高斯消元法解线性方程组

             

预备知识 矩阵

  1线性方程组(有 $x_1\dots x_n$ 这 $n$ 个未知量,所以也叫 $\boldsymbol{n}$ 元一次方程组

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} &a_{1,1}x_1 + a_{1,2}x_2 + \dots + a_{1,n}x_n&=\quad &y_1\\ &a_{2,1}x_1 + a_{2,2}x_2 + \dots + a_{2,n}x_n&=\quad &y_2\\ &\qquad \qquad \dots \qquad \dots \qquad \dots\\ &a_{m,1}x_1 + a_{m,2}x_2 + \dots + a_{m,n}x_n&=\quad &y_m \end{aligned}\right. \\ \end{equation}
可以写成矩阵和列矢量相乘的形式
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{y}} \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 是维度 $m \times n$ 的矩阵,称为系数矩阵
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} = \begin{pmatrix} a_{1,1} &a_{1,2} &\cdots &a_{1,n} \\ a_{2,1} &a_{2,2} &\cdots &a_{2,n} \\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ a_{m,1} &a_{m,2} &\cdots &a_{m,n} \\ \end{pmatrix} \end{equation}
$ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 是 $n$ 维列矢量 $(x_1,x_2,\dots,x_m,\dots,x_n) ^{\mathrm{T}} $. $ \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 是 $m$ 维列矢量 $(y_1,y_2,\dots,y_m) ^{\mathrm{T}} $,称为常数列.$ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 通常看做已知的,而 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 看做未知的,即方程组待求的.下面我们介绍一种解线性方程组的简单的方法,高斯消元法(Gauss elimination). 先来看一个简单的例子.

例 1 

   我们先回顾一下初中阶段如何解线性方程组,例如

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} &2x + 3y = 21\\ &5x - 2y = 5 \end{aligned}\right. \end{equation}
一种方法是将第一条等式两边除以 2 再移项得到
\begin{equation} x = - \frac32 y + \frac{21}{2} \end{equation}
再代入第二个条式消去 $x$ 得
\begin{equation} -\frac{19}{2} y + \frac{105}{2} = 5 \end{equation}
解得 $y = 5$,再代入第一条等式得 $x = 3$.

   另一种更方便的解法是,将第一条等式(两边)乘以 $-5/2$,加到第二条上消去 $x$ 得

\begin{equation} -\frac{19}{2} y = -\frac{95}{2} \end{equation}
解得 $y = 5$,再代入第一条等式得 $x = 3$.为什么可以这么做? 简单来说是因为如果两条等式都成立,将它们两边相加得到的新的等式同样成立.下面我们来详细讲解第二种方法.

   为了书写简单,我们可以用所谓的增广矩阵(augmented matrix)来表示矩阵和常数列,即把式 4 记为

\begin{equation} \left(\begin{array}{cc|c} 2 & 3 & 21 \\ 5 & -2 & 5 \end{array} \right) \end{equation}
同样把第一行乘以 $-5/2$,加到第二行上得
\begin{equation} \left(\begin{array}{cc|c} 2 & 3 & 21 \\ 0 & -19/2 & -95/2 \end{array} \right) \end{equation}

   如果这个方程有多个未知数,且方程的数量和未知数相同(系数矩阵为方阵),理想情况下我们可以用第一行消去所有 $i > 1$ 行的第一个系数,再用第二行消去所有 $i > 2$ 行的第 2 个系数,以此类推,最后得到一个三角形系数矩阵.三角形系数矩阵的最后一行只有最后一个变量的系数不为零,我们求出这个变量后,再代入倒数第二行(只有两个未知量)求出另一个未知量,最后就可以得到所有未知量的值.这个过程叫做反向迭代(backward substitution)

   注意这只是一种理想的情况,如果在处理第 $i$ 行的时候发现 $a_{i,i} = 0$,则该方法无法进行下去.为此我们需要稍微复杂一些的方法,也就是高斯消元法的一般步骤.

