线性映射

                     

贡献者: addis; Giacomo; JierPeter

  • 重整中:线性变换和线性映射改为同义词
预备知识 子空间

1. 概念的引入

   线性空间是一种集合,自然可以考虑其上各种各样的映射。比如在几何向量空间中,向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 有长度,表示为 $\lVert \boldsymbol{\mathbf{v}} \rVert$,我们可以定义映射 $f( \boldsymbol{\mathbf{v}} )=\lVert \boldsymbol{\mathbf{v}} \rVert \boldsymbol{\mathbf{v}} $,也就是把每个向量都伸长,伸长倍数恰为自己的长度。

   可线性空间又不仅仅是个集合,它还有线性结构,即数乘和加法运算。上述 $f$ 并不能体现线性结构的威力,因为它不能保持线性结构——所谓保持线性结构,就是 “线性组合与映射可交换”。

   比如说,考虑三维几何向量的投影变换,记为 $\pi$。任取若干向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i$,它们的线性组合 $\sum_{i}a_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _i$ 也是一个向量。你可以先将 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i$ 组合起来,再将结果用 $\pi$ 投影,得到 $\pi \left(\sum_{i}a_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _i \right) $;也可以先将每个 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i$ 投影为 $\pi( \boldsymbol{\mathbf{v}} _i)$,再用同一组系数 $a_i$ 做组合,得到 $\sum_{i}a_i\pi( \boldsymbol{\mathbf{v}} _i)$。验算一下,两条路是不是殊途同归?这就叫保持线性结构。

   保持线性结构的映射体现了线性性的威力,也是线性代数的核心之一。

2. 线性映射

定义 1 线性映射

   给定 $\mathbb F$(通常取实数域 $\mathbb R$ 或复数域 $\mathbb C$)上的线性空间 $V$ 和 $U$。如果有映射 $f:V\rightarrow U$ 满足:对于任意的向量 ${v}_1, {v}_2\in V$ 和标量 $c_1, c_2 \in \mathbb{F}$,都有

\begin{equation} f(c_1 {v}_1+c_2 {v}_2)=c_1f({v}_1)+c_2f({v}_2)~. \end{equation}
则称 $f$ 是 $V$ 到 $U$ 的一个线性映射(linear map),也叫线性变换(linear transform)

   特殊地,把 $f:V\to V$ 称为线性算子(linear operator),“算子” 也叫 “算符”。

   注意一些材料中只把 $f:V\to V$ 称为线性变换,小时百科以定义 1 为准。

   定义 1 的内涵比看上去广一些,不仅仅是对 $V$ 中两个向量的线性组合成立。容易证明对于任意的一组有限个向量 $\{v_i\}\subseteq V$ 和一组对应的标量 $\{c_i\}\subseteq\mathbb{F}$,都有

\begin{equation} f \left(\sum_i c_i v_i \right) =\sum_i c_i f(v_i)~. \end{equation}
特殊地,若令所有 $c_i = 0$ 可得

推论 1 

   线性映射 $f:V\to U$ 总把 $0 \in V$ 映射到 $0 \in U$。

习题 1 几何矢量的线性变换

   请证明 $N$ 维几何线性空间 $V_N$ 中,以下变换 $f:V\to V$ 都是线性变换:

  • 缩放:把矢量乘以一个固定标量 $\lambda$。
  • 旋转:把矢量绕任意固定轴逆时针旋转固定角度 $\theta$。
  • 镜像:把矢量关于某条过原点的固定直线做镜像对称。
  • 投影:把二维矢量垂直投影到过原点的固定直线,或者把三维矢量垂直投影到过原点的平面(也可以拓展到 $N$ 维空间中的矢量投影到 $N-1$ 维平面)。
  • 以上几种变换的任意组合。

   注意在以上映射中,除了投影外都是双射,且都把零向量映射到零向量。多对一映射也会把一些非零向量映射到零向量。

习题 2 

   请证明两个线性映射 $f, g$ 的复合映射 $f \circ g$ 仍然是线性映射。注意 $f$ 的值域必须是 $g$ 的定义域的子集。

   在映射中,我们把一个映射的像定义为值域中所有被映射到的元素的集合。

定义 2 值空间

   线性映射 $f:V\to U$ 的像 $M = f(V) \subseteq U$ 是一个线性空间,即 $U$ 的子空间。称为 $f$ 的值空间(range space)。在不造成歧义的情况下我们也可以把该映射记为 $f: V\to M \subseteq U$。

