仿射集

                     

贡献者: Giacomo; 零穹; xzllxls

预备知识 基底(线性代数)

   仿射集是矢量空间中的一类子集,它起源于线性代数和几何学的共同发展。它是研究向量空间中点的集合性质的一种方式。在更广泛的背景下,其所对应的仿射几何已经成为几何学的一个重要分支。本文将介绍其基本概念和一些相关的定理。

定义 1 仿射组合与仿射集

   取向量空间 V (记其域为 F) 中的两点 x1,x2V 的线性组合 θx1+(1θ)x2 被称为 x1,x2仿射组合;更一般的,系数和为一(即 iai=1)的线性组合 iaixi 被称为 x1,,xn仿射组合

   向量空间的子集 CV 被称为仿射集(affine set),意味着 C 中的任意仿射组合都在 C 中;等价的,我们只需要考虑任意两个向量的仿射组合即可(和向量子空间的情况一样)。

图
图 1:仿射集示意图

   图 1 表示的是一条穿过 x1,x2 两点的直线。当 0θ1,形成图中直线加粗的部分;反之,形成直线上细线表示的部分。

   从几何上看,仿射集仍然是平直的,或者说 “线性的”:

定理 1 

   对任意的仿射集 CV,存在唯一的向量子空间 UV,使得对任意的 xC,我们有

(1)C=x+U={x+vvU} .

   证明:第一步,取一点 x0C,我们定义

(2)U:={xx0xC} ,
要证明它是一个向量子空间:

  1. 0V=x0x0U
  2. 对任意的 a,bFx,yC
    (3)a(xx0)+b(yx0)=ax+by(a+b1)x0x0=ax+by+(1(a+b))x0x0 
    ax+by+(1(a+b))x0x,y,x0 的仿射组合,因此 a(xx0)+b(yx0)U,证得。

   第二步,要证明对任意的 xCC=x+U:首先证明 ,对任意的 yC,我们有

(4)y=x+(yx0)(xx0); 
现在证明 ,对任意的 u=zx0U,我们有
(5)x+u=x+z+(1)x0 
x,z,x0 得仿射组合,证得。

   第三步,要证明 U 不依赖于 x0 的选取——对任意的 xC,定义 U:={xxxC},我们要证明 U=U,处于对称性我们只需要证明 UU:取 xC

(6)xx=(x+x0x)x0 
x+x0xx,x0,x 的仿射组合,因此证得。

   第四步,证明 U 的唯一性:假设 V 存在另外一个向量子空间 U 满足对任意 xCC=x+U,取 x=x0,那么 x0+U=x0+UU=U

   证毕!

   因此我们可以定义仿射集的维度

定义 2 维度

   对于仿射集 CV,我们定义它的维度为它对应的向量空间的维度。

   特别的,一维的仿射集被称为仿射直线,二维的被称为仿射平面,余一维的被称为仿射超平面

   在向量空间中谈直线、平面、超平面时,我们有时指的是向量子空间,有时指的是仿射子空间,要注意分辨。

定理 2 

   对于向量空间的子集 CVC 为仿射集当且仅当过 C 中任意不同的两点的(仿射)直线仍然在 C 中。

   证明:必要性:假设 C 是仿射集。那么任意由 x1,x2C 确定的直线为 x1+(1k)x2,kF,即是 x1,x2 的仿射组合,因此由仿射集的定义(定义 1 ),该直线属于 C

   充分性:C 是过其上任意两点的直线都在 C 中的集。那么任意 xiC,i=1,,n,对任意满足 iai=1aiF,成立(不失一般性,设 a11

(7)i=1naixi=(1a1)i=2nai1a1xi+a1x1 .
n1 时充分性成立。那么 i=2nai1a1xiC,又式 7 i=2nai1a1xix1 的仿射组合,因此 i=1naixiC,即 对 n 时充分性成立。根据数学归纳法和仿射集的定义,C 是仿射集。

   证毕!

推论 1 

   设 UV 是线性空间 V 的子空间,xV,则 x+U 是仿射集。

   证明:任意 x1,x2x+U,设 x1=x+y1,x2=x+y2,其中 y1,y2U。则过 x1,x2 的直线为

(8){x1+k(x2x2)|kF}={x+(y1+k(y2y1))|kF}x+U .
因为 x1,x2 任意,所以由定理 2 ,命题得证!

   证毕!


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