矢量空间

             

预备知识 几何矢量,函数,抽象

   矢量空间(vector space) 也叫向量空间线性空间(linear space),是一种满足一定条件的集合,有无穷多个元素,每个元素叫做一个矢量向量(vector).它必须满足,在其中选择任意两个矢量,它们的线性组合仍然在这个空间中(以及一些其他条件).进行归纳后易得,这个条件等价于 “任意有限个矢量的线性组合仍然在这个空间中”(封闭性).这里的 “矢量” 是一个广义的概念,是几何矢量的抽象;反过来,几何矢量是矢量的具象(特例).一个广义的矢量,不一定具有长度和方向,例如下面会看到函数也可以看作矢量.

1. 定义

   矢量空间的定义必须依赖一个域(field) $\mathbb F$.简单来说,域就是能进行加减乘除的对象的一个集合,比如实数域 $\mathbb R$ 和复数域 $\mathbb C$.这个域本身被称为该矢量空间的标量域(scalar field)标域,它的元素被称为矢量空间的标量(scalar),它们不是矢量空间的元素,但是可以用来和矢量进行数乘.那么,我们就说矢量空间是 “域 $\mathbb{F}$ 上的”.矢量空间选择的域几乎都是 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$,即讨论的是实数(或复数)域上的矢量空间.所以即使我们不了解域的具体定义也没关系,只要知道实数和复数是两种常见的域就足够了.

定义 1 矢量空间

   标量域 $\mathbb F$ 上的矢量空间定义了矢量的集合 $X$、两个矢量间的加法运算 $X\times X \to X$ 以及标量和矢量间的数乘运算 $\mathbb F \times X \to \mathbb X$.令矢量 $u,v,w \in X$,标量 $a,b \in \mathbb F$,矢量加法记为 $u + v$,数乘记为 $a u$.两种运算必须满足以下性质:

加法运算

  1. 满足加法交换律 $u + v = v + u$.
  2. 满足加法结合律 $(u + v) + w = u + (v + w)$.
  3. 存在零矢量,使得 $v + 0 = v$.
  4. 空间中任意矢量 $v$ 存在逆矢量 $-v$,使得 $v + (-v) = 0$.

数乘运算

  1. 乘法分配律 $a(u + v) = au + av$
  2. 乘法分配律 $(a + b)v = av + bv$
  3. 乘法结合律 $a (b v) = (ab) v$

   说明:加法运算 $X \times X \to X$ 是一个二元映射(子节 2 ), 注意运算的结果必须仍然落在 $X$ 中.我们把这样的运算叫做封闭(closed)1.数乘运算同样也是封闭的,即一个矢量数乘标量后仍然落在 $X$ 中.我们现在还没有涉及 $X$ 以外的元素,所以封闭性看似有些多余,但以后会看到一个矢量空间 $X$ 的子集 $X_1$ 也可以是矢量空间,称为子空间,$X_1$ 上的两种运算封闭意味着运算结果只能落在 $X_1$ 中而不能是 $X$ 的其他元素.

习题 1 几何矢量

   证明 1,2,3 维空间中的所有几何矢量各自构成实数域 $\mathbb R$ 上的矢量空间.

   作为一个非几何矢量的例子,我们来看由多项式构成矢量空间.

例 1 多项式

   所有不大于 $n$ 阶的多项式 $c_n x^n + c_{n-1} x^{n-1} + \dots + c_1 x + c_0$ 可以构成一个实数或复数矢量空间.定义矢量加法为两多项式相加,满足

  • 封闭性:任意两个不大于 $n$ 阶的多项式相加仍然为不大于 $n$ 阶的多项式.
  • 交换律:多项式相加显然满足交换律.
  • 零矢量:常数 0 可以看做一个 0 阶多项式,任何多项式与之相加都不改变.
  • 逆矢量:把任意多项式乘以 $-1$ 就得到它的逆矢量,任意多项式与其逆矢量相加等于 0.

   定义矢量数乘为多项式乘以常数,显然也满足数乘的各项要求,不再赘述.

   另一个重要的矢量空间,是函数空间(function space)

例 2 函数空间

   实数到实数的全体函数($f:\mathbb R \to \mathbb R$)的集合 $F$ 构成一个线性空间,称为 $\mathbb{R}$ 函数空间.函数空间中两个向量的加法定义为,对于任何实数 $x$ 和函数(即向量)$f, g\in F$,有 $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$;数乘定义为,对于任何实数 $a, x$ 和函数 $f\in F$,有 $(af)(x)=af(x)$.

   类似地,复数到复数、实数到复数等的函数都可以构成线性空间;把函数限制在连续函数、可导函数等条件下也依然构成线性空间.特别地,复数域上的归一化可导函数,构成了复数域上的希尔伯特空间,这是一种无穷维的特殊矢量空间,是量子力学的基础概念,我们将会在将来详细讨论.

   注意矢量空间的定义并不需要包含内积(点乘)的概念,但我们可以在其基础上额外定义内积,这样的空间叫做内积空间,留到以后介绍.除了内积,我们可以把 “几何矢量的运算” 和 “线性相关性” 中介绍的概念都拓展到一般的矢量空间中,这里不再重复.

习题 2 复数列矢量

   我们把 $N$ 个复数 $c_1, \dots, c_N$ 按顺序排成一列(或一行,下同),叫做列矢量(或行矢量,下同).列矢量可以看成是 $N \times 1$ 的矩阵.给它们定义通常意义的加法和数乘运算,这样所有列矢量可以构成一个 $N$ 维矢量空间.注意由于我们使用了复数,即使 $N \leqslant 3$ 时我们也无法将这些矢量与几何矢量对应起来.

   如果我们将基底取为2 $(1, 0, \dots, 0) ^{\mathrm{T}} $,$(0, 1, 0, \dots, 0) ^{\mathrm{T}} $,…,$(0, \dots, 0, 1) ^{\mathrm{T}} $,那么显然任意列矢量 $(c_1, \dots, c_N) ^{\mathrm{T}} $ 的坐标就是有序实数 $c_1, \dots, c_N$.但我们也可以取其他基底,这时坐标就会改变.所以再次强调坐标和矢量本身是不同的.我们将会在矢量空间的表示中详细区分矢量本身和矢量的坐标这两个概念.

习题 3 

   证明例 1 中多项式空间是 $n+1$ 维空间,$x^k$($k = 0, \dots, n$)是一组基底(提示:证明它们线性无关,可以表示空间中的任意矢量).


1. ^ 一些文献中也叫 “闭合”
2. ^ 上标 $\mathrm T$ 表示转置,这里是为了排版方便

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