商空间（线性代数）

贡献者： Giacomo

本文处于草稿阶段。

预备知识　二元关系，仿射集，直和与补空间（线性代数）

　　原作者：FFjet

未完成：用仿射集的语言重写

　　设 $W$ 是向量空间 $V$ 的一个子空间。我们想通过 $W$ 来定义 $V$ 中元素的一个等价关系，并由此得到 $V$ 的一个划分（商集）。对于 $v \in V$，$v + W$ 是 $V$ 的一个仿射集，全体（关于 $W$ 的）仿射集的集合构成里一个划分（商集），定义了一个等价关系——对于 $v_1, v_2\in V$，如果 $v_1 - v_2\in W$，则称它们是关于 $W$ 等价的，记为 $v_1 \sim v_2$。我们把这个划分（商集）记为 $V / W: = V / \sim$，包含 $v$ 的等价类记为 $[v]: = v + W$.

　　现在我们在商集 $V / W$ 中引入线性运算，使它也成为一个线性空间。当然这种线性运算应与 $V$ 中原有的线性运算要有联系。为此，对于等价类的加法和数乘，我们自然采用下列定义

\begin{equation} \begin{array}{l} [v_1] + [v_2] = [v_1 + v_2]~, \\ a \cdot [v] = [a v]\qquad (a \in K)~. \end{array} \end{equation}

未完成：证明下述论断

这里的定义与等价类的代表的选取无关，故是有意义的，容易证明 $V/W $ 在这些运算下构成体 $K $ 上的向量空间。$V/W $ 称为 $V$ 关于子空间 $W$ 的商空间，$[0] = W$ 是它的零元。

1. 商空间的维度

未完成：待整理

原作者：叶月 2_ 利用商空间的概念也能证明线性空间的任意子空间都有补空间。

定理 1　

　　给定域 $\mathbb F$ 上的线性空间 $V$，设 $W$ 是其子空间，则 $W$ 必有补空间。

　　从 $W$ 的左陪集 ${S_{\alpha}}$ 里各选一个元素 $v_a$，$ \operatorname {Span} \{v_{\alpha}\}$ 构成商空间 $V/W$ 的一组基¹，张成的也是 $W$ 的补空间。由等价类划分可知，$ \operatorname {Span} \{v_{\alpha}\}$ 与 $W$ 没有交集，因此我们只需要证明所有元素都可以表示为 $b_{\alpha}v_{\alpha} + W$ 即可。

　　设 $v$ 为任意元素，则有 $v + W=b_{\alpha} S_{\alpha}$，由于 $v_{\alpha} \in S_{\alpha}$，所以 $b_{\alpha} v_{\alpha} \in v + W$。也就是说，总可以找到一个元素 $v_1 \in W$，使得 $v=bv_{\alpha} + v_1$，由于左陪集与子空间互不包含，因而和是直和，证毕。

习题 1　例子

　　设 $V$ 是一个平面，$W$ 是 $x$ 轴，那么 $V/W$ 是什么呢？该商空间的元素，即每一个等价类为无数平行于该直线的直线。设 $x$ 和 $y$ 等价，由等价条件知 $x-y \in W$。

　　定理 1 的证明过程同时明示着商空间维数和子空间的关系。

定理 2　商空间的维度

　　对于有限维度向量空间 $V$,

\begin{equation} \dim(V/W) = \dim V - \dim W~. \end{equation}

1. ^ 尽管 $kv_\alpha$ 为不同于 $v_\alpha$ 的等价类，但这里取张成，不影响后续定理 2 这一推论

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商空间（线性代数）

1. 商空间的维度

定理 1

习题 1 例子

定理 2 商空间的维度

定理 1　

习题 1　例子

定理 2　商空间的维度