商空间

             

预备知识 二元关系,子空间

  1设 $W$ 是 $n$ 维矢量空间 $V$ 的一个 $m$ 维子空间.我们想通过 $W$ 来定义 $V$ 中元素的一个等价关系,并由此得到 $V$ 的一个分类. 对于 $v_1,v_2\in V$,如果 $v_1-v_2\in W$,则称它们是关于 $\bmod W $ 相合的,记为 $v_1=v_2$.不难证明这是一个等价关系.因此,它就确定了 $V $ 的一个分类.元素 $v $ 关于 $\bmod W $ 的相合类,即 $V $ 中所有与 $v $ 关于 $\bmod W $ 的相合的元的全体,用符号 $(v) $ 标记.这样,有相合类为元素的商集合

\begin{equation} V / W=\{(v) | v \in V\} \end{equation}

   现在我们在商集合 $V/W $ 中引入线性运算,使它也成为一个线性空间.当然这种线性运算应与 $V $ 中原有的线性运算要有联系.为此,对于相合类的加法和数乘,我们自然采用下列定义

\begin{equation} \begin{array}{l}\left(v_{1}\right)+\left(v_{2}\right)=\left(v_{1}+v_{2}\right) \\ a(v)=(a v), a \in K\end{array} \end{equation}
这里的定义与相合类的代表的选取无关,故是有意义的,容易证明 $V/W $ 在这些运算下构成体 $K $ 上的矢量空间.$V/W $ 称为 $V $ 关于 $\bmod W$ 的商空间,$(0)$ 然是它的零元.

   下面我们再来分析一下 $V,W$ 和 $V/W $ 三者基之间的关系.设 $u_1,u_2,\cdots,u_m$ 是 $W $ 的一个基.我们再补充 $n- m$ 个元素 ${u}_{m+1}, \cdots {u}_{n}$ 使 $u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{n}$ 成为 $V$ 的一个基.于是对 $V $ 中任一元 $v=a^iu_i$ 所确定的相合类,有

\begin{equation} (v)=\left(a^{i} u_{i}\right)=a^{i}\left(u_{i}\right) \end{equation}
(未完成)


1. ^ 参考《物理学中的几何方法》

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