张成空间

             

预备知识 线性相关性

   矢量的线性组合,使得我们有可能用少量矢量来表示更多的矢量.例如 $N$ 维几何矢量空间空间中的一组基底可以通过线性组合得到整个矢量空间中的任意矢量,我们就说这组基底张成(span)了这个矢量空间.

   在本节中,我们讨论如何用更少的矢量来表示整个空间里的所有矢量,并在此基础上拓展,引出线性空间的基以及维度等概念.

1. 张成空间

定义 1 张成空间

   给定线性空间 $V$,用 $V$ 的若干矢量构成的集合 $S=\{ \boldsymbol{\mathbf{v_\alpha}} \}$,可以是无穷集合,可以线性相关,也可以有限或者线性无关.从 $S$ 中任意地选择有限个矢量进行线性组合所得到的集合 $\{\sum_i^N c_i \boldsymbol{\mathbf{v_i}} |N\in\mathbb{Z}, c_i\in\mathbb{R}, \boldsymbol{\mathbf{v}} _i\}$ 称为 $S$ 所张成(span)的空间,记为 $ \operatorname {span} S$ 或者 $ \left\langle \{ \boldsymbol{\mathbf{v}} _\alpha\} \right\rangle $.

   容易证明,定义中的 $ \operatorname {span} S$ 符合矢量空间的定义.

   张成空间的概念,最直观的例子就是子空间.比如说,三维的几何矢量空间 $V$ 中,任意选定两个向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} $,这两个向量的所有线性组合构成的集合,是 $V$ 中的一个过原点的平面.这样,$ \operatorname {span}\{ \boldsymbol{\mathbf{v}} , \boldsymbol{\mathbf{u}} \}$ 构成了一个线性空间,同时还是 $V$ 的子集,因此又被称作 $V$ 的一个子空间.

习题 1 

   给定一个三维线性空间,把其中的每个向量表示成一个行向量 $(x,y,z)$,其中 $x,y,z\in\mathbb{R}$.取三个向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1=(1,2,0)$,$ \boldsymbol{\mathbf{v}} _2=(3,2,4)$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _3=(1,1,1)$,那么这三个向量所张成的空间是一个点、一条线、一个平面还是整个三维空间本身?三个向量是否线性相关?它们的线性相关性和张成空间的样子有什么关系?

   实际上,我们完全可以摆脱 “用给定空间的向量来张成一个子空间”,而形式化地定义张成的概念.取任何一个集合 $S$,我们可以用 $S$ 在域 $\mathbb{K}$ 上直接构造一个线性空间 $V=\{\sum a_\alpha s_\alpha|a_\alpha\in\mathbb{K}, s_\alpha\in S\}$.这里的 $a_\alpha s_\alpha$ 表示把数字 $a_\alpha$ 和元素 $s_\alpha$ 组合在一起,变成一个不属于 $S$ 的新元素1,而 $\sum$ 表示这些新元素组合起来又得到了新的元素,组合符号用加号 $+$ 表示.这时回过头来,我们可以把每个 $s_\alpha$ 看成是 $V$ 的一个向量,它们张成了 $V$ 这个线性空间.

2. 基和基向量

   我们用向量来张成空间,就是在用这些向量来表示张成空间里面的所有向量的.从线性相关性中我们知道,张成空间时所使用的向量,如果它们线性相关,那么就会有冗余向量,也就是说其中一些向量本身就可以被剩下的向量表示出来,因此我们就算把冗余的向量都剔除了,剩余的向量仍然可以张成同一个空间.

   进一步,有冗余向量就意味着,张成空间里的每一个向量都可以有多个表示方法.

习题 2 

   习题 1 中所给出的三个向量是线性相关的.请使用这个例子来讨论以下两个问题:

  • 这三个向量中剔除几个向量后就不再有冗余向量?
  • 剔除的冗余向量有几种选择?
  • 用这三个向量的线性组合来表示向量 $(1,0,0)$,组合方式是唯一的吗?

