平面旋转矩阵

贡献者： addis

预备知识　矩阵，平面旋转变换

　　我们之前学过的 “平面旋转变换” 属于线性变换，以下用矩阵 $R_{2}$ 表示。虽然我们可以直接把式 1 到式 4 写成矩阵乘以列矢量的形式，得到

\begin{matrix} (1) & (\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) . \end{matrix}

但这里我们用另一种方法推导一次，能更好地帮助理解和记忆。

图 1：把单位矢量

\hat{x}

和

\hat{y}

逆时针旋转

θ

　　已知单位矢量 $\hat{x} = (1, 0), \hat{y} = (0, 1)$ 逆时针旋转 $θ$ 得（图 1 ）

\begin{matrix} (2) & R_{2} (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \cos θ \\ \sin θ \end{matrix}), R_{2} (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - \sin θ \\ \cos θ \end{matrix}) . \end{matrix}

要求任意矢量

v = (v_{1}, v_{2})

的旋转矩阵，可以将

v

表示成

\hat{x}

和

\hat{y}

的线性组合（式 14 ）

v = v_{1} \hat{x} + v_{2} \hat{y}

。由式 21 ，该线性组合的旋转变换等于

\hat{x}, \hat{y}

分别做旋转变换再做同样的线性组合，即

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} R_{2} (v_{1} \hat{x} + v_{2} \hat{y}) & = v_{1} R_{2} \hat{x} + v_{2} R_{2} \hat{y} \\ = v_{1} (\begin{array}{c} \cos θ \\ \sin θ \end{array}) + v_{2} (\begin{array}{c} - \sin θ \\ \cos θ \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{array}) (\begin{array}{c} v_{1} \\ v_{2} \end{array}) . \end{aligned} \end{matrix}

所以旋转矩阵为

\begin{matrix} (4) & R_{2} = (\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{matrix}) . \end{matrix}

这与平面旋转变换得出的结果一致。

　　把这个推导推广到一般情况，就是如果已知每个基底 $β_{i}$ 的线性变换（记变换矩阵为 $A$ ）结果为 $α_{i} = A β_{i}$ ，那么变换矩阵的第 $i$ 列就是第 $i$ 个列矢量 $α_{i}$ 。

绕任意点旋转

　　由式 5 可得绕任一点 $(x_{0}, y_{0})$ 旋转为

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) & = (\begin{array}{c} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{array}) (\begin{array}{c} x - x_{0} \\ y - y_{0} \end{array}) + (\begin{array}{c} x_{0} \\ y_{0} \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{array}) (\begin{array}{c} x \\ y \end{array}) + (\begin{array}{c} 1 - \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & 1 - \cos θ \end{array}) (\begin{array}{c} x_{0} \\ y_{0} \end{array}) . \end{aligned} \end{matrix}

可见绕任意点旋转并不能简单表示为单个矩阵和

(x y)^{T}

相乘，所以不是线性变换。习惯上讨论旋转变换时都是默认关于原点旋转。

1. 主动理解和被动理解

　　我们将任意矢量 $v$ 的旋转变换记为 $u = R_{2} v$ ，我们把 $v$ 看做是二维空间中某矢量关于基底 $\hat{x}, \hat{y}$ 的坐标。若我们把 $u$ 看做是另一矢量关于 $\hat{x}, \hat{y}$ 的坐标，那么 $\hat{u}$ 就等于 $\hat{v}$ 逆时针旋转 $θ$ 角。旋转矩阵的这种理解被称为主动的（active）。

　　另一种可能的理解是， $u$ 和 $v$ 代表二维空间中的同一矢量关于不同基底的展开。我们把 $u$ 使用的基底记为 ${\hat{u}}_{1}, {\hat{u}}_{2}$ ， $v$ 使用的基底记为 ${\hat{v}}_{1}, {\hat{v}}_{2}$ 。我们有

\begin{matrix} (6) & u_{1} {\hat{u}}_{1} + u_{2} {\hat{u}}_{2} = v_{1} {\hat{v}}_{1} + v_{2} {\hat{v}}_{2} . \end{matrix}

将

R_{2}

的矩阵元记为

R_{i j}

，不难证明两组基底之间的关系为

\begin{matrix} (7) & {\begin{array}{r} {\hat{u}}_{1} = R_{11} {\hat{v}}_{1} + R_{12} {\hat{v}}_{2} \\ {\hat{u}}_{2} = R_{21} {\hat{v}}_{1} + R_{22} {\hat{v}}_{2} \end{array} . \end{matrix}

将矩阵元代入可知，基底

{\hat{u}}_{1}, {\hat{u}}_{2}

分别是基底

{\hat{v}}_{1}, {\hat{v}}_{2}

顺时针旋转

θ

角所得。我们把这种理解叫做被动（passive）的，即旋转矩阵表示同一个矢量的基底变换。

2. 矩阵元的意义（被动理解）

　　在被动理解中，矩阵元 $R_{i, j}$ 的几何意义就是单位矢量 ${\hat{u}}_{i}$ 和 ${\hat{v}}_{j}$ 的点乘（内积）。于是变换可以写成

\begin{matrix} (8) & (\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} {\hat{u}}_{1} \cdot {\hat{v}}_{1} & {\hat{u}}_{1} \cdot {\hat{v}}_{2} \\ {\hat{u}}_{2} \cdot {\hat{v}}_{1} & {\hat{u}}_{2} \cdot {\hat{v}}_{2} \end{matrix}) (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix}), \end{matrix}

展开后得

\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} u_{1} = (v_{1} {\hat{v}}_{1} + v_{2} {\hat{v}}_{2}) \cdot {\hat{u}}_{1}, \\ u_{2} = (v_{1} {\hat{v}}_{1} + v_{2} {\hat{v}}_{2}) \cdot {\hat{u}}_{2}, \end{aligned} \end{matrix}

这正是

u_{1}, u_{2}

的定义。

　　若考虑从 $u_{i}$ 到 $v_{i}$ 的逆变换，同理有

\begin{matrix} (10) & (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} {\hat{v}}_{1} \cdot {\hat{u}}_{1} & {\hat{v}}_{1} \cdot {\hat{u}}_{2} \\ {\hat{v}}_{2} \cdot {\hat{u}}_{1} & {\hat{v}}_{2} \cdot {\hat{u}}_{2} \end{matrix}) (\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \end{matrix}) . \end{matrix}

由于几何矢量的点乘满足交换律，对比式 8 和式 10 可以发现后者的矩阵就是

R

的转置即

R^{T}

。

　　事实上，任何 $2 \times 2$ 的实数正交归一矩阵都可以表示平面旋转变换，所以我们证明了正交归一矩阵的一个重要的性质：

定理 1　

　　正交矩阵的逆矩阵等于它的转置。

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