分离变量法解偏微分方程

             

  • 本词条处于草稿阶段.

   在求解各种物理问题中的偏微分方程时,我们经常使用分离变量法.不夸张地说,分离变量法在解各种物理学的偏微分方程是最重要最常用的方法.在分离变量法中,我们假设微分方程的解可以表示为

\begin{equation} f(x_1, \dots , x_N) = \sum_{i_1, \dots, i_N} c_{i_1, \dots, i_N} f_{i_1}(x_1) f_{i_2}(x_2) \dots f_{i_N}(x_N) \end{equation}
即每个变量都具有一组一元函数,这些一元函数的乘积的线性组合可以表示方程的解.若将该式代入偏微分方程,可以分别得到关于每个变量 $x_i$ 的常微分方程,我们就说这个偏微分方程式可分离变量的.我们通过一个例子来说明.

1. 弦上的驻波

预备知识 一维波动方程,多元函数的傅里叶级数

   一维的波动方程(式 5 )为

\begin{equation} \frac{\partial^{2}}{\partial{x}^{2}} f(x, t) - \frac{1}{v^2} \frac{\partial^{2}}{\partial{t}^{2}} f(x, t) = 0 \end{equation}
假设弦长为 $a$,两端固定,则边界条件为
\begin{equation} f(0, t) = f(a, t) = 0 \end{equation}
显然,$f(x, t) \equiv 0$ 是方程的一个解,代表一根静止的弦,但这对我们并没有什么用.那么有哪些些非零的解呢?我们现在只会解一些常微分方程,而 $f(x, t)$ 是一个二元函数,让人有点无从下手,所以我们可以先猜测某个解具有
\begin{equation} f(x, t) = X(x) T(t) \end{equation}
的形式,即分别含有两个变量的两个一元函数相乘.把式 4 代入原方程式 1 ,得
\begin{equation} \frac{\partial^{2}}{\partial{x}^{2}} [X(x)T(t)] - \frac{1}{v^2} \frac{\partial^{2}}{\partial{t}^{2}} [X(x) T(t)] = 0 \end{equation}
但考虑到偏微分的计算法则,有
\begin{equation} \frac{\partial^{2}{XT}}{\partial{x}^{2}} = T \frac{\mathrm{d}^{2}{X}}{\mathrm{d}{x}^{2}} \end{equation}
\begin{equation} \frac{\partial^{2}{XT}}{\partial{t}^{2}} = X \frac{\mathrm{d}^{2}{T}}{\mathrm{d}{t}^{2}} \end{equation}
所以方程变为
\begin{equation} T \frac{\mathrm{d}^{2}{X}}{\mathrm{d}{x}^{2}} = \frac{X}{v^2} \frac{\mathrm{d}^{2}{T}}{\mathrm{d}{t}^{2}} \end{equation}
现在把方程两边同时除以 $f_n$,即同时除以 $X_n T_n$,使等式左边只是 $x$ 的函数,右边只是 $t$ 的函数
\begin{equation} \frac{1}{X} \frac{\mathrm{d}^{2}{X}}{\mathrm{d}{x}^{2}} = \frac{1}{v^2 T} \frac{\mathrm{d}^{2}{T}}{\mathrm{d}{t}^{2}} \end{equation}
但为什么要这么做呢?因为真的存在一个 这样的解,在某个时刻 $t$,$X(x)$ 必定会随 $x$ 变化(因为我们要找的是非零解,弦不可能是一条直线).反之,如果保持 $x$ 不变(观察弦上某个点的运动情况),$T(t)$ 也必须随 $t$ 改变(因为弦上的任意一点一般会做某种运动,例如振动,不可能都静止).把这样的推理用到上式,就会得出,唯一可能让等式成立的方法是方程两边分别等于一个常数,因为 $x$ 不变时方程左边是常数, $t$ 不变时方程右边是常数.若设这个常数为(一个任意实数,这么表示是为了下文书写方便),得
\begin{equation} \frac{1}{X} \frac{\mathrm{d}^{2}{X}}{\mathrm{d}{x}^{2}} = \pm k^2 \qquad \frac{1}{v^2 T} \frac{\mathrm{d}^{2}{T}}{\mathrm{d}{t}^{2}} = \pm k^2 \end{equation}
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}^{2}{X}}{\mathrm{d}{x}^{2}} mk^2 X = 0 \qquad \frac{\mathrm{d}^{2}{T_n}}{\mathrm{d}{t}^{2}} mv^2k^2 T = 0 \end{equation}
这两条都是一维齐次亥姆霍兹方程,常数为 时,方程的解为指数函数
\begin{align} X &= C_1 \mathrm{e} ^{kx} + C_2 \mathrm{e} ^{-kx}\\ T &= D_1 \mathrm{e} ^{kvt} + D_2 \mathrm{e} ^{-kvt} \end{align}
$f = XT$ 不可能满足边界条件式 3 (但有可能满足其他边界条件).当常数为 $-k^2$ 时,方程的解为
\begin{align} X &= C_1 \cos\left(kx\right) + C_2 \sin\left(kx\right) \\ T &= D_1 \cos\left(kvt\right) + D_2 \sin\left(kvt\right) \end{align}
要使 $t$ 取任何值时 $f = XT$ 都满足边界条件,只能令 $X$ 满足 $X(0) = 0$ 且 $X(a) = 0$.前者代入式 14 得 $C_1 = 0$,所以 $X = C_2 \sin\left(kx\right) $.再代入后者得 $C_2 \sin\left(ka\right) = 0$.为了获得非零解,我们不可能让 $C_1, C_2$ 都为零,所以只能令 $ \sin\left(ka\right) = 0$,解出常数 $k_n = n\pi/a$ 只能取离散的值,$n$ 为任意正整数.

   现在,我们可以令整数 $n$ 取任意值,得到无穷多个方程的解

\begin{equation} f_n(x, t) = X_n T_n = C_{1n} \sin\left(\frac{n\pi}{a}x\right) \cos\left(\frac{n\pi}{a} vt\right) + C_{2n} \sin\left(\frac{n\pi}{a}x\right) \sin\left(\frac{n\pi}{a}vt\right) \end{equation}
式 15 也可以记为 $D \cos\left(kvt+\phi_0\right) $,所以上式也可记为
\begin{equation} f(x, t) = XT = C_n \sin\left(\frac{n\pi}{a}x\right) \cos\left(\frac{n\pi}{a}vt + \phi_0\right) \end{equation}

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