   如果一组向量是线性无关的,那么就没有这讨厌的冗余向量了,我们就可以很方便地用这组向量来讨论张成空间的性质.

定义 2 基和基向量

   如果线性空间 $V$ 可以表示为一组向量 $\{ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i\}$ 的张成空间,并且这组向量是线性无关的,那么我们说 $\{ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i\}$ 是 $V$ 的一组基底(basis)或简称,各 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i$ 被称作一个基向量(basis vector)

   有了基之后,线性空间中的每一个向量都可以唯一地表示成基向量的线性组合.这里,每一个向量都可以被表示成基向量的线性组合是因为定义中要求基底能张成整个线性空间,而线性组合的唯一性是因为定义中要求基底是线性无关的.这是极为重要的性质,它使得线性空间上的一切线性性质,比如线性函数、线性变换、张量的表示等等,都只和基底的选择有关.比如说,对于线性函数,一旦选定了基底,那么只需要计算出基向量的函数值,我们就可以得到一切向量的函数值,而不用对每一个向量都作一番计算.

定理 1 基底表示的唯一性

   对于线性空间 $V$,给定一组基 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\}$.对于任何向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} \in V$,它表示为该基底的线性组合的方式是唯一的.

   证明:

   设 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} =\sum a_i \boldsymbol{\mathbf{e}} _i=\sum b_i \boldsymbol{\mathbf{e}} _i$,其中 $a_i, b_i\in \mathbb{K}$,而 $\mathbb{K}$ 是定义 $V$ 所用的域.那么我们有:

\begin{equation} \sum(a_i-b_i) \boldsymbol{\mathbf{e}} _i=\sum a_i \boldsymbol{\mathbf{e}} _i-\sum b_i \boldsymbol{\mathbf{e}} _i= \boldsymbol{\mathbf{v}} - \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} \end{equation}

   由于 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\}$ 线性无关,上式就意味着每一个 $a_i-b_i$ 都是 $0$,也就是说每一个 $a_i$ 都等于 $b_i$.因此不可能有两种不同的组合方式能得到 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $.

   证毕.

定义 3 向量的坐标

   对于线性空间 $V$,给定一组基 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\}$.如果向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} =\sum a_i \boldsymbol{\mathbf{e}} _i$,那么我们称 $\{a_i\}$ 是 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 的一组坐标(coordinates)

   定理 1 意味着选定基底以后,各向量的坐标是唯一的,但基底的选择本身不是唯一的.比如说,二维平面上,任何两个不平行的向量都可以构成这个空间的一个基.基的选择不一样,向量的坐标也不一样.对此的详细讨论请参见矢量空间的表示

3. 线性空间的维度

   对于一组有限个向量,如果它们线性相关,就总可以找出一个冗余向量,把它剔除;如果剔除一个冗余向量以后还有冗余向量,就重复这个操作,直到不再有冗余向量为止.这样剔除若干步后所得到的线性无关的向量组,被称为原先向量组的一个极大线性无关组.由于每一步剔除的冗余向量可以不同,最终剩下来的极大线性无关组也可以不同.

例 1 

   依然利用习题 1 的例子.向量组 $\{ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1, \boldsymbol{\mathbf{v}} _2, \boldsymbol{\mathbf{v}} _3\}$ 的极大线性无关组一共有三个,分别是 $\{ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1, \boldsymbol{\mathbf{v}} _2\}$,$\{ \boldsymbol{\mathbf{v}} _2, \boldsymbol{\mathbf{v}} _3\}$ 和 $\{ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1, \boldsymbol{\mathbf{v}} _3\}$.

   由于每一步剔除的向量都是 “冗余” 的,因此每一步的剔除都不会改变向量组所张成的空间.尽管剔除的方式不同可能导致剩下来的极大线性无关组不同,但是它们都张成同一个空间,这就意味着这些极大线性无关组一定有某些共性,我们把这个共性称作张成空间的维度.

