【导航】线性代数

                     

贡献者: Giacomo; addis

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1. 关于此部分

   课程 “线性代数”(Linear Algebra)一般指数学系和非数学都需要学习的必修课,开设于低年级(大一/大二),小时百科的线性代数部分基本上涵盖于这门课程。关于现代数学(代数)意义下的线性代数,请参考【导航】高级线性代数

  

未完成:关于解方程

2. 列向量、行向量与矩阵

   在高中数学中我们学习了几何向量相关的知识,其中几何向量的坐标给我们了一个理解向量的全新的视角:我们可以把数组称为一个向量。由于我们常常会把它竖着记,这种向量被称为列向量。数组可以和几何向量一样取实数为值,也可以取一些其他的数,比如复数。

  

未完成:数(?)的定义和链接

   实数取值的 $2$ 维(或者 $3$ 维)列向量,等价于选取了坐标系的几何向量——由标准基底的存在,列向量并不是几何向量的推广。几何向量和列向量都是更一般的向量的特殊情况。

   有 $n \times 1$ 的列向量,自然就会有 $1 \times n$ 的行向量,更一般的,我们有 $m \times n$ 的矩阵。我们可以定义合适的矩阵(列向量、行向量)之间的乘法关系。

  

未完成:矩阵乘法

  

未完成:矩阵和几何向量的线性映射的关系

   旋转矩阵可以有两种理解,一是向量绕某个轴相对于当前的正交归一基底转动,其坐标产生了变换,二是向量本身没有变,只是其坐标在两个不同的正交归一基底中不同。这种矩阵的特点是所有列(行)向量都正交归一,所以叫做单位正交阵。单位正交阵的特点是逆矩阵等于转置矩阵。

3. 线性方程组

   求解线性方程组是线性代数学习中的一个主要线索。虽然我们在中学阶段学过一些简单的技巧,但要讨论最一般的情况和背后的数学结构,我们还需要经历一个较为漫长的学习。

   高斯消元法是求解线性方程通解的一个重要方法,适用于所有类型的解,包括无解,唯一解和无穷多个解。另外高斯消元法还引入了线性代数中一种重要的变换即行变换

   对于有唯一解的情况,另一种方法是使用克拉默法则,但计算量要大许多,一般不对较大的方程组使用。

4. 向量空间和线性映射

   有了列向量和几何向量两种例子,我们可以尝试定义更一般的向量了。最一般的向量指的是向量空间的元素,而向量空间是一种满足一些条件的集合,在这个集合上,我们定义了加法、数乘、线性组合。

  

未完成:向量子空间和仿射子集和商空间
向量子空间 仿射集

  

未完成:基底与维度
基底(线性代数)

  

未完成:内外直和和补空间
商空间(线性代数) 直和(线性空间)

  

未完成:线性映射
线性映射 秩—零化度定理

  

未完成:线性映射的矩阵表示、线性方程组的解的几何/线代解释


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