^{2} L}{d t^{2}} = ω^{2} L + a_{2} \cdot \hat{r} - a_{1} \cdot \hat{r} . \end{matrix}

例 3　

　　在例 1 的模型中，若已知端点的速度 $v_{1}, v_{2}$ 和 $θ$ ，求两点加速度 $a_{1}, a_{2}$ 的关系。

图 3：杆的运动

　　解：由式 11 和式 13 得，

\begin{matrix} (15) & ω = (v_{1} \cos θ + v_{2} \sin θ) / r, \end{matrix}

\begin{matrix} (16) & a_{2} \cos θ - a_{1} \sin θ = ω^{2} r = (v_{1} \cos θ + v_{2} \sin θ)^{2} / r . \end{matrix}

习题 2　

　　在例 2 中，若拉绳的人不仅有速度 $v$ 还有加速度 $a$ ，求滑块的加速度。

2. 动力学

预备知识 3　转动惯量

　　轻杆没有质量，也没有转动惯量。假设我们只能在轻杆的两端对其施加两个力 $F_{1}, F_{2}$ ，这两个力会满足什么条件呢？首先，轻杆受到的合力必须为 $0$ ，否则他就会马上被加速到无限快。这意味着这两个力大小相等，方向相反（ $F_{1} + F_{2} = 0$ ）。其次，它受到的和力矩必须也为 $0$ ，否则就会瞬间拥有无限大的角速度。这意味着两个力必须共线，即都延杆的方向。于是我们可以令 $F_{1} = F \hat{r}$ ， $F_{2} = - F \hat{r}$ 。

　　现在，无论轻杆如何运动，这两个力对轻杆做功的功率为

\begin{matrix} (17) & P = F_{1} \cdot v_{1} + F_{2} \cdot v_{2} = F (\hat{r} \cdot v_{1} - \hat{r} \cdot v_{2}), \end{matrix}

由式 5 可知功率恒为 0。

1. ^ 为什么我们要用长度的平方而不是直接对 $| r_{2} - r_{1} |$ 求导？我们的确可以这么做并得到同样的结果，但是使用平方会使计算更方便。

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。

轻杆模型

1. 不可伸长条件

速度约束

例 1

例 2 人拉船模型

习题 1

角速度

加速度约束

例 3

习题 2

2. 动力学

例 1　

例 2　人拉船模型

习题 1　

例 3　

习题 2　