贡献者： 零穹; 叶月2_; Giacomo; addis
预备知识 二元关系
，仿射集
，直和与补空间（线性代数）
1通过矢量空间的子空间可以定义一个等价关系，由该等价关系可以从原矢量空间得到一个商集，这一商集在原空间的加法和数乘下是一矢量空间，这就是所谓的商空间。
定义 1 通过仿射集构造的等价关系
设 $U$ 是向量空间 $V$ 的一个子空间。则称 $v_1,v_2\in V$（关于 $U$）是等价的，若 $v_1,v_2$ 同属于一个与 $U$ 相伴的仿射集。即存在 $x\in V$，使得 $v_1,v_2\in x+U$。若 $v_1,v_2$ 等价，则记 $v_1\overset{U}{\sim}v_2$。
定义中之所以称为等价，是因为这一关系满足自反性，对称性和传递性，这由下面的定理得到保证。
定理 1
定义 1 定义的等价关系满足自反性，对称性和传递性。
证明：
自反性： 任一 $v_1\in V$ 自身显然属于同一个仿射集。所以 $v_1\overset{U}{\sim} v_1$。
对称性： 设 $v_1\overset{U}{\sim} v_2$，那么 $v_2,v_1$ 属于同一个仿射集，因此 $v_2\overset{U}{\sim} v_1$。
传递性：设 $v_1\overset{U}{\sim} v_2,v_2\overset{U}{\sim} v_3$，那么由于它们都属于同一个仿射集，因此 $v_1\overset{U}{\sim} v_3$。
证毕！
定理 2
$v_1\overset{U}{\sim} v_2$ 的充要条件是 $v_1-v_2\in U$。
证明：必要性:假设 $v_1\overset{U}{\sim} v_2$，于是存在 $x\in V$，使得 $v_1,v_2\in x+U$，于是可记 $v_1=x+ \boldsymbol{\mathbf{u}} _1,v_2=x+ \boldsymbol{\mathbf{u}} _2$，其中 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} _1, \boldsymbol{\mathbf{u}} _2\in U$。那么 $v_1-v_2= \boldsymbol{\mathbf{u}} _1- \boldsymbol{\mathbf{u}} _2\in U$。
充分性：假设 $v_1-v_2\in U$。设 $v_1=x+ \boldsymbol{\mathbf{u}} _1,v_1-v_2=u$，其中 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} _1,u\in U$，那么 $v_2=v_1-u=x+ \boldsymbol{\mathbf{u}} _1-u\in x+U$。即 $v_1\overset{U}{\sim} v_2$。
证毕！
定理 2 表明，我们还可以将定义 1 的等价定义为 $v_1-v_2\in U$，而不使用仿射集的概念。但是在证明所定义的等价是等价关系是定义 1 最方便，因为等价的元素都在同一个集中。
定义 2 剩余类，商空间
在向量空间 $V$ 上（关于子空间 $U$）等价的元素构成的类称为（关于子空间 $U$）剩余类，与 $v_1\in V$ 对应的剩余类记作 $[v_1]$。所有的类的全体称为 $V$ 关于 $U$ 的商空间，记作 $V/U$。
下面的定理表明利用原空间上的加法和数乘可以定义商空间上的加法和数乘，而使得商空间为矢量空间。这也是称之为 “商空间” 的原因。
定理 3 商空间是矢量空间
设 $U$ 是矢量空间 $V$ 的子空间，则 $V/U$ 在如下加法和数乘下构成一矢量空间：
- 加法：
$[v_1] + [v_2] := [v_1 + v_2]~;$
- 数乘： $a [v] := [a v]\qquad (a \in \mathbb F)~.$
证明：加群：交换性来源于 $[v_1] + [v_2]= [v_1 + v_2]=[v_2+v_1]=[v_2] + [v_1]$；
封闭性来源于 $[v_1]+[v_2]=[v_1+v_2]\in V/U$；
结合性来源于 $[v_1] + ([v_2]+[v_3])= [v_1 + v_2+v_3]=([v_1]+[v_2])+[v_3]$；
零元来源于 $[0]+[v]=[0+v]=[v]$；
逆元来源于 $[v_1]+[-v_1]=[v_1-v_1]=[0]$
数乘：
分配律来源于
\begin{equation}
\begin{aligned}
\lambda([v_1]+[v_2])=&[\lambda v_1+\lambda v_2]=[\lambda v_1]+[\lambda v_2]=\lambda[v_1]+\lambda[v_2];\\
(\lambda_1+\lambda_2)[v]=&[(\lambda_1+\lambda_2)v]=[\lambda_1v+\lambda_2 v]=\lambda_1[v]+\lambda_2[v].
