薛定谔方程(单粒子一维)

                     

贡献者: addis

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预备知识 定态薛定谔方程(单粒子一维),分离变量法解偏微分方程

   单粒子的一维波函数是位置和时间的函数 $\Psi(x, t)$,薛定谔方程为

\begin{equation} H\Psi = \mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial{t}} \Psi \end{equation}
其中
\begin{equation} H = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^{2}}{\partial{x}^{2}} + V(x, t) \end{equation}
也可以直接记为
\begin{equation} -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^{2}}{\partial{x}^{2}} \Psi + V(x, t)\Psi = \mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial{t}} \Psi \end{equation}
$V(x,t)$ 是势能,满足
\begin{equation} F_x(t) = - \frac{\partial V}{\partial x} \end{equation}
其中 $F_x$ 是经典力学中质点的受力.

1. 能量守恒系统的时间演化

   当哈密顿算符 $H$ 不随时间变化时,我们说这个系统能量守恒.这时我们可以用分离变量法,令

\begin{equation} \Psi(x, t) = \psi(x) T(t) \end{equation}
\begin{equation} H\psi = E\psi \end{equation}
以及
\begin{equation} \mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial{t}} T = ET \end{equation}
其中式 6 就是定态薛定谔方程,即哈密顿算符的本征方程.式 7 有简单的解
\begin{equation} T(t) = \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E t/\hbar} \end{equation}

   根据 $H$ 的不同,本征值 $E$ 可以取离散或连续的值.先看只取离散值的简单情况(如无限深势阱),令能级为 $E_n$($n = 1, 2, \dots$),那么含时薛定谔方程的通解为

\begin{equation} \Psi(x, t) = \sum_n C_n \psi_n(x) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E_n t/\hbar} \end{equation}
其中 $C_n$ 为待定系数,由初始条件决定.本征波函数满足正交关系
\begin{equation} \int_{-\infty}^{+\infty}\psi_m(x)\psi_n(x) \,\mathrm{d}{x} = \delta_{m,n} \end{equation}
原因见 “施图姆—刘维尔理论”,也可以类比有限维的 “厄米矩阵的本征问题”.所以系数可以通过投影计算
\begin{equation} C_n = \int_{-\infty}^{+\infty} \psi_n(x)\Psi(x, 0) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
这个投影过程可以类比傅里叶级数(指数).事实上,傅里叶级数(子节 3 )就是无限深方势阱的波函数.

   两个具体的例子见 “无限深势阱中的高斯波包” 和 “简谐振子中的高斯波包(Matlab)”.

   如果 $E$ 只在某个区间内取连续值,我们同样可以使用分离变量法,只是求和变为积分,系数变为能量的函数.我们知道此时每个能量都有二重简并,所以定态薛定谔方程中一个能量 $E$ 有两个线性无关的解 $\psi_{E,1}(x)$ 和 $\psi_{E,2}(x)$,那么

\begin{equation} \Psi(x, t) = \int [C_1(E) \psi_{E,1}(x) + C_2(E) \psi_{E,2}(x)] \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E t/\hbar} \,\mathrm{d}{E} \end{equation}
一个经典的例子见 “一维自由粒子(量子)”.至于系数具体如何求,见 “量子散射(一维)”.注意由于简并,有时候需要先把 $\psi_{E,1}(x), \psi_{E,2}(x)$ 进行正交归一化才能投影得到系数.


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