1. 一般步骤

   我们将式 1 形式的方程组用增广矩阵表示为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{B}} =( \boldsymbol{\mathbf{A}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} )={ \left(\begin{array}{cccc|c} a_{1,1} &a_{1,2} &\cdots &a_{1,n} &y_1 \\ a_{2,1} &a_{2,2} &\cdots &a_{2,n} &y_2 \\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\ a_{m,1} &a_{m,2} &\cdots &a_{m,n} &y_m \\ \end{array} \right) } \end{equation}

   定义以下三种矩阵(或增广矩阵)变换为初等行变换.初等行变换不改变方程组的解2

  1. 对调矩阵中的第 $i$ 行与第 $j$ 行,记作 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i \leftrightarrow \boldsymbol{\mathbf{r}} _j$
  2. 将矩阵第 $i$ 行的所有元素乘以一个非零数 $k$,记作 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i \times k$
  3. 把矩阵第 $i$ 行的所有元素乘以数 $k$ 后加到第 $j$ 行上,记作 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i + \boldsymbol{\mathbf{r}} _j \times k$

   任何非零矩阵(或增广矩阵)经过有限次初等行变换后总可以使系数矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 转化为梯形矩阵(echelon form).我们把梯形矩阵定义为满足该条件的矩阵:第 $i$ 行的第一个非零系数3 $a_{i,q(i)}$ 的列标 $q(i)$ 总是大于第 $i-1$ 行的第一个非零元 $a_{i-1, q(i-1)}$ 的列标 $q(i-1)$.与例 1 不同的是,当系数矩阵经过行变换化为梯形矩阵后,最后若干行有可能都为零,最后一个非零行也未必只有一个非零元.

   高斯消元法的一般步骤如下:

   完成后,系数矩阵就会变为梯形矩阵.

例 2 解线性方程组

  

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} &x_1 &+ &x_2 &- &x_3 &+ &x_4&=\quad &3\\ &2x_1 &+ &2x_2 &- &2x_3 &+ &x_4&=\quad &7\\ &x_1 &+ &x_2 & & &+ &2x_4&=\quad &3\\ &2x_1 &+ &2x_2 &- &x_3 &+ &5x_4&=\quad &4 \end{aligned}\right. \end{equation}
解:

   将该方程组写成增广矩阵形式

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{B}} ={ \left(\begin{array}{cccc|c} 1 &1 &-1 &1 &3 \\ 2 &2 &-2 &1 &7 \\ 1 &1 &0 &2 &3 \\ 2 &2 &-1 &5 &4 \\ \end{array} \right) } \end{equation}
对第一列
\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 - 2 & \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 \\ \boldsymbol{\mathbf{r}} _3 - 1 & \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 \\ \boldsymbol{\mathbf{r}} _4 - 2 & \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 \\ \end{aligned} \quad \Longrightarrow \quad \boldsymbol{\mathbf{B}} ={ \left(\begin{array}{cccc|c} 1 &1 &-1 &1 &3 \\ 0 &0 &0 &-1 &1 \\ 0 &0 &1 &1 &0 \\ 0 &0 &1 &3 &-2 \\ \end{array} \right) } \end{equation}

