秩—零化度定理

                     

贡献者: addis; Giacomo

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预备知识 直和(线性空间),线性映射

  

未完成:需要在《线性代数》part 中写一个矩阵版本

   如果线性映射是单射的(即定义域空间到值域空间是双射的),那么它的结构简单明了,没有太多值得讨论的。我们现在来看一个揭示多对一线性映射的结构的重要定理。考虑线性映射 A:XY,线性空间 X 的零空间(定义 3 X0 中的每个矢量都被 A 映射到 Y 空间中的零矢量,即 A(X0)={0}

图
图 1:两个 X 子空间的线性映射:X0 是零空间,X1X0X 中的补空间

  

未完成:“一一对应” 放到箭头上面,N0,R 改成文中的符号

定理 1 

   令 A:XY 的零空间为 X0X1X0X 中任意一个补空间(即 X0X1=X定义 1 ),令值空间 Y1=A(X),那么映射 A:X1Y1 是一一对应的(即双射)。

   证明见下文。我们可以形象地把定理 1 图 1 表示,图中每个三角形代表一个矢量空间,由于 X0,X1 是互补的,它们只相交于零矢量。注意对于给定的映射 AX0Y1 是确定的,而 X0 的补空间 X1 可以随意选取。

   特殊地,若 X0 是零维空间即 X0={0},则补空间 X1=X。此时可以把图 1 中表示 X0 的三角形去掉。

   该定理可以更好地帮助我们理解线性方程组解的结构:当 Ax=b 的解集等于一个特解加齐次解集,齐次解。bY1 中的某向量,特解是 X1 中映射到 b 的向量,而齐次解就是零空间 X0

   我们记

推论 1 秩-零化度定理

   线性映射 f:XY 满足

(1)dim(X)=nullity(f)+rank(f) .
其中 nullity(f),rank(f) 分别是 f 的零化度(定义 3 )和秩(定义 2 )。

   证明:见式 1 ,由于 X1Y1 一一对应,X1 的维数也是 rank(A),又因为 X0X1=XX 的维数等于 X0,X1 维数之和(推论 1 )。证毕。

推论 2 

   线性映射 A:XY 中值空间 A(X)Y 的维数小于或等于定义域空间 X 的维数。

   证明:式 1 dim(X),nullity(A),rank(A)>0,所以有 rank(A)dim(X)

推论 3 

   线性映射 A:XY 是单射(即 A:XA(X) 是双射)当且仅当零空间 X0 中只有零向量。

   说明:零空间 X0 只有零矢量一个元素当且仅当式 1 dim(X)=rank(A)nullity(A)=0

   证明:前者证明后者:使用推论 1 以及单射的定义,可得 0X 是零空间中的唯一向量。后者证明前者:nullity(A)=0定理 1 中的 X=X1,与值空间 Y1=A(X) 有一一对应关系。证毕。

1. 证明

   要证明定理 1 ,首先证明 A(X1)=A(X)。任意 xX 可以表示为 x=x0+x1,其中 x0X0x1X1Ax=Ax0+Ax1=Ax1。这说明任意 y1Y1=A(X) 都能找到 x1 使 Ax1=y1,所以 A(X1)=Y1

   现在证明 X1Y1 一一对应:令 u,vX1,我们要证明如果 Au=Av 那么 u=v。算符 A 是线性的,所以 A(uv)=0,所以 uvX0。由封闭性,uvX1。由于补空间只交于零矢量 X0X1={0},所以 uv=0,即 u=v。证毕。

  

未完成:线性方程组文章中说明:线性方程组的解空间就是特解加上齐次解 X0


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