克拉默法则

             

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预备知识 行列式

  1克拉默法则(Kramer's rule)是一种直接用行列式解线性方程组的方法.把线性方程组记为矩阵乘法的形式

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{b}} \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 为系数矩阵.当 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 为 $N\times N$ 的方阵且行列式 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \right\rvert \ne 0$ 时(即满秩矩阵),方程有唯一解(见 “线性方程组解的结构”).该解可以用克拉默法则直接写出:
\begin{equation} x_i = \frac{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} _i \right\rvert }{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \right\rvert } \qquad (i = 1, \dots, N) \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} _i$ 是把 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的第 $i$ 列替换为 $ \boldsymbol{\mathbf{b}} $ 而来.

例 1 解方程组

   令式 1 中 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} = \begin{pmatrix}2 & 1\\ -1 & 3\end{pmatrix} $,$ \boldsymbol{\mathbf{b}} = \begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix} $,求解方程组.

   解:$ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \right\rvert = 7$,$ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} _1 \right\rvert = \begin{vmatrix}4 & 1\\ 5 & 3\end{vmatrix} = 7$,$ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} _2 \right\rvert = \begin{vmatrix}2 & 4\\ -1 & 5\end{vmatrix} = 14$.代入式 2 得 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} = \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} $.

   在数值计算时,克拉默法则解方程组效率较低,直接用高斯消元法求逆矩阵高斯消元法求逆矩阵会更快.

1. 证明

   证明需要代数余子式 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} ^*$(未完成)

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{-1} = \frac{ \boldsymbol{\mathbf{A}} ^*}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \right\rvert } \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{x}} = \frac{ \boldsymbol{\mathbf{A}} ^* \boldsymbol{\mathbf{b}} }{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \right\rvert } \end{equation}


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面

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