薛定谔方程（单粒子一维）

                     

贡献者： addis

　　 单粒子的一维波函数是位置和时间的函数 $\mathrm{\Psi }(x,t)$，薛定谔方程为

其中 也可以直接记为 $V(x,t)$ 是势能，满足 其中 $F_x$ 是经典力学中质点的受力。

1. 能量守恒系统的时间演化

　　 当哈密顿算符 $H$ 不随时间变化时，我们说这个系统能量守恒。这时我们可以用分离变量法，令

以及 其中式 6 就是定态薛定谔方程，即哈密顿算符的本征方程。式 7 有简单的解

　　 根据 $H$ 的不同，本征值 $E$ 可以取离散或连续的值。先看只取离散值的简单情况（如无限深势阱），令能级为 $E_n$（$n=1,2,\dots$），那么含时薛定谔方程的通解为

其中 $C_n$ 为待定系数，由初始条件决定。本征波函数满足正交关系 原因见 “施图姆—刘维尔理论”，也可以类比有限维的 “厄米矩阵的本征问题”。所以系数可以通过投影计算 这个投影过程可以类比傅里叶级数（指数）。事实上，傅里叶级数（子节 3 ）就是无限深方势阱的波函数。

　　 两个具体的例子见 “无限深势阱中的高斯波包” 和 “简谐振子中的高斯波包（Matlab）”。

　　 如果 $E$ 只在某个区间内取连续值，我们同样可以使用分离变量法，只是求和变为积分，系数变为能量的函数。我们知道此时每个能量都有二重简并，所以定态薛定谔方程中一个能量 $E$ 有两个线性无关的解 ${\psi }_{E,1}(x)$ 和 ${\psi }_{E,2}(x)$，那么

一个经典的例子见 “一维自由粒子（量子）”。至于系数具体如何求，见 “量子散射（一维）”。注意由于简并，有时候需要先把 ${\psi }_{E,1}(x),{\psi }_{E,2}(x)$ 进行正交归一化才能投影得到系数。