   我们把值空间的维度称为线性映射 $f$ 的,记做 $ \operatorname {rank}(f)$。

   证明留作习题,使用线性空间的定义即可。

   反过来,我们可以定义所有映射到零向量的元素的集合。

定义 3 零空间

   给定线性映射 $f:V\to U$,$V$ 中被变映射到 $U$ 中零向量的全体向量所构成的集合 $\{v\in V|f(v)= 0\}$ 构成 $V$ 的子空间,称为 $f$ 的零空间(null space),也称为零化子空间零化子,记做 $ \operatorname {null} (f)$ 或 $\ker{f}$。

   我们把零空间的维度($ \operatorname {dim}( \operatorname {null}(f))$)称为线性映射 $f$ 的零化度,记做 $ \operatorname {nullity}(f)$。

   证明留做习题:只需要根据定义证明 $\{v\in V|f(v)= 0\}$ 是一个线性空间即可。

  

未完成:这两段应该放到后面展开讲解,太浓缩
如果 $\{{e}_i\}_{i=1}^n$ 是 $V$ 的一组基底,那么任意 $v\in V$ 都可以唯一地表示为 $v=\sum_i c_i {e}_i$ 的形式,其中 $c_i\in\mathbb{F}$。这样,由于线性性,$f(v)=\sum_ic_if({e}_i)$。也就是说,只需要知道了基向量被 $f$ 映射到哪里,也就可以计算出任意向量映射到哪里。于是,和线性函数一样,确定一个线性映射的时候,我们最多只能自由选择基向量映射到哪里,只不过这里的函数值不再是数字,而是 $U$ 中的向量。

   在向量空间的表示中我们还会看到,选定两个空间的基以后,一个线性映射也可以看成是多个线性函数的排列,因此线性映射和线性函数性质很相似。线性函数是一种特殊的线性映射,$V$ 上的所有线性函数组成的向量空间叫做对偶空间

3. 线性方程的解

定义 4 线性方程

   对给定的线性映射 $A:X\to Y$ 和 $b \in Y$,线性方程为 $A (x) = b$;所有满足该式的 $x \in X$ 的集合 $X_s$ 叫做方程的解集

   首先注意 $A$ 未必把 $Y$ 中的每个元素都射中,即值空间 $A(X) \subseteq Y$ 只是 $Y$ 的一个子空间。所以只有 $b \in A(X)$ 时方程有解,否则无解(解集为空集)。用映射的语言,解集 $X_s$ 就是集合 $ \left\{b \right\} $ 的逆像 $A^{-1}( \left\{b \right\} )$。

   当 $b = 0$ 时方程叫做算符 $A$ 的齐次方程。齐次方程的解就是映射的零空间(定义 3 )。1

定理 1 

   线性方程 $A (x) = b$ 的解集可以表示为

\begin{equation} X_s = X_0 + x_1~. \end{equation}
其中 $x_1$ 为 $X_s$ 中的任意元素, $X_0$ 为映射的零空间。

   说明:$X_0 + x_1 = \{x \in x_1 \mid x \in X_0\}$ 表示把 $X_0$ 中的每一个向量与 $x_1$ 相加得到的集合。易证当 $x_1 \ne 0$ 时解集 $X_s$ 不是一向量个子空间(因为不包含零向量)。

   首先证明集合 $X_0 + x_1$ 中的元素满足 $Ax = b$。令任意 $x_0 \in X_0$

\begin{equation} A(x_0 + x_1) = Ax_0 + Ax_1 = 0 + b = b~, \end{equation}
证毕。再来证明解集中不存在 $X_0 + x_1$ 之外的向量。令 $x_2 \in X_S$ 且 $x_2 \ne x_1$,那么
\begin{equation} A(x_2 - x_1) = Ax_2 - Ax_1 = b - b = 0~, \end{equation}
即 $x_2 - x_1 \in X_0$,即 $x_2 \in x_1 + X_0$。证毕。