\end{aligned}~
\end{equation}
结合律来源于 $\lambda_1(\lambda_2[v])=\lambda_1[\lambda_2 v]=[\lambda_1\lambda_2 v]=(\lambda_1\lambda_2)[v]$
证毕！
虽然定理 3 表明商空间是矢量空间，但是不代表它上面的加法和数乘定义就是良定义的，即可能依赖于剩余类的代表元。下面定理表明上面在商空间中定义的加法和数乘是良定义的。
定理 4
定理 3 中定义的加法和数乘是良定义的，即不依赖于剩余类中的代表元。
证明：我们需要证明对任意的 $v_1,v_1'\in[v_1],v_2,v_2'\in [v_2]$，成立
\begin{equation}
[v_1]+[v_2]=[v_1']+[v_2'],\quad \lambda [v_1]=\lambda [v_1'].~
\end{equation}
事实上，由 $v_1'-v_1\in U,v_2-v_2'\in U$，成立
\begin{equation}
\begin{aligned}
&(v_1'+v_2')-(v_1+v_2)=(v_1'-v_1)+(v_2-v_2')\in U,\\
&\lambda v_1-\lambda v_1=\lambda (v_1-v_1')\in U.
\end{aligned}~
\end{equation}
因此，由
定理 2 ，$[v_1+v_2]\overset{U}{\sim}[v_1'+v_2'],[\lambda v_1]=[\lambda v_1']$。从而
式 2 成立。
证毕！
1. 商空间的维度
既然定理 3 表明商空间 $V/U$ 是个矢量空间，因此其就有维度的定义。
定义 3 余维数
设 $V$ 是矢量空间，$U$ 是 $V$ 的子空间，则称商空间 $V/U$ 的维度为（$V$ 中）$U$ 的余维数，记作 $\mathrm{codim}_V U$，即 $\mathrm{codim}_V U:=\mathrm{dim} V/U$。
例 1
试用商空间的概念证明线性空间的任意子空间都有补空间：即若 $V$ 是域 $\mathbb F$ 上的线性空间，$W$ 是其子空间，则 $W$ 必有补空间（定义 1 ）。
从 $W$ 的左陪集 ${S_{\alpha}}$ 里各选一个元素 $v_a$，$ \operatorname {Span} \{v_{\alpha}\}$ 构成商空间 $V/W$ 的一组基2，张成的也是 $W$ 的补空间。由等价类划分可知，$ \operatorname {Span} \{v_{\alpha}\}$ 与 $W$ 没有交集，因此我们只需要证明所有元素都可以表示为 $b_{\alpha}v_{\alpha} + W$ 即可。
设 $v$ 为任意元素，则有 $v + W=b_{\alpha} S_{\alpha}$，由于 $v_{\alpha} \in S_{\alpha}$，所以 $b_{\alpha} v_{\alpha} \in v + W$。也就是说，总可以找到一个元素 $v_1 \in W$，使得 $v=bv_{\alpha} + v_1$，由于左陪集与子空间互不包含，因而和是直和，证毕。
该例子的证明过程同时明示着商空间维数和子空间的关系。
定理 5
设 $V=U\oplus W$，那么映射
\begin{equation}
f:W\rightarrow V/U, u\mapsto u+U.~
\end{equation}
是同构（向量空间中线性的双射）。
证明：线性： 设 $\alpha,\beta\in\mathbb F,u,v\in W$，则
\begin{equation}
\begin{aligned}
f(\alpha u+\beta v)=&\alpha u+\beta v+U\\
=&\alpha (u+U)+\beta(v+U)\\
=&\alpha f(u)+\beta f(v).
\end{aligned}~
\end{equation}
第二个等式用到 $U+U=U,\alpha U=U$（见
定义 2 ）。
满射性：设 $v+U\in V/U$。由于 $V=U\oplus W$，所以 $v=x+y,x\in U,y\in W$（见直和的定义（定义 1 ））。于是
\begin{equation}
v+U=x+y+U=(x+U)+(y+U)=U+(y+U)=y+U=f(y).~
\end{equation}
上面第三个等式用到 $x\in U\Rightarrow x+U=U$。
Ker f=0：由于 $\ker f:=\{x|f(x)=0,x\in W\}$，其中 $0$ 代表 $V/U$ 的零元，由定理 3 中的证明可知这个零元就是 $[0]=0+U=U$。因此若 $u\in\ker f$，则 $f(u+U)=u+U=U$，进而 $u\in U$。但是 $u\in W,U\cap W=0$，所以只能是 $u=0$。这表明 $\ker f=0$。
由 $f$ 的满射性和 $\ker f=0$（链接），得 $f$ 是双射。
证毕！
推论 1 商空间的维度
对于有限维度向量空间 $V$,
\begin{equation}
\dim(V/U) = \dim V - \dim U~.
\end{equation}
证明：由定理 5 和（直和的维度关系）可得。
证毕！
2. 线性映射的基本同构定理
定理 6 第一同构定理
设 $V_1,V_2$ 是域 $\mathbb F$ 上的线性空间，且有线性映射 $f:V_1\rightarrow V_2$ 满足 $ \operatorname {ker}\phi=U\subset V_1$，则 $f$ 诱导出商空间上的同构
\begin{equation}
\overline f:V_1/ \operatorname {ker}f \cong \operatorname{Im} f~.
