无限深势阱中的高斯波包模拟（Matlab）

贡献者： addis

预备知识　无限深势阱，高斯波包，薛定谔方程

　　本文中我们来计算无限深势阱中一个高斯波包的运动。定性来说，波包会一边移动一边扩散（变宽变矮），且在两个势阱壁之间来回反弹。反弹的过程中会发生干涉。

图 1：束缚态概率分布，

x

轴为束缚态的

n

，

y

轴为概率，求和约等于 1

图 2：波包遇到势阱壁后发生反弹，过程中发生干涉

1. 计算

　　本文使用原子单位制，并假设粒子质量为 1。假设无限深势阱的区间为 $[0, L]$ ，能量的本征波函数（本征态）为（式 4 ）

\begin{matrix} (1) & ψ_{n} (x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin (k_{n} x), \end{matrix}

\begin{matrix} (2) & k_{n} = \frac{n π}{L} . \end{matrix}

能量的本征值为

\begin{matrix} (3) & E_{n} = \frac{k_{n}^{2}}{2} . \end{matrix}

要计算波函数接下来的变化，用能量本征态展开波函数即可（式 12 ）。初始时波函数为高斯波包（式 1 ）

\begin{matrix} (4) & ψ (x, 0) = \frac{1}{(2 π σ_{x}^{2})^{1 / 4}} e^{- (x - x_{0})^{2} / (2 σ_{x})^{2}} e^{i k_{0} x} . \end{matrix}

　　第一步是把初始波函数投影到能量本征态上

\begin{matrix} (5) & C_{n} = \int_{0}^{L} ψ_{n}^{*} (x) ψ (x, 0) d x = \int_{0}^{L} \sqrt{\frac{2}{L}} \sin (k_{n} x) ψ (x, 0) d x . \end{matrix}

那么接下来，波函数的演化可以表示为

\begin{matrix} (6) & ψ (x, t) = \sum_{i = 0}^{N} C_{i} e^{- i E_{n} t} ψ_{n} (x) . \end{matrix}

注意在数值计算中

N

不能取

+ \infty

，而是一个有限值，这将会带来截断误差。为了保证结果正确，需要使被截去的部分在总波函数中的概率忽略不计，即

\sum_{i = N + 1}^{\infty} {| C_{i} |}^{2} ≪ 1

。在图 1 中可以看到

N

至少要大于 80 左右才能不产生过大的的截断误差。由于高斯波包的频谱是指数衰减的，所以随着

N

继续增大，截断误差也会指数减小。我们把计算结果随

N

变大而趋于固定的过程叫做计算的收敛。

　　若我们假设初始波包宽度足够小，使得波函数在势阱外的函数值可以忽略不计，则式 5 的定积分可以拓展到无穷区间，即傅里叶变换。我们已经知道初始高斯波包（指数）傅里叶变换的结果为式 2

\begin{matrix} (7) & g (k) = \frac{1}{(2 π σ_{p}^{2})^{1 / 4}} e^{- (k - k_{0})^{2} / (2 σ_{k})^{2}} e^{- i x_{0} (k - k_{0})} . \end{matrix}

将正弦函数记为指数的形式为

\begin{matrix} (8) & \sqrt{\frac{2}{L}} \sin (k_{n} x) = i \sqrt{\frac{π}{L}} (\frac{e^{- i k_{n} x}}{\sqrt{2 π}} - \frac{e^{i k_{n} x}}{\sqrt{2 π}}), \end{matrix}

所以式 5 变为

\begin{matrix} (9) & C_{n} = i \sqrt{\frac{π}{L}} [g (k_{n}) - g (- k_{n})] . \end{matrix}

代入式 6 即可。

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