向量子空间
贡献者： Giacomo; addis; 零穹
1. 子空间
如果一个向量空间 $S$ 中的所有向量都属于另一个向量空间 $V$，且两个向量空间中加法和数乘运算的定义相同。那么前者就是后者的子空间。注意每个向量空间都是它本身的子空间。
定义 1 向量子空间
向量空间 $V$（记其域为 $\mathbb{F}$）的子集 $S$ 被称为 $V$ 的向量子空间意味着
- $0_V \in S$，
- 对任意的 $a, b \in \mathbb{F}$，$x, y \in S$，$a x + b y \in S$。
证明：
（线性组合）封闭性成立。
加法部分：
1. 结合性，交换律直接从 $V$ 中继承过来。
2. 零向量存在：$0_V \in S$。
3. 逆元存在性：$\forall v \in S$，$-1 \cdot v \in S$。
数乘部分：结合性，两个分配律直接从 $V$ 中继承过来。
证毕！
例 1 三维空间中的平面
未完成：想办法修改成几何向量的语言
在三维的几何向量空间 $\mathbb{R}^3$ 中，观察过原点且以向量 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 为法向量的平面，平面方程为
未完成：几何向量中关于法向量的条目
\begin{equation}
x + y + z = 0~,
\end{equation}
所有与该平面重合的向量可以构成这个三维空间中的一个二维子空间 $S$。证明：平面上的两个向量相加仍然落在平面上，数乘也同样落在平面上，详细过程略。
但是，由于 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 中任意一个都落在该子空间外面，所以不可能选出两个作为子空间的基底。如果需要是选一组 $V$ 的基底且包含 $S$ 空间的基底，可以现在 $S$ 空间中选两个基底（坐标满足式 1 ），例如坐标为 $(1, -2, 1)/\sqrt{6}$ 和 $(1, 0, -1)/\sqrt{2}$ 的两个向量。再在空间外取一个基底，如 $(1, 1, 1)/\sqrt{3}$。注意这里给出的三个向量是定义了一组新的直角坐标系（例 1 ），但原则上只需要线性无关即可。在该情况下，线性无关意味着三个几何向量两两不共线且不共面（定义 1 ）。
定理 2
若 $V_1, V_2$ 是向量空间 $V$ 的子空间，则 $V_1 \cap V_2$ 仍是 $V$ 的子空间。
证明：
1. $0_V \in V_1, 0_V \in V_2 \implies 0_V \in V_1 \cap V_2$。
2. $\forall v_1,v_2 \in V_1 \cap V_2, a, b \in \mathbb{F}$，由于 $V_1$ 是子空间，且 $v_1, v_2 \in V_1$，所以有 $a v_1 + b v_2 \in V_1$，同理 $a v_1 + b v_2 \in V_2$，故 $a v_1 + b v_2 \in V_1 \cap V_2$。
证毕！
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