【导航】线性代数

贡献者： Giacomo; addis

1. 关于此部分

　　 课程 “线性代数”（Linear Algebra）一般指数学系和非数学都需要学习的必修课，开设于低年级（大一/大二），小时百科的线性代数部分基本上涵盖于这门课程。关于现代数学（代数）意义下的线性代数，请参考【导航】高级线性代数。

2. 列向量、行向量与矩阵

　　 在高中数学中我们学习了几何向量相关的知识，其中几何向量的坐标给我们了一个理解向量的全新的视角：我们可以把数组称为一个向量。由于我们常常会把它竖着记，这种向量被称为列向量。数组可以和几何向量一样取实数为值，也可以取一些其他的数，比如复数。

　　 实数取值的 $2$ 维（或者 $3$ 维）列向量，等价于选取了坐标系的几何向量——由标准基底的存在，列向量并不是几何向量的推广。几何向量和列向量都是更一般的向量的特殊情况。

　　 有 $n \times 1$ 的列向量，自然就会有 $1 \times n$ 的行向量，更一般的，我们有 $m \times n$ 的矩阵。我们可以定义合适的矩阵（列向量、行向量）之间的乘法关系。

　　 旋转矩阵可以有两种理解，一是向量绕某个轴相对于当前的正交归一基底转动，其坐标产生了变换，二是向量本身没有变，只是其坐标在两个不同的正交归一基底中不同。这种矩阵的特点是所有列（行）向量都正交归一，所以叫做单位正交阵。单位正交阵的特点是逆矩阵等于转置矩阵。

3. 线性方程组

　　 求解线性方程组是线性代数学习中的一个主要线索。虽然我们在中学阶段学过一些简单的技巧，但要讨论最一般的情况和背后的数学结构，我们还需要经历一个较为漫长的学习。

　　 高斯消元法是求解线性方程通解的一个重要方法，适用于所有类型的解，包括无解，唯一解和无穷多个解。另外高斯消元法还引入了线性代数中一种重要的变换即行变换。

　　 对于有唯一解的情况，另一种方法是使用克拉默法则，但计算量要大许多，一般不对较大的方程组使用。

4. 向量空间和线性映射

　　 有了列向量和几何向量两种例子，我们可以尝试定义更一般的向量了。最一般的向量指的是向量空间的元素，而向量空间是一种满足一些条件的集合，在这个集合上，我们定义了加法、数乘、线性组合。