线性方程组

                     

贡献者: LittleFeng; addis; Giacomo

  • 本文缺少预备知识,初学者可能会遇到困难。

1. 低维简单例子

二元一次方程组

   在许多实际生活中,我们往往需要解决类似的问题:

   小明拿着家长给的 $100$ 元去超市买饮料。超市里有 $3$ 元钱一瓶的可口可乐和 $5$ 元钱一瓶的奶茶,最后他带着 $28$ 瓶饮料回家过暑假了。求问小明买了多少瓶可口可乐,多少瓶奶茶?

   这个问题实际上是一个二元一次方程组的问题,我们设小明买了 $x$ 瓶可口可乐,$y$ 瓶奶茶,可以列出一个方程组:

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} 100 &= 3x + 5y & &(a)\\ 28 &= x + y & &(b)~.\\ \end{aligned}\right. \end{equation}
一个简单的解决方法是计算 $(a)-3 \cdot (b)$,得到 $16 = 0x + 2y$ 即 $y = 8$,进一步就知道 $x = 20$.

三元一次方程组

   类似的在三维坐标系里面,考察三个平面:$S_1:x - 3y-2z=3$,$S_2:-2x+y-4z=-9$ 与 $S_3:-x+3y-z=-7$ 的交点。 那么这个问题等价于解决如下三元一次方程组:

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} x - 3y - 2z &= 3\\ - 2x + y - 4z &= -9\\ - x + 3y - z &= -7~.\\ \end{aligned}\right. \end{equation}
解得
\begin{equation} \left\{\begin{aligned} x &= 2\\ y &= -1\\ z &= 1~.\\ \end{aligned}\right. \end{equation}
那么 $(2,-1,1)$ 就是三维坐标系中平面 $S_1$,$S_2$ 与 $S_3$ 的交点。

2. 一般情况下的定义

   一般的,形如:

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} a_{1,1}x_1 + a_{1,2}x_2 + \dots + a_{1,n}x_n &= y_1~,\\ a_{2,1}x_1 + a_{2,2}x_2 + \dots + a_{2,n}x_n &= y_2~,\\ \vdots \\ a_{m,1}x_1 + a_{m,2}x_2 + \dots + a_{m,n}x_n &= y_m~. \end{aligned}\right. \end{equation}
的等式组统称为线性方程组,也可以根据其未知数的个数称为 $n$ 元一次方程组。

   其中 $x_1\dots x_n$ 为 $n$ 个未知量,$y_1\dots y_m$ 与 $a_{1,1} ,a_{1,2}\dots a_{1,n},a_{2,1} \dots a_{n,m}$ 为给定的系数。(形如 $a_{i.j}$ 的系数表示它是方程组中第 $i$ 个方程的 $x_j$ 对应的系数,也即第 $i$ 行第 $j$ 列系数)

3. 求解线性方程组

  

未完成:初高中的解方程方法


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