克拉默法则

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预备知识　行列式

　　¹克拉默法则（Kramer's rule）是一种直接用行列式解线性方程组的方法。把线性方程组记为矩阵乘法的形式

\begin{matrix} (1) & A x = b . \end{matrix}

其中

A

为系数矩阵。当

A

为

N \times N

的方阵且行列式

| A | \neq 0

时（即

A

是满秩矩阵），方程有唯一解（见 “线性方程组解的结构”）。该解可以用克拉默法则直接写出：

\begin{matrix} (2) & x_{i} = \frac{| A_{i} |}{| A |} (i = 1, \dots, N), \end{matrix}

其中

A_{i}

是把

A

的第

i

列替换为

b

而来。

例 1　解方程组

　　令式 1 中 $A = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ - 1 & 3 \end{matrix})$ ， $b = (\begin{matrix} 4 \\ 5 \end{matrix})$ ，求解方程组。

　　解： $| A | = 7$ ， $| A_{1} | = | \begin{matrix} 4 & 1 \\ 5 & 3 \end{matrix} | = 7$ ， $| A_{2} | = | \begin{matrix} 2 & 4 \\ - 1 & 5 \end{matrix} | = 14$ 。代入式 2 得 $x = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})$ 。

　　在数值计算时，克拉默法则解方程组效率较低，直接用高斯消元法求逆矩阵会更快。

1. 证明

　　以下证明²以三阶矩阵为例，但可以方便地推广至任意阶矩阵。

　　定义伴随矩阵

\begin{matrix} (3) & A^{*} = (\begin{matrix} A_{11} & A_{21} & A_{31} \\ A_{12} & A_{22} & A_{32} \\ A_{13} & A_{23} & A_{33} \end{matrix}) . \end{matrix}

其中

A_{i j}

称为代数余子式，

A_{i j}

可以理解为去掉第 i 行与第 j 列的

A

的行列式乘以

(- 1)^{i + j}

。

　　根据行列式的定义，可以得出 $det (A) = A_{11} a_{11} + A_{12} a_{12} + A_{13} a_{13}$ 。（可以沿任意行、列展开，例如 $det (A) = A_{11} a_{11} + A_{21} a_{21} + A_{31} a_{31}$ ）

　　同时，伴随矩阵有一重要性质 $A A^{*} = det (A) I$ 。

　　先证明 $A A^{*} = det (A) I,$

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} A A^{*} & = (\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}) (\begin{array}{c} A_{11} & A_{21} & A_{31} \\ A_{12} & A_{22} & A_{32} \\ A_{13} & A_{23} & A_{33} \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} A_{11} a_{11} + A_{12} a_{12} + A_{13} a_{13} & A_{21} a_{11} + A_{22} a_{12} + A_{23} a_{13} & A_{31} a_{11} + A_{32} a_{12} + A_{33} a_{13} \\ A_{11} a_{21} + A_{12} a_{22} + A_{13} a_{23} & A_{21} a_{21} + A_{22} a_{22} + A_{23} a_{23} & A_{31} a_{21} + A_{32} a_{22} + A_{33} a_{23} \\ A_{11} a_{31} + A_{12} a_{32} + A_{13} a_{33} & A_{21} a_{31} + A_{22} a_{32} + A_{23} a_{33} & A_{31} a_{31} + A_{32} a_{32} + A_{33} a_{33} \end{array}) . \end{aligned} \end{matrix}

　　其中 $A_{11} a_{11} + A_{12} a_{12} + A_{13} a_{13}$ ，即为 $A$ 的行列式；

　　而 $A_{21} a_{11} + A_{22} a_{12} + A_{23} a_{13}$ ，即相当于（沿第二行）计算 $(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix})$ 的行列式，因此 $A_{21} a_{11} + A_{22} a_{12} + A_{23} a_{13} = 0$ 。

　　类似地，可以推知

\begin{matrix} (5) & A A^{*} = (\begin{matrix} det (A) & 0 & 0 \\ 0 & det (A) & 0 \\ 0 & 0 & det (A) \end{matrix}) = det (A) I . \end{matrix}

再证明

x_{i} = det (A_{i}) / det (A)

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} x = A^{- 1} b & = \frac{1}{det (A)} A^{*} b = \frac{1}{det (A)} (\begin{array}{c} A_{11} & A_{21} & A_{31} \\ A_{12} & A_{22} & A_{32} \\ A_{13} & A_{23} & A_{33} \end{array}) (\begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{array}) \\ = \frac{1}{det (A)} (\begin{array}{c} A_{11} b_{1} + A_{21} b_{2} + A_{31} b_{3} \\ A_{12} b_{1} + A_{22} b_{2} + A_{32} b_{3} \\ A_{13} b_{1} + A_{23} b_{2} + A_{33} b_{3} \end{array}) . \end{aligned} \end{matrix}

所以

\begin{matrix} (7) & x_{1} = \frac{1}{det (A)} (A_{11} b_{1} + A_{21} b_{2} + A_{31} b_{3}) = \frac{1}{det (A)} det (\begin{matrix} b_{1} & a_{12} & a_{13} \\ b_{2} & a_{22} & a_{23} \\ b_{3} & a_{32} & a_{33} \end{matrix}) = \frac{det (A_{1})}{det (A)}, \end{matrix}

同理可证

x_{2}, x_{3}, . . .

。证毕。

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。
2. ^ 参考了 J. Leon 的 Linear Algebra with Applications

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克拉默法则

例 1 解方程组

1. 证明

例 1　解方程组