仿射集

                     

贡献者: xzllxls

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预备知识 向量子空间

  

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定义 1 仿射组合与仿射集

   取向量空间 $V$ (记其域为 $\mathbb{F}$) 中的两点 $x_1, x_2 \in V$ 的线性组合 $\theta x_1 + (1 - \theta) x_2$ 被称为 $x_1, x_2$ 的仿射组合;更一般的,系数和为一(即 $\sum_i a_i = 1$)的线性组合 $\sum_i a_i x_i$ 被称为 $x_1, \dots, x_n$ 的仿射组合

   向量空间的子集 $C \subseteq V$ 被称为仿射集(affine set),意味着 $C$ 中的任意仿射组合都在 $C$ 中;等价的,我们只需要考虑任意两个向量的仿射组合即可(和向量子空间的情况一样)。

图
图 1:仿射集示意图

   图 $1$ 表示的是一条穿过 $x_1,x_2$ 两点的直线。当 $0 \leq \theta \leq 1$,形成图中直线加粗的部分;反之,形成直线上细线表示的部分。

   从几何上看,仿射集仍然是平直的,或者说 “线性的”:

定理 1 

   对任意的仿射集 $C \subseteq V$,存在唯一的向量子空间 $U \subseteq V$,使得对任意的 $x \in C$,我们有

\begin{equation} C = x + U = \{ x + v \mid v \in U\}~. \end{equation}

   证明:第一步,取一点 $x_0 \in C$,我们定义

\begin{equation} U_0: = \{ x - x_0 \mid x \in C \}~, \end{equation}
要证明它是一个向量子空间:

  1. $0_V = x_0 - x_0 \in U$,
  2. 对任意的 $a, b \in \mathbb{F}$,$x, y \in C$,
    \begin{equation} \begin{aligned} a (x - x_0) + b (y - x_0) &= a x + b y - (a + b - 1) x_0 - x_0 \\ &= a x + b y + (1 - (a + b)) x_0 - x_0 \\ \end{aligned}~ \end{equation}
    $a x + b y + (1 - (a + b)) x_0$ 是 $x, y, x_0$ 的仿射组合,因此 $a (x - x_0) + b (y - x_0) \in U$,证得。

   第二步,要证明对任意的 $x \in C$,$C = x + U$:首先证明 $\subseteq$,对任意的 $y \in C$,我们有

\begin{equation} y = x + (y - x_0) - (x - x_0); ~ \end{equation}
现在证明 $\supseteq$,对任意的 $u = z - x_0 \in U$,我们有
\begin{equation} x + u = x + z + (-1) x_0 ~ \end{equation}
是 $x, z, x_0$ 得仿射组合,证得。

   第三步,要证明 $U$ 不依赖于 $x_0$ 的选取——对任意的 $x' \in C$,定义 $U': = \{x - x' \mid x \in C\}$,我们要证明 $U' = U$,处于对称性我们只需要证明 $U' \subseteq U$:取 $x \in C$,

\begin{equation} x - x' = (x + x_0 - x') - x_0 ~ \end{equation}
$x + x_0 - x'$ 是 $x, x_0, x'$ 的仿射组合,因此证得。

   第四步,证明 $U$ 的唯一性:假设 $V$ 存在另外一个向量子空间 $U'$ 满足对任意 $x \in C$,$C = x + U'$,取 $x = x_0$,那么 $x_0 + U' = x_0 + U \implies U' = U$。

   证毕!

   因此我们可以定义仿射集的维度

定义 2 维度

   对于仿射集 $C \subseteq V$,我们定义它的维度为它对应的向量空间的维度。

   特别的,一维的仿射集被称为仿射直线,二维的被称为仿射平面,余一维的被称为仿射超平面

   在向量空间中谈直线、平面、超平面时,我们有时指的是向量子空间,有时指的是仿射子空间,要注意分辨。

定理 2 

   对于向量空间的子集 $C \subseteq V$,$C$ 为仿射集当且仅当过 $C$ 中任意不同的两点的(仿射)直线仍然在 $C$ 中。


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