   到此为止我们就可以非常清晰地勾画出多对一线性映射的结构了 $A: X \to Y$。我们先找到定理 1 中的零空间 $X_0$ 和它的补空间 $X_1$,其中 $X_1$ 的元素和值域空间 $A(X)$ 一一对应。那么对每个 $x_1 \in X_1$,线性映射就会把集合 $x_1 + X_0$ 所有元素映射到 $A(X)$ 中的同一个元素 $y_1 = Ax_1$ 上。

  

未完成:需要一个 3 维几何向量空间的真实例子,零空间 1 维,补空间 2 维

4. 线性映射空间

  

未完成:\mapsto 第一次出现,解释一下用法

   从向量空间 $V$ 到向量空间 $W$ 有很多线性映射,全体线性映射的集合记做 $L(V, W)$,它也构成一个向量空间:对标量 $a \in \mathbb{F}$,线性映射 $f \in L(V, W)$,我们定义数乘为

\begin{equation} \begin{aligned} a \cdot f: V &\to W, \\ v &\mapsto a \cdot (f(v))~, \end{aligned} \end{equation}
对于线性映射 $f, f \in L(V, W)$,我们定义加法为
\begin{equation} \begin{aligned} f + f': V &\to W, \\ v &\mapsto f(v) + f(v')~. \end{aligned} \end{equation}

   特别的,零函数 $v \mapsto 0_W$ 是向量空间 $L(V, W)$ 的零向量。

5. 矩阵表示线性变换

  2给定实向量空间 $V$,并指定它的一组基 $\{ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i\}_{i=1}^n$,这样就可以把每个向量都表示为一个 $n\times 1$ 的列矩阵,而每个线性变换也可以表示为一个 $n\times n$ 的方阵

   如果一个线性变换 $f$ 将各基向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i$ 变换成 $a_{i1} \boldsymbol{\mathbf{v}} _2+a_{i2} \boldsymbol{\mathbf{v}} _1+\cdots+a_{in} \boldsymbol{\mathbf{v}} _n$,那么我们可以把这个线性变换表示为矩阵:

\begin{equation} \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots&a_{2n}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\cdots&a_{nn}\\ \end{pmatrix}~. \end{equation}

   这样,任何向量 $b_1 \boldsymbol{\mathbf{v_1}} +b_2 \boldsymbol{\mathbf{v}} _2+\cdots+b_n \boldsymbol{\mathbf{v}} _n$ 变换为 $c_1 \boldsymbol{\mathbf{v}} _1+c_2 \boldsymbol{\mathbf{v}} _2+\cdots+c_n \boldsymbol{\mathbf{v}} _n$ 的过程,就可以用矩阵表示为:

\begin{equation} \begin{pmatrix} c_1\\c_2\\c_3\\\vdots\\c_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots&a_{2n}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\cdots&a_{nn}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1\\b_2\\b_3\\\vdots\\b_n \end{pmatrix}~. \end{equation}

   注意,这个矩阵的第 $j$ 列单独拿出来看的话,正好就是第 $j$ 个基向量变换后的结果 $f( \boldsymbol{\mathbf{v}} _j)$。这一点很容易验证,只要把第 $j$ 个基向量的坐标代入计算就可以了。这一点使得我们可以很容易写出给定基下线性变换的矩阵,只需要把第 $j$ 个基向量变换后所得向量的坐标填入变换矩阵的第 $j$ 列就可以了。

   最简单的矩阵对应的也就是最简单的线性变换:恒等变换,其矩阵是

\begin{equation} \begin{pmatrix} 1&0&0&\cdots&0\\ 0&1&0&\cdots&0\\ 0&0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&1\\ \end{pmatrix}~. \end{equation}

6. 总结与拓展

   到目前为止,我们对于向量的描述依然是抽象的,并未涉及许多具体的性质,如向量垂直、向量长度、向量坐标等概念。

   在将来的文章中,我们会看到如何在给定了具体的基时用矩阵来描述向量和线性变换,以及当基的选择变化时,这些矩阵该如何变化。


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面
2. ^ 节选自小时百科《代数学》。


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