秩—零化度定理
贡献者: addis; Giacomo
未完成:需要在《线性代数》part 中写一个矩阵版本
如果线性映射是单射的(即定义域空间到值域空间是双射的),那么它的结构简单明了,没有太多值得讨论的。我们现在来看一个揭示多对一线性映射的结构的重要定理。考虑线性映射 ,线性空间 的零空间(定义 3 ) 中的每个矢量都被 映射到 空间中的零矢量,即 。
图 1:两个 子空间的线性映射: 是零空间, 是 在 中的补空间
未完成:“一一对应” 放到箭头上面, 改成文中的符号
定理 1
令 的零空间为 , 为 在 中任意一个补空间(即 ,定义 1 ),令值空间 ,那么映射 是一一对应的(即双射)。
证明见下文。我们可以形象地把定理 1 用图 1 表示,图中每个三角形代表一个矢量空间,由于 是互补的,它们只相交于零矢量。注意对于给定的映射 , 和 是确定的,而 的补空间 可以随意选取。
特殊地,若 是零维空间即 ,则补空间 。此时可以把图 1 中表示 的三角形去掉。
该定理可以更好地帮助我们理解线性方程组解的结构:当 的解集等于一个特解加齐次解集,齐次解。 是 中的某向量,特解是 中映射到 的向量,而齐次解就是零空间 。
我们记
推论 1 秩-零化度定理
线性映射 满足
其中 分别是 的零化度(
定义 3 )和秩(
定义 2 )。
证明:见式 1 ,由于 与 一一对应, 的维数也是 ,又因为 , 的维数等于 维数之和(推论 1 )。证毕。
推论 2
线性映射 中值空间 的维数小于或等于定义域空间 的维数。
证明:式 1 中 ,所以有 。
推论 3
线性映射 是单射(即 是双射)当且仅当零空间 中只有零向量。
说明:零空间 只有零矢量一个元素当且仅当式 1 中 或 。
证明:前者证明后者:使用推论 1 以及单射的定义,可得 是零空间中的唯一向量。后者证明前者: 即定理 1 中的 ,与值空间 有一一对应关系。证毕。
1. 证明
要证明定理 1 ,首先证明 。任意 可以表示为 ,其中 ,。。这说明任意 都能找到 使 ,所以 。
现在证明 和 一一对应:令 ,我们要证明如果 那么 。算符 是线性的,所以 ,所以 。由封闭性,。由于补空间只交于零矢量 ,所以 ,即 。证毕。
未完成:
线性方程组文章中说明:线性方程组的解空间就是特解加上齐次解 。
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