刚体的平面运动方程

             

预备知识 转动惯量

   任意惯性系中,若刚体质量为 $M$,质心为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _c$,刚体受若干个力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _i$,作用点分别为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i$,若刚体只延一个固定的方向转动(如刚体的二维运动),且该方向关于质心的转动惯量为 $I$,则质心运动方程和绕质心转动的方程分别为

\begin{equation} M \boldsymbol{\mathbf{a}} _c = \sum_i \boldsymbol{\mathbf{F}} _i \end{equation}
\begin{equation} I \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} = \sum_i \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _i = \sum_i ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i- \boldsymbol{\mathbf{r}} _c) \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{F}} _i \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _c$ 是质心的加速度,$ \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} $ 是绕质心转动的角加速度.这是说,我们可以把刚体的运动分解成质心的移动和相对质心的转动,并用合力计算前者,用关于质心的合力矩计算后者.

1. 推导

   我们把刚体看做质点系来证明,已知刚体总动量等于质心动量 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} _c$.在任意惯性系中,由动量定理,动量变化率为

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \boldsymbol{\mathbf{p}} _c = M \boldsymbol{\mathbf{a}} _c = \sum_i \boldsymbol{\mathbf{F}} _i \end{equation}

   现在我们用角动量定理证明式 2 .由于质心与刚体的相对位置不变,质心系中刚体必须绕质心转动,且角动量为(式 8 )$ \boldsymbol{\mathbf{L}} _c = I \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $,角动量变化率为1

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{L}} _c}}{\mathrm{d}{t}} = I \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} }}{\mathrm{d}{t}} = I \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} \end{equation}
要特别注意的是,除非合力为零,质心系并不是惯性系,所以使用角动量定理要考虑刚体的惯性力.但幸运的是质心系中惯性力(式 5 )$-m_i \boldsymbol{\mathbf{a}} _c$ 产生的合力矩为零
\begin{equation} \sum_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _{ci} \boldsymbol\times (-m_i \boldsymbol{\mathbf{a}} _{c}) = \boldsymbol{\mathbf{a}} _{c} \boldsymbol\times \sum_i m_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _{ci} = \boldsymbol{\mathbf{0}} \end{equation}
现在我们可以继续角动量定理
\begin{equation} I \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} = \sum_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _{ci} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{F}} _i \end{equation}
由于质心系相对于任何惯性系没有相对转动,所以在任意惯性系中刚体的角加速度仍然为 $ \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} $.但受力点的位矢变为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i = \boldsymbol{\mathbf{r}} _c + \boldsymbol{\mathbf{r}} _{ci}$,即
\begin{equation} I \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} = \sum_i ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i- \boldsymbol{\mathbf{r}} _c) \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{F}} _i \end{equation}

例 1 球体或圆柱延斜面无摩擦滚动

   如图 1 ,在一个倾角为 $\theta$ 的斜面上,一个半径为 $R$ 质量为 $M$ 的均匀 的球体(或圆柱)从静止开始向下滚动,其转动惯量为 $I$,求质心的加速度和滚动的角加速度.

图
图 1:圆柱延斜面无摩擦滚动

   解:首先,根据无摩擦的条件,系统只有一个自由度,即圆柱的位移或者转角,二者的关系为

\begin{equation} s = R\theta \end{equation}
两边求二阶导数,得加速度与角加速度的关系为
\begin{equation} a = R\alpha \end{equation}

   受力分析如图,圆柱受三个力:重力,支持力和静摩擦力.将物体受到的重力分解为垂直斜面方向和沿斜面方向的两个分力.其中垂直方向的分力与斜面提供的支持力抵消,而平行方向的分量和摩擦力的合力决定质心的加速度式 1

\begin{equation} mg\sin\theta - f = Ma \end{equation}
再来分析关于质心的转动,由于重力和摩擦力都在质心,所以对合力矩贡献为 0.所以只有摩擦力的贡献为 $\tau = fR$,由式 2
\begin{equation} I\alpha = f R \end{equation}
式 9 式 11 三式解得加速度为
\begin{equation} a = \frac{g \sin\theta}{1 + I/(MR^2)} \end{equation}
可见转动惯量为 0 时,结果与无摩擦滚动一致.而转动惯量越大,加速度就越小.

例 2 

   一根质量为 $M$ 长为 $L$ 的均匀细棒延 $y$ 方向静止放置在水平面 $xy$,从 $t=0$ 时起在其上端施加一个 $x$ 方向的恒力,描述细棒如何运动.如果木棒与地面的摩擦系数为 $\mu$,答案又如何?

   首先考虑质心的运动,细棒所受外力只有一个恒力,所以由式 1 质心沿 $x$ 方向做匀加速运动.再来看质心系中细棒的转动由 “ 转动惯量” 中例 1 可知细棒绕其质心做单摆运动.


1. ^ 注意第一步成立的条件是 $I$ 不变,而一般情况下 $I$ 与刚体的转轴有关,所以只能假设刚体延同一方向转动.唯一的例外是物体的转动惯量与方向无关的情况,例如球体.刚体的变向转动较为复杂,不做讨论.

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