无限深势阱中的高斯波包

             

预备知识 无限深势阱,高斯波包,薛定谔方程

   本文中我们来计算无限深势阱中一个高斯波包的运动.定性来说,波包会一边移动一边扩散(变宽变矮),且在两个势阱壁之间来回反弹.反弹的过程中会发生干涉.

   结果如图 1 图 2 ,动画见百科互动演示

图
图 1:束缚态概率分布,$x$ 轴为束缚态的 $n$,$y$ 轴为概率,求和约等于 1
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图 2:波包遇到势阱壁后发生反弹,过程中发生干涉

1. 计算

   本文使用原子单位制,并假设粒子质量为 1.假设无限深势阱的区间为 $[0, L]$,能量的本征波函数(本征态)为(式 4

\begin{equation} \psi _n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(k_n x\right) \end{equation}
\begin{equation} k_n = \frac{n\pi }{L} \end{equation}
能量的本征值为
\begin{equation} E_n = \frac{k_n^2}{2} \end{equation}
要计算波函数接下来的变化,用能量本征态展开波函数即可(式 10 ).初始时波函数为高斯波包(式 1
\begin{equation} \psi (x,0) = \frac{1}{(2\pi \sigma _x ^2)^{1/4}} \mathrm{e} ^{-(x - x_0)^2/(2\sigma _x)^2} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k_0x} \end{equation}

   第一步是把初始波函数投影到能量本征态上

\begin{equation} C_n = \int_0^L \psi _n^*(x) \psi (x,0) \,\mathrm{d}{x} = \int_0^L \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(k_n x\right) \psi (x,0) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
那么接下来,波函数的演化可以表示为
\begin{equation} \psi (x,t) = \sum _{i=0}^N C_i \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E_n t} \psi _n(x) \end{equation}
注意在数值计算中 $N$ 不能取 $+\infty$,而是一个有限值,这将会带来截断误差.为了保证结果正确,需要使被截去的部分在总波函数中的概率忽略不计,即 $\sum_{i=N+1}^\infty \left\lvert C_i \right\rvert ^2 \ll 1$.在图 1 中可以看到 $N$ 至少要大于 80 左右才能不产生过大的的截断误差.由于高斯波包的频谱是指数衰减的,所以随着 $N$ 继续增大,截断误差也会指数减小.我们把计算结果随 $N$ 变大而趋于固定的过程叫做计算的收敛

   若我们假设初始波包宽度足够小,使得波函数在势阱外的函数值可以忽略不记,则式 5 的定积分可以拓展到无穷区间,即傅里叶变换.我们已经知道初始高斯波包(指数)傅里叶变换的结果为式 2

\begin{equation} g(k) = \frac{1}{(2\pi \sigma _p^2)^{1/4}} \mathrm{e} ^{-(k - k_0)^2/(2\sigma _k)^2} \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} x_0(k - k_0)} \end{equation}
将正弦函数记为指数的形式为
\begin{equation} \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(k_n x\right) = \mathrm{i} \sqrt{\frac{\pi }{L}} \left(\frac{ \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} k_n x}}{\sqrt{2\pi }} - \frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k_n x}}{\sqrt{2\pi }} \right) \end{equation}
所以式 5 变为
\begin{equation} C_n = \mathrm{i} \sqrt{\frac{\pi }{L}} [g(k_n) - g(-k_n)] \end{equation}
代入式 6 即可.

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