\end{equation}
证明：
对于任意 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} \in V_1$，$\overline { \boldsymbol{\mathbf{x}} }$ 表示其同余类，即 $\{\overline { \boldsymbol{\mathbf{x}} }= \boldsymbol{\mathbf{x}} + \boldsymbol{\mathbf{a}} | \boldsymbol{\mathbf{a}} \in U\}$。设 $\overline f(\overline { \boldsymbol{\mathbf{x}} })=f( \boldsymbol{\mathbf{x}} )$。则对于任意 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _1 \boldsymbol{\mathbf{x}} _2\in V_1,k_1,k_2\in \mathbb F$，我们有
\begin{equation}
\begin{aligned}
\overline f(k_1 \overline { \boldsymbol{\mathbf{x}} _1}+k_2\overline { \boldsymbol{\mathbf{x}} _2})&=\overline f(k_1 \boldsymbol{\mathbf{x}} _1+k_2 \boldsymbol{\mathbf{x}} _2+ \operatorname {ker}f)\\
&=f(k_1 \boldsymbol{\mathbf{x}} _1+k_2 \boldsymbol{\mathbf{x}} _2)\\
&=k_1f( \boldsymbol{\mathbf{x}} _1)+k_2f( \boldsymbol{\mathbf{x}} _2)\\
&=k_1\overline f(\overline { \boldsymbol{\mathbf{x}} _1})+k_2\overline f(\overline { \boldsymbol{\mathbf{x}} _2})~,
\end{aligned}
\end{equation}
因此，$\overline f$ 是线性的。
由式 7 得 $ \operatorname {dim}(V_1/\ker f)= \operatorname {dim}V_1- \operatorname {dim}\ker f= \operatorname {dim} \operatorname{Im} f$，因此这是同构映射。
定理 7 第二同构定理
设 $U_1,U_2\subset V$，则有自然同构：
\begin{equation}
\frac{U_1+U_2}{U_2}\cong \frac{U_1}{U_1\cap U_2}~.
\end{equation}
证明：
设任意 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} \in U_1+U_2$ 可以分解为 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{u}} _1+ \boldsymbol{\mathbf{u}} _2$，映射 $f$ 为
\begin{equation}
f(\overline { \boldsymbol{\mathbf{x}} })=f( \boldsymbol{\mathbf{x}} +U_2)= \boldsymbol{\mathbf{u}} _1~,
\end{equation}
通过类似
式 9 的证明过程可知这是线性映射。又因为
\begin{equation}
\begin{aligned}
\dim\frac{U_1+U_2}{U_2}&=\dim U_1+\dim U_2-\dim (U_1\cap U_2)-U_2\\
&=U_1-\dim(U_1\cap U_2)~,
\end{aligned}
\end{equation}
所以这是同构映射。
单射是合理的，即使 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 有两种分解，也会映射到一个同余类。比如设 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{u}} _1+ \boldsymbol{\mathbf{u}} _2= \boldsymbol{\mathbf{u'}} _1+ \boldsymbol{\mathbf{u'}} _2$，则 $f( \boldsymbol{\mathbf{u}} _1+ \boldsymbol{\mathbf{u}} _2+U_2)-f( \boldsymbol{\mathbf{u'}} _1+ \boldsymbol{\mathbf{u'}} _2+U_2)= \boldsymbol{\mathbf{u}} _1+U_1\cap U_2= \boldsymbol{\mathbf{u'}} _1+U_1\cap U_2$。
定理 8 第三同构定理
设任意 $U_2\subset U_1\subset V$,则有自然同构
\begin{equation}
\frac{V}{U_1}\cong \frac{V/U_2}{U_1/U_2}~.
\end{equation}
证明：
建立线性映射 $f:V/U_2\rightarrow V/U_1$ 为 $f( \boldsymbol{\mathbf{x}} +U_2)= \boldsymbol{\mathbf{x}} +U_1$，显然这是线性映射。因为映射的核为 $U_1/U_2$。结合定理 6 可得证。
推论 2
设 $V=V_1\oplus V_2$，$U=U_1\oplus U_2\subset V$，则有自然同构
\begin{equation}
\frac{V_1\oplus V_2}{U_1\oplus U_2}\cong \frac{V_1}{U_1}\oplus \frac{V_2}{U_2}~.
\end{equation}
1. ^ 该词条由 FFjet 和叶月 2_两位作者创作过，然而为了完善起见经过了大幅改动，然而由于某些原因，贡献者里面没有显示两位创作者，因此在此向两位创作者的付出表示感谢
2. ^ 尽管 $kv_\alpha$ 为不同于 $v_\alpha$ 的等价类，但这里取张成，不影响后续定理 2 这一推论
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