一维散射(量子)

             

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预备知识 平面波的的动量和能量归一化

   本文使用原子单位制.在量子力学中,散射是一个十分重要的过程.例如为了探索例如原子的结构,一种重要的手段就是用其他粒子轰击原子,并探测出射粒子在不同方向上的动量或能量分布等.著名的卢瑟福散射就是用电子轰击原子的方法解开了原子结构之谜.虽然卢瑟福最初使用经典力学来分析这类散射过程(当时量子力学还没有出现),但原子尺度下量子力学比经典力学要精确得多.

   在经典力学中,散射过程考虑一个粒子从无穷远处入射,经过一个势能 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 后发生偏折.量子力学中,这一过程可以用波包来描述:一个波包 $\psi(x, t)$ 在初始时刻从远处入射,我们想知道经过 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 散射后,$\psi(x, t)$ 会如何变化,例如不同出射方向的概率流密度以及动量如何分布?

   由于三维空间的量子散射所需的数学较为复杂,我们先学习一维散射.三维散射的许多性质都可以从一维情况类比,但也有更丰富的特性.

   我们已经学习了一维自由粒子如何随时间演化,例如一维高斯波包在自由演化过程中,他的中心会像经典粒子一样以恒定速度移动,但同时波包还会慢慢变宽.在此基础上,如果在波包前进方向上添加一个不为零的 $V(x)$(例如一个势垒或势阱,图 3 ),那么波包将会在各个方向上发生散射(一维运动只有左右两个方向).我们希望能计算该过程中波函数如何变化.我们要求势能函数 $V(x)$ 只在局部不为零,即满足 $V(\pm\infty) \to 0$.

   原则上,我们可以直接把初始波函数和势能代入含时薛定谔方程进行求解

\begin{equation} -\frac{1}{2m} \frac{\partial^{2}}{\partial{t}^{2}} \psi(x, t) + V(x) \psi(x, t) = \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{t}} \psi(x, t) \end{equation}
即使没有解析解,也可以通过数值方法,依次求出每个时间步长 $t_n$($n = 1, 2, \dots$)的波函数 $\psi(x, t_n)$.

1. 解析分析

   即使能轻易得到数值解,解析的分析也能帮我们更好地理解散射问题(或者任何问题).和 “一维自由粒子(量子)” 中的过程类似,分离变量法可以得到式 1 的通解(式 10 ).首先看定态薛定谔方程定态薛定谔方程

\begin{equation} -\frac{1}{2m} \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}{x}^{2}} \psi_E + V(x) \psi_E = E \psi_E \qquad (E > 0) \end{equation}
其中 $E$ 可以连续取值,每个 $E$ 都对应不同的解.当 $E < 0$ 时,有可能存在束缚态,但我们在散射问题中不考虑.这是一个二阶常微分方程,每个 $E$ 有两个线性无关的解,记为 $\psi_{E,1}(x)$ 和 $\psi_{E,2}(x)$,于是通解可以表示为
\begin{equation} \Psi(x, t) = \int_0^{+\infty} [C_1(E) \psi_{E,1}(x) + C_2(E) \psi_{E,2}(x)] \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E (t-t_0)} \,\mathrm{d}{E} \end{equation}
系数 $C_i(E)$ 由初始波函数决定,满足
\begin{equation} \Psi(x, t_0) = \int_0^{+\infty} [C_1(E) \psi_{E,1}(x) + C_2(E) \psi_{E,2}(x)] \,\mathrm{d}{E} \end{equation}
注意由于我们规定 $V(\pm\infty)\to 0$,在无穷远处 $\psi_{E,i}(x)$ 显然都是平面波,波数都是 $k = \sqrt{2mE}$.另外由于式 2 中所有的系数都是实数,$\psi_{E,1}, \psi_{E,2}$ 也可以都是实函数.

   具体如何从 $\Psi(x, t_0)$ 得到系数 $C_i(E)$ 呢?如果我们确保所有不同的基底 $\psi_{E,i}$ 都是正交归一1的(见 “傅里叶变换与连续正交归一基底”)

\begin{equation} \left\langle \psi_{E',i'} \middle| \psi_{E,i} \right\rangle = \delta_{i',i}\delta(E' - E) \end{equation}
那么就有
\begin{equation} C_i(E) = \left\langle \psi_{E,i} \middle| \Psi(t_0) \right\rangle \qquad (i = 1,2) \end{equation}
这就是能量归一化.当然我们同样有不同的归一化方式(事实上有无数种),例如类似于式 5 动量归一化,令式 2 的本征函数为 $\psi_{k}(x)$($k \in \mathbb R$,$k^2/(2m) = E$),满足归一化条件
\begin{equation} \left\langle \psi_{k'} \middle| \psi_{k} \right\rangle = \delta(k' - k) \end{equation}
那么波函数表示为
\begin{equation} \Psi(x, t) = \int_{-\infty}^{+\infty} C(k) \psi_k(x) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E (t-t_0)} \,\mathrm{d}{k} \end{equation}
系数通过初始波函数的投影计算
\begin{equation} C(k) = \left\langle \psi_k \middle| \Psi(x, t_0) \right\rangle \end{equation}
归一化的具体过程要比平面波更复杂,详见 “动量归一化和能量归一化”.

   一个基本的例子见 “方势垒散射数值计算”.

未完成:未完成,需要包含波包系数计算方势垒散射数值计算

2. 散射幅

  

未完成:未完成


1. ^ 通常解二阶常微分方程只要求找到两个线性无关的解,但正交归一的条件要更苛刻.

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