   发现此时,矩阵第二列自第二行以下全为零,所以需要依次向下一列寻找不为零的元素.继续消元

\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 \leftrightarrow & \boldsymbol{\mathbf{r}} _4 \\ \boldsymbol{\mathbf{r}} _3 - 1 & \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 \\ \boldsymbol{\mathbf{r}} _4 - 0 & \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 \\ \end{aligned} \quad \Longrightarrow \quad \boldsymbol{\mathbf{B}} ={ \left(\begin{array}{cccc|c} 1 &1 &-1 &1 &3 \\ 0 &0 &1 &3 &-2 \\ 0 &0 &0 &-2 &2 \\ 0 &0 &0 &-1 &1 \\ \end{array} \right) } \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{r}} _4 - 0.5 \boldsymbol{\mathbf{r}} _3 \quad \Longrightarrow \quad \boldsymbol{\mathbf{B}} ={ \left(\begin{array}{cccc|c} 1 &1 &-1 &1 &3 \\ 0 &0 &1 &3 &-2 \\ 0 &0 &0 &-2 &2 \\ 0 &0 &0 &0 &0 \\ \end{array} \right) } \end{equation}
我们按照上面的方法用第 3 行求 $x_4$,代入第 2 行求得 $x_3$.然而当我们想用第 1 行求 $x_1$ 的时候却出发现我们还没求出 $x_2$.解决办法是,我们令 $x_2 = c$ 且假设 $c$ 可以取任意值,再把 $x_1$ 用 $c$ 表示.方程的解可以表示为
\begin{equation} \left\{\begin{aligned} x_1 &= 5-c\\ x_2 &= c \\ x_3 &= 1\\ x_4 &= -1 \end{aligned}\right. \end{equation}
或者写成列矢量的形式
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{x}} = c \begin{pmatrix}-1\\ 1\\ 0\\ 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}5\\ 0\\ 1\\ -1\end{pmatrix} \end{equation}
将该式代入方程组,可以验证 $c$ 取任意值时方程组都成立.

   如果多个 $x_i$ 的值都未知,我们就分别假设它们等于不同的任意常数 $c_i$ 即可.

2. 解的数量

   根据以上步骤,当系数矩阵变为梯形矩阵后,可以用以下步骤判断解的数量:

  1. 若存在系数 $a_{i,j}$ 全为零的行 $i$,但是对应的常数 $y_i$ 却不为零,则方程组无解.
  2. 若存在 $d$ 个系数 $a_{i,j}$ 全为零的行 $i$,且对应的所有 $y_i$ 也都为零,则方程有无穷个解,且需要 $d$ 个任意常数来表示所有可能的解.
  3. 若不存在系数 $a_{i,j}$ 全为零的行,则系数矩阵可以化为三角矩阵,使对角线上的元素全不为零.此时方程有唯一解.

3. 解的结构

   按照高斯消元法的一般步骤,如果方程有解,我们总可以将解表示为一些常矢量的线性组合加上一个常矢量.

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{x}} = \sum_{i=1}^{d} c_i \boldsymbol{\mathbf{x}} _i + \boldsymbol{\mathbf{x}} _0 \end{equation}
其中 $c_i$ 是 $d$ 个任意常数(当方程有唯一解时 $d = 0$),无论这些常数取什么值,$ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 都是方程的解.另一方面,给出方程的任意一个解,总能找到一些常数 $c_i$ 与之对应.式 18 叫做方程的通解(general solution),通解中的任意一个就做方程的特解(special solution)

   将式 18 代入方程组,使用矩阵乘法分配律(式 13 )得到

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} \sum_{i=1}^{d} c_i \boldsymbol{\mathbf{x}} _i + \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} _0 = \boldsymbol{\mathbf{y}} \end{equation}
由于 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _0$ 是方程的一个特解,有 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} _0 = \boldsymbol{\mathbf{y}} $.所以
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} \sum_{i=1}^{d} c_i \boldsymbol{\mathbf{x}} _i = \boldsymbol{\mathbf{0}} \end{equation}
线性方程组 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 中,如果 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $(粗体的 $ \boldsymbol{\mathbf{0}} $ 表示零矢量,即每个元都是 $0$),则方程组被称为是齐次(homogeneous)的.上式说明 $\sum_{i} c_i \boldsymbol{\mathbf{x}} _i$ 就是齐次方程组 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $ 的通解.

   综上所述,对于任意有解的非齐次(inhomogeneous)方程组 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{y}} $,我们可以将通解(式 18 )从形式上理解为齐次方程组 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $ 的通解与非齐次方程组的任一特解相加.


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面
2. ^ 这点我们留到以后证明
3. ^ 为了书写简单,我们将每次变换后的系数矩阵元仍然用 $a_{i,j}$ 来表示,虽然它的值可能已经发生变化.若需要区分,可以将第 $n$ 次变换后的矩阵元用 $a_{i,j}^{(n)}$ 表示.
4. ^ 如果 $a_{1,1} \ne 0$ 则不需要
5. ^ 如果在处理 $i = m-1$ 之前就得到了梯形矩阵,则可提前终止.

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