秩—零化度定理

贡献者： addis; Giacomo

　　 如果线性映射是单射的（即定义域空间到值域空间是双射的），那么它的结构简单明了，没有太多值得讨论的。我们现在来看一个揭示多对一线性映射的结构的重要定理。考虑线性映射 $A:X\to Y$，线性空间 $X$ 的零空间（定义 3 ）$X_0$ 中的每个矢量都被 $A$ 映射到 $Y$ 空间中的零矢量，即 $A(X_0)=\left\{0\right\}$。

　　 证明见下文。我们可以形象地把定理 1 用图 1 表示，图中每个三角形代表一个矢量空间，由于 $X_0,X_1$ 是互补的，它们只相交于零矢量。注意对于给定的映射 $A$，$X_0$ 和 $Y_1$ 是确定的，而 $X_0$ 的补空间 $X_1$ 可以随意选取。

　　 特殊地，若 $X_0$ 是零维空间即 $X_0=\left\{0\right\}$，则补空间 $X_1=X$。此时可以把图 1 中表示 $X_0$ 的三角形去掉。

　　 该定理可以更好地帮助我们理解线性方程组解的结构：当 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的解集等于一个特解加齐次解集，齐次解。$\mathbf{b}$ 是 $Y_1$ 中的某向量，特解是 $X_1$ 中映射到 $\mathbf{b}$ 的向量，而齐次解就是零空间 $X_0$。

　　 我们记

　　 证明：见式 1 ，由于 $X_1$ 与 $Y_1$ 一一对应，$X_1$ 的维数也是 $\mathrm{rank}(A)$，又因为 $X_0\oplus X_1=X$，$X$ 的维数等于 $X_0,X_1$ 维数之和（推论 1 ）。证毕。

　　 证明：式 1 中 $\dim (X),\mathrm{nullity}(A),\mathrm{rank}(A)>0$，所以有 $\mathrm{rank}(A)⩽\dim (X)$。

　　 说明：零空间 $X_0$ 只有零矢量一个元素当且仅当式 1 中 $\dim (X)=\mathrm{rank}(A)$ 或 $\mathrm{nullity}(A)=0$。

　　 证明：前者证明后者：使用推论 1 以及单射的定义，可得 $0\in X$ 是零空间中的唯一向量。后者证明前者：$\mathrm{nullity}(A)=0$ 即定理 1 中的 $X=X_1$，与值空间 $Y_1=A(X)$ 有一一对应关系。证毕。

1. 证明

　　 要证明定理 1 ，首先证明 $A(X_1)=A(X)$。任意 $x\in X$ 可以表示为 $x=x_0+x_1$，其中 $x_0\in X_0$，$x_1\in X_1$。$Ax=A{x}_0+A{x}_1=A{x}_1$。这说明任意 $y_1\in Y_1=A(X)$ 都能找到 $x_1$ 使 $A{x}_1=y_1$，所以 $A(X_1)=Y_1$。

　　 现在证明 $X_1$ 和 $Y_1$ 一一对应：令 $u,v\in X_1$，我们要证明如果 $Au=Av$ 那么 $u=v$。算符 $A$ 是线性的，所以 $A(u-v)=0$，所以 $u-v\in X_0$。由封闭性，$u-v\in X_1$。由于补空间只交于零矢量 $X_0\cap X_1=\left\{0\right\}$，所以 $u-v=0$，即 $u=v$。证毕。