克拉默法则

                     

贡献者: addis

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预备知识 行列式

  1克拉默法则(Kramer's rule)是一种直接用行列式解线性方程组的方法.把线性方程组记为矩阵乘法的形式

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{b}} \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 为系数矩阵.当 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 为 $N\times N$ 的方阵且行列式 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \right\rvert \ne 0$ 时(即满秩矩阵),方程有唯一解(见 “线性方程组解的结构”).该解可以用克拉默法则直接写出:
\begin{equation} x_i = \frac{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} _i \right\rvert }{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \right\rvert } \qquad (i = 1, \dots, N) \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} _i$ 是把 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的第 $i$ 列替换为 $ \boldsymbol{\mathbf{b}} $ 而来.

例 1 解方程组

   令式 1 中 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} = \begin{pmatrix}2 & 1\\ -1 & 3\end{pmatrix} $,$ \boldsymbol{\mathbf{b}} = \begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix} $,求解方程组.

   解:$ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \right\rvert = 7$,$ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} _1 \right\rvert = \begin{vmatrix}4 & 1\\ 5 & 3\end{vmatrix} = 7$,$ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} _2 \right\rvert = \begin{vmatrix}2 & 4\\ -1 & 5\end{vmatrix} = 14$.代入式 2 得 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} = \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} $.

   在数值计算时,克拉默法则解方程组效率较低,直接用高斯消元法求逆矩阵高斯消元法求逆矩阵会更快.

1. 证明

   以下证明2以三阶矩阵为例,但可以方便地推广至任意阶矩阵.

   定义伴随矩阵

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} ^*= \begin{bmatrix} A_{11}&A_{21}&A_{31}\\ A_{12}&A_{22}&A_{32}\\ A_{13}&A_{23}&A_{33}\\ \end{bmatrix} \end{equation}
其中 $A_{ij}$ 称为代数余子式,$A_{ij}$ 可以理解为去掉第 i 行与第 j 列的 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的行列式乘以 $(-1)^{i+j}$.

   根据行列式的定义,可以得出 $det( \boldsymbol{\mathbf{A}} ) = A_{11}a_{11}+A_{12}a_{12}+A_{13}a_{13}$.(可以沿任意行、列展开,例如 $det( \boldsymbol{\mathbf{A}} ) = A_{11}a_{11}+A_{21}a_{21}+A_{31}a_{31}$)

   同时,伴随矩阵有一重要性质 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{A}} ^* = det( \boldsymbol{\mathbf{A}} ) \boldsymbol{\mathbf{I}} $.

   先证明 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{A}} ^* = det( \boldsymbol{\mathbf{A}} ) \boldsymbol{\mathbf{I}} $

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{A}} ^* = \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A_{11}&A_{21}&A_{31}\\ A_{12}&A_{22}&A_{32}\\ A_{13}&A_{23}&A_{33}\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_{11}a_{11}+A_{12}a_{12}+A_{13}a_{13}&A_{21}a_{11}+A_{22}a_{12}+A_{23}a_{13}&A_{31}a_{11}+A_{32}a_{12}+A_{33}a_{13}\\ A_{11}a_{21}+A_{12}a_{22}+A_{13}a_{23}&A_{21}a_{21}+A_{22}a_{22}+A_{23}a_{23}&A_{31}a_{21}+A_{32}a_{22}+A_{33}a_{23}\\ A_{11}a_{31}+A_{12}a_{32}+A_{13}a_{33}&A_{21}a_{31}+A_{22}a_{32}+A_{23}a_{33}&A_{31}a_{31}+A_{32}a_{32}+A_{33}a_{33}\\ \end{bmatrix} \end{equation}

   其中 $ A_{11}a_{11}+A_{12}a_{12}+A_{13}a_{13} $,即为 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的行列式;

   而 $ A_{21}a_{11}+A_{22}a_{12}+A_{23}a_{13} $,即相当于(沿第二行)计算 $ \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\\ \end{bmatrix} $ 的行列式,因此 $ A_{21}a_{11}+A_{22}a_{12}+A_{23}a_{13}=0 $

   类似地,可以推知

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{A}} ^* = \begin{bmatrix} det( \boldsymbol{\mathbf{A}} )&0&0\\ 0&det( \boldsymbol{\mathbf{A}} )&0\\ 0&0&det( \boldsymbol{\mathbf{A}} )\\ \end{bmatrix} =det( \boldsymbol{\mathbf{A}} ) \boldsymbol{\mathbf{I}} \end{equation}

   再证明 $x_i=\frac{det( \boldsymbol{\mathbf{A}} _i)}{det( \boldsymbol{\mathbf{A}} )}$

   $$ \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{-1} \boldsymbol{\mathbf{b}} = \frac{1}{det( \boldsymbol{\mathbf{A}} )} \boldsymbol{\mathbf{A}} ^* \boldsymbol{\mathbf{b}} = \frac{1}{det( \boldsymbol{\mathbf{A}} )} \begin{bmatrix} A_{11}&A_{21}&A_{31}\\ A_{12}&A_{22}&A_{32}\\ A_{13}&A_{23}&A_{33}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3\\ \end{bmatrix} = \frac{1}{det( \boldsymbol{\mathbf{A}} )} \begin{bmatrix} A_{11}b_1+A_{21}b_2+A_{31}b_3\\ A_{12}b_1+A_{22}b_2+A_{32}b_3\\ A_{13}b_1+A_{23}b_2+A_{33}b_3\\ \end{bmatrix} $$

   $$ \therefore x_1=\frac{1}{det( \boldsymbol{\mathbf{A}} )}(A_{11}b_1+A_{21}b_2+A_{31}b_3) =\frac{1}{det( \boldsymbol{\mathbf{A}} )}det\left( \begin{bmatrix} b_{1}&a_{12}&a_{13}\\ b_{2}&a_{22}&a_{23}\\ b_{3}&a_{32}&a_{33}\\ \end{bmatrix} \right) =\frac{det( \boldsymbol{\mathbf{A}} _1)}{det( \boldsymbol{\mathbf{A}} )} $$

   同理可证 $x_2, x_3,...$


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面
2. ^ 参考了 J. Leon 的 Linear Algebra with Applications


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