线性映射的结构

             

预备知识 补空间

   如果线性映射是单射的(即定义域空间到值域空间是双射的),那么它的结构简单明了,没有太多值得讨论的.我们现在来看一个揭示多对一线性映射的结构的重要定理.考虑线性映射 $A:X\to Y$,线性空间 $X$ 的零空间(定理 2 )$X_0$ 中的每个矢量都被 $A$ 映射到 $Y$ 空间中的零矢量,即 $A(X_0) = \left\{0 \right\} $.

图
图 1:两个 $X$ 子空间的线性映射:$X_0$ 是零空间,$X_1$ 是 $X_0$ 在 $X$ 中的补空间

定理 1 

   令 $A:X \to Y$ 的零空间为 $X_0$,$X_1$ 为 $X_0$ 在 $X$ 中任意一个补空间(即 $X_0\oplus X_1 = X$,定义 1 ),令值空间 $Y_1 = A(X)$,那么映射 $A:X_1\to Y_1$ 是一一对应的(即双射).

   证明见下文.我们可以形象地把定理 1 图 1 表示,图中每个三角形代表一个矢量空间,由于 $X_0, X_1$ 是互补的,它们只相交于零矢量.注意对于给定的映射 $A$,$X_0$ 和 $Y_1$ 是确定的,而 $X_0$ 的补空间 $X_1$ 可以随意选取.

   特殊地,若 $X_0$ 是零维空间即 $X_0 = \left\{0 \right\} $,则补空间 $X_1 = X$.此时可以把图 1 中表示 $X_0$ 的三角形去掉.

   该定理可以更好地帮助我们理解线性方程组解的结构:当 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{b}} $ 的解集等于一个特解加齐次解集,齐次解.$ \boldsymbol{\mathbf{b}} $ 是 $Y_1$ 中的某向量,特解是 $X_1$ 中映射到 $ \boldsymbol{\mathbf{b}} $ 的向量,而齐次解就是零空间 $X_0$.

推论 1 

   令定理 1 中 $X, X_0, Y_1$ 的维数分别为 $N_X, N_0, R$,那么

\begin{equation} N_X = N_0 + R \end{equation}

   证明:见式 1 ,由于 $X_1$ 与 $Y_1$ 一一对应,$X_1$ 的维数也是 $R$,又因为 $X_0\oplus X_1 = X$,$X$ 的维数等于 $X_0, X_1$ 维数之和(推论 1 ).证毕.

推论 2 

   线性映射 $A:X\to Y$ 中值空间 $A(X) \subseteq Y$ 的维数小于或等于定义域空间 $X$ 的维数.

   证明:式 1 中 $N_X, N_0, R > 0$,所以有 $R \leqslant N_X$.

推论 3 

   线性映射 $A:X\to Y$ 是单射(即 $A:X\to A(X)$ 是双射)当且仅当零空间 $X_0$ 中只有零向量.

   说明:零空间 $X_0$ 只有零矢量一个元素当且仅当式 1 中 $N_X = R$ 或 $N_0 = 0$.

   证明:前者证明后者:使用推论 1 以及单射的定义,可得 $0\in X$ 是零空间中的唯一向量.后者证明前者:$N_0 = 0$ 即定理 1 中的 $X = X_1$,与值空间 $Y_1 = A(X)$ 有一一对应关系.证毕.

1. 证明

   要证明定理 1 ,首先证明 $A(X_1) = A(X)$.任意 $x\in X$ 可以表示为 $x = x_0 + x_1$,其中 $x_0\in X_0$,$x_1\in X_1$.$Ax = A x_0 + A x_1 = A x_1$.这说明任意 $y_1 \in Y_1 = A(X)$ 都能找到 $x_1$ 使 $A x_1 = y_1$,所以 $A(X_1) = Y_1$.

   现在证明 $X_1$ 和 $Y_1$ 一一对应:令 $u, v \in X_1$,我们要证明如果 $Au = Av$ 那么 $u = v$.算符 $A$ 是线性的,所以 $A(u-v) = 0$,所以 $u - v \in X_0$.由封闭性,$u - v \in X_1$.由于补空间只交于零矢量 $X_0 \cap X_1 = \left\{0 \right\} $,所以 $u - v = 0$,即 $u = v$.证毕.

  

未完成:线性方程组词条中说明:线性方程组的解空间就是 $X_1$ 中的特解加上齐次解 $X_0$.

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