贡献者： addis; 叶月2_
本文使用原子单位制。在经典力学中，某个时刻测量系统的某个量 $Q$ 可以得到唯一确定的值。如果测量值不随时间变化，就说它守恒（conserved）。而在量子力学中，若对一个系统单次测量，测量值是不确定的，那守恒量由该如何理解呢？比如两个无限深势阱中的粒子具有相同的波函数——若干能量本征态的线性组合，测得的能量却可能各不相同，是否意味着能量不守恒？由于在实际测量中，有意义的物理量是算符的本征值与期待值（平均值）。受此启发，我们定义：
定义 1 守恒量（量子力学）
若算符 $\hat Q$ 不显含时间，且与哈密顿算符对易，则称该力学量为守恒量。
推论 1 平均值和概率守恒
守恒量的平均值及概率分布不随时间变化。
证明：
算符运动方程为
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{\left\langle \hat A \right\rangle}}{\mathrm{d}{t}} =\left\langle\frac{\partial \hat A}{\partial t}\right\rangle+\frac{ \mathrm{i} }{\hbar}\langle[\hat H, \hat A]\rangle~.
\end{equation}
由此可知，若定义成立，则守恒量平均值为 0。下面证明第二条。
设 $ \left\lvert a \right\rangle $ 为任意态矢，$\hat Q$ 为守恒量。因为 $[\hat Q,\hat H]=0$，所以有共同的本征函数系，令其为 $\{ \left\lvert n \right\rangle \}$，且设 $H \left\lvert n \right\rangle =E_n \left\lvert n \right\rangle $，则
\begin{equation}
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}{c_n(t)}}{\mathrm{d}{t}} \equiv \frac{\mathrm{d}{ \left\langle n \middle| a \right\rangle }}{\mathrm{d}{t}} &= \left\langle b \middle| \frac{\partial \left\lvert a \right\rangle }{\partial t} \right\rangle \\
&=\frac{1}{ \mathrm{i} \hbar} \left\langle n \right\rvert \hat H \left\lvert a \right\rangle \\
&=\frac{1}{ \mathrm{i} \hbar}E_nc_n(t)~,
\end{aligned}
\end{equation}
解得
\begin{equation}
c_n(t)=c_n(0) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E_n t/\hbar }~,
\end{equation}
因此 $|c(t)|^2=|c(0)|^2$，得证。
例如在无限深势阱中任意随时间变化的波包（未必是单个能量本征态，而是任意能量本征态的线性组合，例如 “无限深势阱中的高斯波包”），测得每个能量本征值的概率都不随时间变化，这就说明能量守恒。
1. 能量守恒
定理 1 能量守恒
若哈密顿算符 $H$ 不随时间变化，就有能量守恒。
证明：令能量的所有本征态为（为了方便起见，假设本征态是离散的）$\{ \left\lvert u_i \right\rangle \}$，系统状态随时间的演化可以记为（见式 8 ，其中 $C_i$ 为常数，由初始状态决定）
\begin{equation}
\left\lvert v(t) \right\rangle = \sum_i C_i \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E_i t} \left\lvert u_i \right\rangle ~,
\end{equation}
令能量 $E_j$ 对应的所有本征态的编号的集合为 $D_j$（如果 $E_j$ 是非简并的，那么 $D_j = \left\{j \right\} $），那么测得 $E_j$ 的概率为
\begin{equation}
P(E_j) = \sum_{i \in D_j} \left\lvert C_i \right\rvert ^2~,
\end{equation}
不随时间变化，所以有能量守恒。证毕。
例 1
能量守恒的简单系统如：无限深势阱，简谐振子，自由粒子，有限深势阱等。这些系统的哈密顿算符都不随时间变化。将任意时刻的波函数投影到能量的本征态上，得到的系数的模方都是相同的。
定义 2
力学量概率分布不变，则称该力学量为守恒量。
推论 2
若力学量概率分布不变，则其与哈密顿算符对易。
证明：
先假设能量的本征态基底为 $\{ \left\lvert u_i \right\rangle \}$，系统状态随时间变化为
\begin{equation}
\left\lvert v(t) \right\rangle = \sum_i C_i \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E_i t} \left\lvert u_i \right\rangle ~.
\end{equation}
令算符 $Q$ 任意本征值 $q_m$ 对应的本征矢子空间的一组基底为 $\{ \left\lvert v_k \right\rangle \}$，那么任意时刻测得 $q_m$ 的概率为
\begin{equation}
\begin{aligned}
P(q_m) &= \sum_k \left\lvert \left\langle v_k \right\rvert \sum_i C_i \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E_i t} \left\lvert u_i \right\rangle \right\rvert ^2\\
&= \sum_k \left(\sum_i C_i \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} E_i t} \left\langle v_k \middle| u_i \right\rangle \right) ^\dagger \left(\sum_j C_j \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E_j t} \left\langle v_k \middle| u_j \right\rangle \right) \\
&= \sum_{i,j} \left(C_i^* C_j \sum_k \left\langle u_i \middle| v_k \right\rangle \left\langle v_k \middle| u_j \right\rangle \right) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} (E_i - E_j) t}~,
\end{aligned}
\end{equation}
若 $Q$ 守恒，则要求对于任何 $C_i$ 可能的取值，该式的结果都与时间无关。所以对任意 $i \ne j$ 都有
\begin{equation}
\sum_k \left\langle u_i \middle| v_k \right\rangle \left\langle v_k \middle| u_j \right\rangle = 0~.
\end{equation}
稍加思考可以得出要么 $ \left\lvert u_j \right\rangle $ 在 $q_m$ 子空间中，要么 $ \left\lvert u_j \right\rangle $ 在 $q_m$ 子空间上的投影为 0。所以任何 $q_m$ 子空间（假设是 $N_m$ 维）同样可以由 $N_m$ 个 $ \left\lvert u_i \right\rangle $ 张成。所以可以找到 $H$ 和 $Q$ 的一套共同本征矢，所以两算符对易。证毕。
未完成：稍加思考：详细写
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