分离变量法解偏微分方程

                     

贡献者: addis; ACertainUser

  • 本词条处于草稿阶段.

   在求解各种物理问题中的偏微分方程时,我们经常使用分离变量法.不夸张地说,分离变量法在解各种物理学的偏微分方程是最重要最常用的方法.在分离变量法中,我们假设微分方程的解可以表示为

\begin{equation} f(x_1, \dots , x_N) = \sum_{i_1, \dots, i_N} c_{i_1, \dots, i_N} f_{i_1}(x_1) f_{i_2}(x_2) \dots f_{i_N}(x_N) \end{equation}
即每个变量都具有一组一元函数,这些一元函数的乘积的线性组合可以表示方程的解.若将该式代入偏微分方程,可以分别得到关于每个变量 $x_i$ 的常微分方程,我们就说这个偏微分方程式可分离变量的.我们通过一个例子来说明.

1. 弦上的驻波

预备知识 一维波动方程,多元函数的傅里叶级数

   一维的波动方程(式 5 )为

\begin{equation} \frac{\partial^{2}}{\partial{x}^{2}} f(x, t) - \frac{1}{v^2} \frac{\partial^{2}}{\partial{t}^{2}} f(x, t) = 0 \end{equation}
假设弦长为 $a$,两端固定,则边界条件为
\begin{equation} f(0, t) = f(a, t) = 0 \end{equation}
显然,$f(x, t) \equiv 0$ 是方程的一个解,代表一根静止的弦,但这对我们并没有什么用.那么有哪些些非零的解呢?我们现在只会解一些常微分方程,而 $f(x, t)$ 是一个二元函数,让人有点无从下手,所以我们可以先猜测某个解具有
\begin{equation} f_n(x, t) = X_n(x) T_n(t) \end{equation}
的形式,即分别含有两个变量的两个一元函数相乘.把式 4 代入原方程式 1 ,得
\begin{equation} \frac{\partial^{2}}{\partial{x}^{2}} [X_n(x)T_n(t)] - \frac{1}{v^2} \frac{\partial^{2}}{\partial{t}^{2}} [X_n(x) T_n(t)] = 0 \end{equation}
根据求导法则,方程变为
\begin{equation} T_n \frac{\mathrm{d}^{2}{X_n}}{\mathrm{d}{x}^{2}} = \frac{X_n}{v^2} \frac{\mathrm{d}^{2}{T_n}}{\mathrm{d}{t}^{2}} \end{equation}
现在把方程两边同时除以 $X_nT_n$,使等式左边只是 $x$ 的函数,右边只是 $t$ 的函数
\begin{equation} \frac{1}{X_n} \frac{\mathrm{d}^{2}{X_n}}{\mathrm{d}{x}^{2}} = \frac{1}{v^2 T_n} \frac{\mathrm{d}^{2}{T_n}}{\mathrm{d}{t}^{2}} \end{equation}
让我们观察一下这个方程的特点.在某个时刻 $t$,$X(x)$ 必定会随 $x$ 变化(因为我们要找的是非零解,弦不可能是一条直线).反之,如果保持 $x$ 不变(观察弦上某个点的运动情况),$T(t)$ 也必须随 $t$ 改变(因为弦上的任意一点一般会做某种运动,例如振动,不可能都静止).把这样的推理用到上式,就会得出,唯一可能让等式成立的方法是方程两边分别等于一个常数,因为 $x$ 不变时方程左边是常数, $t$ 不变时方程右边是常数.若设这个常数为 $-k^2$(一个任意实数,这么表示是为了下文书写方便),得
\begin{equation} \frac{1}{X_n} \frac{\mathrm{d}^{2}{X_n}}{\mathrm{d}{x}^{2}} = -k^2 \qquad \frac{1}{v^2 T_n} \frac{\mathrm{d}^{2}{T_n}}{\mathrm{d}{t}^{2}} = -k^2 \end{equation}
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}^{2}{X_n}}{\mathrm{d}{x}^{2}} + k^2 X_n = 0 \qquad \frac{\mathrm{d}^{2}{T_n}}{\mathrm{d}{t}^{2}} + v^2k^2 T_n = 0 \end{equation}
这两条都是一维齐次亥姆霍兹方程

   若常数 $k_n^2 < 0$,方程的解为指数函数

\begin{align} X_n &= C_1 \mathrm{e} ^{k_nx} + C_2 \mathrm{e} ^{-k_nx}\\ T_n &= D_1 \mathrm{e} ^{k_nvt} + D_2 \mathrm{e} ^{-k_nvt} \end{align}
此时,$f_n = X_nT_n$ 不可能满足边界条件式 3 (但有可能满足其他边界条件),因此舍去.

   若 $k_n=0$,则

\begin{align} X_n &= C_1x+C_2\\ T_n &= D_1t+D_2\\ \end{align}
同样也不能满足边界条件,舍去.

   若常数 $k_n^2 > 0$,方程的解为

\begin{align} X &= C_1 \cos\left(kx\right) + C_2 \sin\left(kx\right) \\ T &= D_1 \cos\left(kvt\right) + D_2 \sin\left(kvt\right) \end{align}

   代入边界条件 $X(0) = 0$ 且 $X(a) = 0$.先将前者代入式 15 得 $C_1 = 0$,所以 $X_n = C_2 \sin\left(k_nx\right) $.再代入后者得 $C_2 \sin\left(k_na\right) = 0$.为了获得非零解,我们不可能让 $C_1, C_2$ 都为零,所以只能令 $ \sin\left(ka\right) = 0$,解出常数 $k_n = n\pi/a$. 其中 $n=1,2,3,...$ 为任意正整数.因此 $k$ 只能是离散的值,这个特性是由于方程的边界条件.

   因此,

\begin{align} X_n &= C_2 \sin\left(k_nx\right) \\ T_n &= D_1 \cos\left(k_nvt\right) + D_2 \sin\left(k_nvt\right) \\ k_n & = n\pi/a, n=1,2,3,... \end{align}
\begin{equation} f_n(x, t) = X_n(x) T_n(t) = C_{1n} \sin\left(\frac{n\pi}{a}x\right) \cos\left(\frac{n\pi}{a} vt\right) + C_{2n} \sin\left(\frac{n\pi}{a}x\right) \sin\left(\frac{n\pi}{a}vt\right) \end{equation}
每一个 $f_n$ 都可以看作一个以一定频率震动的 “驻波”.此处的 $C, D$ 都是待定系数,因此可以 “合并”.

   式 17 也可以记为 $T_n=D \cos\left(k_nvt+\phi_n\right) $.现在,我们叠加这无穷多个解,得到最后的解.这个解可以认为是一系列特定频率的驻波的线性组合.

\begin{equation} f(x, t) = \sum_{n=1}^\infty X_nT_n = \sum_{n=1}^\infty C_n \sin\left(\frac{n\pi}{a}x\right) \cos\left(\frac{n\pi}{a}vt + \phi_n\right) \end{equation}

图
图 1:驻波示意图,包含两个不同频率的驻波.可动的演示见这里(站外链接)

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