仿射集
贡献者: Giacomo; 零穹; xzllxls
仿射集是矢量空间中的一类子集,它起源于线性代数和几何学的共同发展。它是研究向量空间中点的集合性质的一种方式。在更广泛的背景下,其所对应的仿射几何已经成为几何学的一个重要分支。本文将介绍其基本概念和一些相关的定理。
定义 1 仿射组合与仿射集
取向量空间 (记其域为 ) 中的两点 的线性组合 被称为 的仿射组合;更一般的,系数和为一(即 )的线性组合 被称为 的仿射组合。
向量空间的子集 被称为仿射集(affine set),意味着 中的任意仿射组合都在 中;等价的,我们只需要考虑任意两个向量的仿射组合即可(和向量子空间的情况一样)。
图 1:仿射集示意图
图 表示的是一条穿过 两点的直线。当 ,形成图中直线加粗的部分;反之,形成直线上细线表示的部分。
从几何上看,仿射集仍然是平直的,或者说 “线性的”:
定理 1
对任意的仿射集 ,存在唯一的向量子空间 ,使得对任意的 ,我们有
证明:第一步,取一点 ,我们定义
要证明它是一个向量子空间:
- ,
- 对任意的 ,,
是 的仿射组合,因此 ,证得。
第二步,要证明对任意的 ,:首先证明 ,对任意的 ,我们有
现在证明 ,对任意的 ,我们有
是 得仿射组合,证得。
第三步,要证明 不依赖于 的选取——对任意的 ,定义 ,我们要证明 ,处于对称性我们只需要证明 :取 ,
是 的仿射组合,因此证得。
第四步,证明 的唯一性:假设 存在另外一个向量子空间 满足对任意 ,,取 ,那么 。
证毕!
因此我们可以定义仿射集的维度
定义 2 维度
对于仿射集 ,我们定义它的维度为它对应的向量空间的维度。
特别的,一维的仿射集被称为仿射直线,二维的被称为仿射平面,余一维的被称为仿射超平面。
在向量空间中谈直线、平面、超平面时,我们有时指的是向量子空间,有时指的是仿射子空间,要注意分辨。
定理 2
对于向量空间的子集 , 为仿射集当且仅当过 中任意不同的两点的(仿射)直线仍然在 中。
证明:必要性:假设 是仿射集。那么任意由 确定的直线为 ,即是 的仿射组合,因此由仿射集的定义(定义 1 ),该直线属于 。
充分性:设 是过其上任意两点的直线都在 中的集。那么任意 ,对任意满足 的 ,成立(不失一般性,设 )
设 时充分性成立。那么 ,又
式 7 是 和 的仿射组合,因此 ,即 对 时充分性成立。根据数学归纳法和仿射集的定义, 是仿射集。
证毕!
推论 1
设 是线性空间 的子空间,,则 是仿射集。
证明:任意 ,设 ,其中 。则过 的直线为
因为 任意,所以由
定理 2 ,命题得证!
证毕!
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