贡献者： addis
任意惯性系中，若刚体质量为 $M$，质心为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _c$，刚体受若干个力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _i$，作用点分别为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i$，若刚体的转动被限制在一个固定的方向，且过质心转轴的转动惯量为 $I$，则质心运动方程和绕质心转动的方程分别为
\begin{equation}
M \boldsymbol{\mathbf{a}} _c = \sum_i \boldsymbol{\mathbf{F}} _i~,
\end{equation}
\begin{equation}
I \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} = \sum_i \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _i = \sum_i ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i- \boldsymbol{\mathbf{r}} _c) \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{F}} _i~.
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _c$ 是质心的加速度，$ \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} $ 是绕质心转动的角加速度。这是说，我们可以把刚体的运动分解成质心的移动和相对质心的转动，并用合力计算前者，用关于质心的合力矩计算后者。
1. 推导
我们把刚体看做质点系来证明，已知刚体总动量等于质心动量 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} _c$。在任意惯性系中，由动量定理，动量变化率为
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \boldsymbol{\mathbf{p}} _c = M \boldsymbol{\mathbf{a}} _c = \sum_i \boldsymbol{\mathbf{F}} _i~,
\end{equation}
现在我们用角动量定理证明式 2 。由于质心与刚体的相对位置不变，质心系中刚体必须绕质心转动，且角动量为（式 12 ）$ \boldsymbol{\mathbf{L}} _c = I \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $，角动量变化率为1
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{L}} _c}}{\mathrm{d}{t}} = I \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} }}{\mathrm{d}{t}} = I \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} ~.
\end{equation}
要特别注意的是，除非合力为零，质心系并不是惯性系，所以使用角动量定理要考虑刚体的惯性力。但幸运的是质心系中惯性力（
式 5 ）$-m_i \boldsymbol{\mathbf{a}} _c$ 产生的合力矩为零
\begin{equation}
\sum_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _{ci} \boldsymbol\times (-m_i \boldsymbol{\mathbf{a}} _{c}) = \boldsymbol{\mathbf{a}} _{c} \boldsymbol\times \sum_i m_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _{ci} = \boldsymbol{\mathbf{0}} ~.
\end{equation}
现在我们可以继续
角动量定理 得
\begin{equation}
I \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} = \sum_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _{ci} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{F}} _i~.
\end{equation}
由于质心系相对于任何惯性系没有相对转动，所以在任意惯性系中刚体的角加速度仍然为 $ \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} $。但受力点的位矢变为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i = \boldsymbol{\mathbf{r}} _c + \boldsymbol{\mathbf{r}} _{ci}$，即
\begin{equation}
I \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} = \sum_i ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i- \boldsymbol{\mathbf{r}} _c) \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{F}} _i~.
\end{equation}
例 1 球体或圆柱延斜面无摩擦滚动
如图 1 ，在一个倾角为 $\theta$ 的斜面上，一个半径为 $R$ 质量为 $M$ 的均匀 的球体（或圆柱）从静止开始向下滚动，其转动惯量为 $I$，求质心的加速度和滚动的角加速度。
图 1：圆柱延斜面无摩擦滚动
解：首先，根据无摩擦的条件，系统只有一个自由度，即圆柱的位移或者转角，二者的关系为
\begin{equation}
s = R\theta~.
\end{equation}
两边求二阶导数，得加速度与角加速度的关系为
\begin{equation}
a = R\alpha~.
\end{equation}
受力分析如图，圆柱受三个力：重力，支持力和静摩擦力。将物体受到的重力分解为垂直斜面方向和沿斜面方向的两个分力。其中垂直方向的分力与斜面提供的支持力抵消，而平行方向的分量和摩擦力的合力决定质心的加速度（式 1 ）
\begin{equation}
mg\sin\theta - f = Ma~.
\end{equation}
再来分析关于质心的转动，由于重力和支持力都在质心，所以对合力矩贡献为 0。所以只有摩擦力的贡献为 $\tau = fR$，由
式 2 得
\begin{equation}
I\alpha = \tau = f R~.
\end{equation}
由
式 9 到
式 11 三式解得加速度为
\begin{equation}
a = \frac{g \sin\theta}{1 + I/(MR^2)}~.
\end{equation}
可见转动惯量为 0 时，结果与无摩擦滚动一致。而转动惯量越大，加速度就越小。
例 2
一根质量为 $M$ 长为 $L$ 的均匀细棒延 $y$ 方向静止放置在水平面 $xy$，从 $t=0$ 时起在其上端施加一个 $x$ 方向的恒力，描述细棒如何运动。如果木棒与地面的摩擦系数为 $\mu$，答案又如何？
首先考虑质心的运动，细棒所受外力只有一个恒力，所以由式 1 质心沿 $x$ 方向做匀加速运动。再来看质心系中细棒的转动由 “ 转动惯量” 中例 1 可知细棒绕其质心做单摆运动。
1. ^ 注意第一步成立的条件是 $I$ 不变，而一般情况下 $I$ 与刚体的转轴有关，所以只能假设刚体延同一方向转动。唯一的例外是物体的转动惯量与方向无关的情况，例如球体。刚体的变向转动较为复杂，不做讨论。
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