仿射集

贡献者： Giacomo; 零穹; xzllxls

　　 仿射集是矢量空间中的一类子集，它起源于线性代数和几何学的共同发展。它是研究向量空间中点的集合性质的一种方式。在更广泛的背景下，其所对应的仿射几何已经成为几何学的一个重要分支。本文将介绍其基本概念和一些相关的定理。

　　 图 $1$ 表示的是一条穿过 $x_1,x_2$ 两点的直线。当 $0\le \theta \le 1$，形成图中直线加粗的部分；反之，形成直线上细线表示的部分。

　　 从几何上看，仿射集仍然是平直的，或者说 “线性的”：

　　 证明：第一步，取一点 $x_0\in C$，我们定义

1. $0_V=x_0-x_0\in U$，
2. 对任意的 $a,b\in \mathbb{F}$，$x,y\in C$，
   $$\begin{array}{}\text{(3)}& \begin{array}{rl}a(x-x_0)+b(y-x_0)& =ax+by-(a+b-1)x_0-x_0\\ & =ax+by+(1-(a+b))x_0-x_0\end{array}\end{array}$$
   $ax+by+(1-(a+b))x_0$ 是 $x,y,x_0$ 的仿射组合，因此 $a(x-x_0)+b(y-x_0)\in U$，证得。

　　 第二步，要证明对任意的 $x\in C$，$C=x+U$：首先证明 $\subseteq$，对任意的 $y\in C$，我们有

　　 第三步，要证明 $U$ 不依赖于 $x_0$ 的选取——对任意的 $x^{\prime }\in C$，定义 $U^{\prime }:=\{x-x^{\prime }\mid x\in C\}$，我们要证明 $U^{\prime }=U$，处于对称性我们只需要证明 $U^{\prime }\subseteq U$：取 $x\in C$，

　　 第四步，证明 $U$ 的唯一性：假设 $V$ 存在另外一个向量子空间 $U^{\prime }$ 满足对任意 $x\in C$，$C=x+U^{\prime }$，取 $x=x_0$，那么 $x_0+U^{\prime }=x_0+U⟹U^{\prime }=U$。

　　 证毕！

　　 因此我们可以定义仿射集的维度

　　 在向量空间中谈直线、平面、超平面时，我们有时指的是向量子空间，有时指的是仿射子空间，要注意分辨。

　　 证明：必要性：假设 $C$ 是仿射集。那么任意由 $x_1,x_2\in C$ 确定的直线为 $x_1+(1-k)x_2,k\in \mathbb{F}$，即是 $x_1,x_2$ 的仿射组合，因此由仿射集的定义（定义 1 ），该直线属于 $C$。

　　 充分性：设 $C$ 是过其上任意两点的直线都在 $C$ 中的集。那么任意 $x_i\in C,i=1,\cdots ,n$，对任意满足 $\sum _i{a}_i=1$ 的 $a_i\in \mathbb{F}$，成立（不失一般性，设 $a_1\ne 1$）

　　 证毕！

　　 证明：任意 $x_1,x_2\in x+U$，设 $x_1=x+y_1,x_2=x+y_2$，其中 $y_1,y_2\in U$。则过 $x_1,x_2$ 的直线为

　　 证毕！