子空间的直和 补空间

             

  • 本词条存在未完成的内容.
预备知识 子空间

定义 1 直和

   令域 $\mathbb F$ 上的向量空间 $V_1$ 和 $V_2$ 为 $V$ 的两个子空间,满足

\begin{equation} V_1 \cap V_2 = \left\{0 \right\} \end{equation}
且任意 ${v} \in V$ 都能表示为 $V_1$ 和 $V_2$ 中向量的线性组合,即
\begin{equation} {v} = c_1 {v_1} + c_2 {v_2} \qquad ({v_1} \in V_1,\ {v_2} \in V_2,\ c_1, c_2 \in \mathbb F) \end{equation}
那么空间 $V$ 就是 $V_1$ 和 $V_2$ 的直和空间,用直和(direct sum)运算记为
\begin{equation} V = V_1 \oplus V_2 \end{equation}
我们把这两个子空间叫做互补的,即 $V_2$ 是 $V_1$ 在 $V$ 中的补空间(complement space),反之亦然.

   事实上,定义中式 2 也可以改为

\begin{equation} {v} = {v_1} + {v_2} \qquad ({v_1} \in V_1,\ {v_2} \in V_2) \end{equation}
即 “任意 ${v} \in V$ 都能表示为 $V_1$ 和 $V_2$ 中向量之和”.这是因为 $c_1 v_1 \in V_1$,$c_2 v_2 \in V_2$.

   直和空间 $V_1 \oplus V_2$ 中的所有向量可以分为三组,分别是 $V_1$ 中的向量,$V_2$ 的向量,以及只能表示为 $V_1$ 和 $V_2$ 中非零向量之和的向量.

1. 多个子空间的直和

   同理,也可以把向量空间 $V$ 表示为多个子空间的直和

\begin{equation} V = V_1 \oplus \dots \oplus V_n \end{equation}
这可以理解为先把 $V_1, V_2$ 做直和,再把所得空间与 $V_3$ 做直和,等.事实上,根据向量加法的分配律,容易证明直和也满足分配律,即
\begin{equation} (V_1 \oplus V_2) \oplus V_3 = V_1 \oplus (V_2 \oplus V_3) \end{equation}
所以多个空间的直和也无需添加括号.

   以下讨论为了方便只使用两个子空间,但对多个子空间同样适用.

2. 直和空间的基底

   从基底的角度来看,若 $V_1$ 和 $V_2$ 中分别有一组基底 ${\alpha_i}$ $(i = 1, \dots, N_1)$ 和 ${\beta_i}$ $(i = 1, \dots, N_2)$,那么直和空间中 $V$ 的任意向量可以表示为

\begin{equation} {v} = \sum_i a_i {\alpha_i} + \sum_j b_j {\beta_j} \qquad (v\in V, a_i, b_i \in \mathbb F) \end{equation}

定理 1 

   把 $V_1$ 的一组基底和 $V_2$ 的一组基底按任意顺序排列,可以得到 $V_1 \oplus V_2$ 的一组基底.

   证明:由于已经有式 7 ,我们只需要证明 $\alpha_1, \dots, \alpha_{N_1}, \beta_1, \dots, \beta_{N_2}$ 是线性无关的.使用反证法,若有不全为零的系数使

\begin{equation} \sum_i a_i {\alpha_i} + \sum_j b_j {\beta_j} = 0 \end{equation}
\begin{equation} u = \sum_i a_i {\alpha_i} = -\sum_j b_j {\beta_j} \end{equation}
那么 $u \ne 0$ 且 $u \in V_1$ 且 $u \in V_2$.这违反了定义 1 .证毕.

推论 1 

   直和空间 $V = V_1 \oplus V_2$ 的维数等于向量空间 $V_1, V_2$ 的维数之和.

   证明:定理 1 中的基底有 $N_1 + N_2$ 个.证毕.

   注意 $N_1, N_2$ 可以等于零,零维线性空间仅由零向量一个元素构成.

例 1 

   若三维空间中有两个不共线的几何向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v_1}} , \boldsymbol{\mathbf{v_2}} $,它们张成一个平面,或二维子空间.另有一个向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v_3}} $,独自张成一条直线,即一维空间.

   若 $ \boldsymbol{\mathbf{v_3}} $ 落在 $ \boldsymbol{\mathbf{v_1}} , \boldsymbol{\mathbf{v_2}} $ 张成的平面内,则三个向量的所有线性组合仍然在该平面内,所以直和空间仍然是该平面.

   若 $ \boldsymbol{\mathbf{v_3}} $ 落在平面外,则三个向量将会张成整个三维空间,所以直和就是三维空间.此时两个子空间在该三维空间中互补.

定理 2 唯一分解

   直和空间 $V = V_1 \oplus V_2$ 中,对任意 $v \in V$ 都存在唯一的 $v_1 \in V_1$ 和 $v_2 \in V_2$ 使得

\begin{equation} v = v_1 + v_2 \end{equation}

   证明:根据定理 1 式 7 的分解中每个系数(坐标)$a_i, b_i$ 都是唯一的,右边的两个求和就分别是式 10 的 $v_1$ 和 $v_2$,所以 $v_1, v_2$ 也是唯一的.

习题 1 

   把以上定理和推论拓展到多个子空间的情况并证明.

  

未完成:补是不唯一的(例 1
未完成:给出一个空间和子空间,如何求一个补空间?

致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择会员制,大量广告,内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

         

© 小时科技 保留一切权利