列向量

                     

贡献者: Giacomo

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  • 本文缺少预备知识,初学者可能会遇到困难。

1. 列向量

   几何向量的坐标让我们可以以一个全新的视角看待向量这个概念,我们可以把数组 $(a_1, \cdots, a_n)$ 称为一个向量 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} $;由于我们常常会把它竖着记为

\begin{equation} \begin{bmatrix}a_1 \\ \vdots \\ a_n\end{bmatrix} ~, \end{equation}
这种向量被称为列向量,$n$ 被称为 $a$ 的维度,$a_i$ 被称为 $a$ 的第 $i$ 坐标1。对于列向量来说,存在一组特别的基底 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\}_{i = 1}^n$,称为标准基底,其中 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i$ 是第 $i$ 坐标为 $1$,其他坐标为 $0$ 的列向量,因此任何一个列向量都可以写成
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{a}} = a_1 \boldsymbol{\mathbf{e}} _1 + \cdots + a_n \boldsymbol{\mathbf{e}} _n~ \end{equation}
的形式。

   第 $i$ 坐标 $a_i$ 的取值可以和几何向量一样取 $\mathbb{R}$,也可以取一些其他的数集,比如复数集 $\mathbb{C}$。

  

未完成:数集的定义和链接

   实数取值的 $2$ 维(或者 $3$ 维)列向量,等价于选取了坐标系的几何向量——由标准基底的存在,列向量并不是几何向量的推广。几何向量和列向量都是更一般的向量的特殊情况。


1. ^ 数学中没有规定一定要从 $1$ 开始计数,也可以从 $0$ 开始。


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