直和与补空间(线性代数)

                     

贡献者: addis; Giacomo; 零穹

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预备知识 基底(线性代数)

   子空间的和是包含这些子空间的最小向量空间,但是,这种和的形式的表示方法是不唯一的。例如:设 $U_1=\langle e_1,e_2\rangle,U_2=\langle e_1,e_3\rangle, U=U_1+U_2$,则 $x=e_2\in U$ 可以表示为 $x=u_1+v_1$,其中 $u_1=e_2+e_1\in U_1,v_1=-e_1\in U_2$,也可以表示为 $x=u_2+v_2$,其中 $u_2=e_2\in U_1,v_2=0\in U_2$。

   于是就有这样的问题出现:是否存在子空间 $U_1,\cdots,U_m$,使得它们的和 $U=U_1+\cdots+U_m$ 的每一元素都有唯一的表示?即若 $u\in U$,那么 $u=\sum_{i}^m U_i,x_i\in U_i$ 是唯一的。满足这一条件的子空间的和便被称为直和。

  

未完成:向量子空间的线性相关/无关:三种等价定义——0 的唯一表示、向量的唯一分解、交集为 0

定义 1 子空间的直和

   在域 $\mathbb F$ 上的向量空间 $V$ 上取 两个子空间 $V_1$ 和 $V_2$,满足

\begin{equation} V_1 \cap V_2 = \left\{0 \right\} ~. \end{equation}
我们就说它们的张成子空间 $ \operatorname {span} (V_1 \cup V_2)$ 记做 $V_1 \oplus V_2$

   且任意 ${v} \in V$ 都能表示为 $V_1$ 和 $V_2$ 中向量的之和,即

\begin{equation} v = v_1 + v_2 \qquad (v_1 \in V_1,\ v_2 \in V_2)~, \end{equation}
那么空间 $V$ 就是 $V_1$ 和 $V_2$ 的直和空间,用直和(direct sum)运算记为
\begin{equation} V = V_1 \oplus V_2~. \end{equation}
我们把这两个子空间叫做互补的,即 $V_2$ 是 $V_1$ 在 $V$ 中的补空间(complement space),反之亦然。

   子空间的直和也被称为内直和,而外直和指的是乘积空间(子节 2 )。

   注意:$V_1 \oplus V_2 \neq V_1 \cup V_2$;直和空间 $V_1 \oplus V_2$ 中的非零向量可以分为三组,分别是 $V_1$ 中的向量($v_1 + 0_{V_2}$),$V_2$ 的向量($0_{V_1} + v_2$),以及只能表示为 $V_1$ 和 $V_2$ 中非零向量之和的向量。

   一般来说补空间是不唯一的(例 1 ),除非 $V_1 = V$ 或者 $V_1 = \{0\}$。

例 1 

   若三维空间中有两个不共线的几何向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v_1}} , \boldsymbol{\mathbf{v_2}} $,它们张成一个平面,或二维子空间。另有一个向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v_3}} $,独自张成一条直线,即一维空间。

   若 $ \boldsymbol{\mathbf{v_3}} $ 落在 $ \boldsymbol{\mathbf{v_1}} , \boldsymbol{\mathbf{v_2}} $ 张成的平面内,则三个向量的所有线性组合仍然在该平面内,所以直和空间仍然是该平面。

   若 $ \boldsymbol{\mathbf{v_3}} $ 落在平面外,则三个向量将会张成整个三维空间,所以直和就是三维空间。此时两个子空间在该三维空间中互补。由于 $ \boldsymbol{\mathbf{v_3}} $ 有无限多种线性无关的取法,$ \boldsymbol{\mathbf{v_1}} , \boldsymbol{\mathbf{v_2}} $ 张成的平面也有无限多个补空间。

1. 多个子空间的直和

   同理,也可以把向量空间 $V$ 表示为有限多个子空间的直和

\begin{equation} V = V_1 \oplus \dots \oplus V_n~. \end{equation}
这可以理解为先把 $V_1, V_2$ 做直和,再把所得空间与 $V_3$ 做直和,以此类推。事实上,根据向量加法的结合律,容易证明直和也满足结合律,即
\begin{equation} (V_1 \oplus V_2) \oplus V_3 = V_1 \oplus (V_2 \oplus V_3)~, \end{equation}
所以多个空间的直和也无需添加括号。

   以下讨论为了方便只使用两个子空间,但对多个子空间同样适用。

2. 直和空间的基底

   从基底的角度来看,若 $V_1$ 和 $V_2$ 中分别有一组基底 $\{\alpha_i\}_i$ 和 $\{\beta_j\}_j$,那么直和空间中 $V$ 的任意向量可以表示为

\begin{equation} {v} = \sum_i a_i {\alpha_i} + \sum_j b_j {\beta_j} \qquad (v\in V, a_i, b_i \in \mathbb F)~. \end{equation}

定理 1 

   把 $V_1$ 的一组基底和 $V_2$ 的一组基底取并集,可以得到 $V_1 \oplus V_2$ 的一组基底。

   证明:由于已经有式 6 ,我们只需要证明 $\alpha_1, \dots, \alpha_{N_1}, \beta_1, \dots, \beta_{N_2}$ 是线性无关的。使用反证法,若有不全为零的系数使

\begin{equation} \sum_i a_i {\alpha_i} + \sum_j b_j {\beta_j} = 0~, \end{equation}
\begin{equation} u = \sum_i a_i {\alpha_i} = -\sum_j b_j {\beta_j}~, \end{equation}
那么 $u \ne 0$ 且 $u \in V_1$ 且 $u \in V_2$。这违反了定义 1 。证毕。

推论 1 

   如果 $V_1, V_2$ 是有限维度的,直和空间 $V_1 \oplus V_2$ 的维数等于 $V_1, V_2$ 的维数之和。

   证明:定理 1 中的基底有 $N_1 + N_2$ 个。证毕。

   注意 $N_1, N_2$ 可以等于零,零维线性空间仅由零向量一个元素构成。

定理 2 唯一分解

   直和空间 $V = V_1 \oplus V_2$ 中,对任意 $v \in V$ 都存在唯一的 $v_1 \in V_1$ 和 $v_2 \in V_2$ 使得

\begin{equation} v = v_1 + v_2~. \end{equation}

   证明:根据定理 1 式 6 的分解中每个系数(坐标)$a_i, b_i$ 都是唯一的,右边的两个求和就分别是式 9 的 $v_1$ 和 $v_2$,所以 $v_1, v_2$ 也是唯一的。

习题 1 

   把以上定理和推论拓展到多个子空间的情况并证明。

  

未完成:给出一个空间和子空间,如何求一个补空间?参考商空间一文


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