贡献者： addis
本文使用原子单位制。在量子力学中，散射是一个十分重要的过程。例如为了探索例如原子的结构，一种重要的手段就是用其他粒子轰击原子，并探测出射粒子在不同方向上的动量或能量分布等。著名的卢瑟福散射就是用电子轰击原子的方法解开了原子结构之谜。虽然卢瑟福最初使用经典力学来分析这类散射过程（当时量子力学还没有出现），但原子尺度下量子力学比经典力学要精确得多。
在经典力学中，散射过程考虑一个粒子从无穷远处入射，经过一个势能 $V(x)$ 后发生偏折。量子力学中，这一过程可以用波包来描述：一个波包 $\psi(x, t)$ 在初始时刻从远处入射，我们想知道经过 $V(x)$ 散射后，$\psi(x, t)$ 会如何变化，例如不同出射方向的概率流密度以及动量如何分布？
由于三维空间的量子散射所需的数学较为复杂，我们先学习一维散射。三维散射的许多性质都可以从一维情况类比，但也有更丰富的特性。
我们已经学习了一维自由粒子如何随时间演化，例如一维高斯波包在自由演化过程中，他的中心会像经典粒子一样以恒定速度移动，但同时波包还会慢慢变宽。在此基础上，如果在波包前进方向上添加一个不为零的 $V(x)$（例如一个势垒或势阱，图 3 ），那么波包将会在各个方向上发生散射（一维运动只有左右两个方向）。我们希望能计算该过程中波函数如何变化。我们要求势能函数 $V(x)$ 只在局部不为零，即满足 $V(\pm\infty) \to 0$。
原则上，我们可以直接把初始波函数和势能代入含时薛定谔方程进行求解
\begin{equation}
-\frac{1}{2m} \frac{\partial^{2}}{\partial{x}^{2}} \psi(x, t) + V(x) \psi(x, t) = \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{t}} \psi(x, t)~.
\end{equation}
即使没有解析解，也可以通过数值方法，依次求出每个时间步长 $t_n$（$n = 1, 2, \dots$）的波函数 $\psi(x, t_n)$。
1. 解析分析
即使能轻易得到数值解，解析的分析也能帮我们更好地理解散射问题（或者任何问题）。和 “一维自由粒子（量子）” 中的过程类似，分离变量法可以得到式 1 的通解（式 12 ）。首先看定态薛定谔方程定态薛定谔方程
\begin{equation}
-\frac{1}{2m} \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}{x}^{2}} \psi_E + V(x) \psi_E = E \psi_E ~,\qquad (E > 0)~.
\end{equation}
其中 $E$ 可以连续取值，每个 $E$ 都对应不同的解。当 $E< 0$ 时，有可能存在束缚态，但我们在散射问题中不考虑。这是一个二阶常微分方程，每个 $E$ 有两个线性无关的解，记为 $\psi_{E,1}(x)$ 和 $\psi_{E,2}(x)$，于是通解可以表示为
\begin{equation}
\Psi(x, t) = \int_0^{+\infty} [C_1(E) \psi_{E,1}(x) + C_2(E) \psi_{E,2}(x)] \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E (t-t_0)} \,\mathrm{d}{E} ~.
\end{equation}
系数 $C_i(E)$ 由初始波函数决定，满足
\begin{equation}
\Psi(x, t_0) = \int_0^{+\infty} [C_1(E) \psi_{E,1}(x) + C_2(E) \psi_{E,2}(x)] \,\mathrm{d}{E} ~.
\end{equation}
注意由于我们规定 $V(\pm\infty)\to 0$，在无穷远处 $\psi_{E,i}(x)$ 显然都是平面波，波数都是 $k = \sqrt{2mE}$。另外由于
式 2 中所有的系数都是实数，$\psi_{E,1}, \psi_{E,2}$ 也可以都是实函数。
具体如何从 $\Psi(x, t_0)$ 得到系数 $C_i(E)$ 呢？如果我们确保所有不同的基底 $\psi_{E,i}$ 都是正交归一1的（见 “傅里叶变换与连续正交归一基底”，以及 “一维散射态的正交归一化”）
\begin{equation}
\left\langle \psi_{E',i'} \middle| \psi_{E,i} \right\rangle = \delta_{i',i}\delta(E' - E)~,
\end{equation}
那么就有
\begin{equation}
C_i(E) = \left\langle \psi_{E,i} \middle| \Psi(t_0) \right\rangle ~, \qquad (i = 1,2)~,
\end{equation}
这就是
能量归一化。当然我们同样有不同的归一化方式（事实上有无数种），例如类似于
式 5 的
动量归一化，令
式 2 的本征函数为 $\psi_{k}(x)$（$k \in \mathbb R$，$k^2/(2m) = E$），满足归一化条件
\begin{equation}
\left\langle \psi_{k'} \middle| \psi_{k} \right\rangle = \delta(k' - k)~.
\end{equation}
那么波函数表示为
\begin{equation}
\Psi(x, t) = \int_{-\infty}^{+\infty} C(k) \psi_k(x) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E (t-t_0)} \,\mathrm{d}{k} ~,
\end{equation}
系数通过初始波函数的投影计算
\begin{equation}
C(k) = \left\langle \psi_k \middle| \Psi(x, t_0) \right\rangle ~.
\end{equation}
归一化的具体过程要比平面波更复杂，详见 “
一维散射态的正交归一化”。
一个基本的例子见 “方势垒散射数值计算”。
未完成：未完成，需要包含波包系数计算
方势垒散射数值计算
2. 散射幅
未完成：未完成
1. ^ 通常解二阶常微分方程只要求找到两个线性无关的解，但正交归一的条件要更苛刻。
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