定理 2 

   如果线性空间 $V$ 可以表示为一组有限个向量 $\{ \boldsymbol{\mathbf{w}} _i\}$ 的张成空间,那么 $\{ \boldsymbol{\mathbf{w}} _i\}$ 的任何两个极大线性无关组中的元素数量都是一样的.

   定理 2 的证明有很多方式,由于本书的教学思路在这里还没引入线性方程组的概念,因此不会使用线性方程组解的性质来证明,而是用 “替换法”.

   证明:

   假设 $S$ 是若干向量的集合,其中 $\{ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i\}_{i=1}^n$ 和 $\{ \boldsymbol{\mathbf{u}} _j\}^m_{j=1}$ 都是 $S$ 的极大线性无关组.那么由于 “极大”,$\{ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i\}_{i=1}^n$ 中的向量都可以用 $\{ \boldsymbol{\mathbf{u}} _j\}^m_{j=1}$ 的线性组合来表示,反之亦然;由于 “线性无关”,两者的互相表示是唯一的.

   反设 $n\not=m$,不妨就设 $n > m$.

   如果从 $\{ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i\}_{i=1}^n$ 中把 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1$ 拿掉,那么必然存在若干 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} _j$ 无法被剩下的 $\{ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i\}_{i=2}^n$ 表示.我们把这些无法被表示的 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} _j$ 添加进 $\{ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i\}_{i=2}^n$,取代 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1$,这样又得到一个新的极大线性无关组2.对于把 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1$ 替换掉后的新极大无关组,再把 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _2$ 拿掉,然后相应地替换为拿掉之后无法表示出的所有 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} _j$.依次进行.

   以上步骤中,由于每一次替换都只拿掉一个 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i$,却要替换为至少一个 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} _j$,而且每次添加的 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} _j$ 都和之前的没有交集3.再加上 $n > m$,因此替换的元素最多到 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _m$.这样就得出 $\{ \boldsymbol{\mathbf{u}} _j\}^m_{j=1}\cup\{ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i\}^n_{j=m+1}$ 也是一个极大无关组.由于这个极大无关组比 $\{ \boldsymbol{\mathbf{u}} _j\}^m_{j=1}$ 多了一个非空集合 $\{ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i\}^n_{j=m+1}$,因此和 $\{ \boldsymbol{\mathbf{u}} _j\}^m_{j=1}$ 的极大线性无关性矛盾.因此假设不成立,即 $n=m$.

   令 $S=\{ \boldsymbol{\mathbf{w}} _i\}$ 或者 $S=V$,就得到定理的证明.

   证毕.

   替换法的证明仅仅用到了目前已知的少量向量性质,并不涉及方程组理论,请仔细体会其逻辑.事实上,本书将会在建立了线性空间的直觉后,用线性空间的思想,即几何的思想,来解释实系数线性方程组的概念.

   定理 2 意味着,线性空间的不同基底总包含相同数量的基向量.实际上蕴含的是非常符合直觉的一个概念,维度.

定义 4 线性空间的维度

   对于线性空间 $V$,其任意一个极大线性无关组的元素数量,称为 $V$ 的维度(dimension),记为 $ \operatorname {dim}V$.

   在定理 2 中我们限制了 $V$ 被有限个向量张成,也就是说 $ \operatorname {dim}V$ 是有限的.事实上,我们通常讨论的线性空间是有限维的,无穷维的情况会在将来进一步讨论.


1. ^ 只有一个情况例外,那就是当 $a_\alpha=1$ 时,将 $1s_\alpha$ 认为就是 $s_\alpha$ 本身,从而这时并没有得到新元素.
2. ^ 新向量组线性无关是因为所添加的元素都是 $\{ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i\}_{i=2}^n$ 所无法表示、本身也线性无关的,而极大是因为它可以表出所有 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} _j$ 了.
3. ^ 因为之前添加的 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} _j$ 已经在新极大无关组里了,肯定能被表示出来.

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