守恒量(量子力学)

             

预备知识 平均值,无限深势阱,薛定谔方程

   在经典力学中,某个时刻测量系统的某个量 $Q$ 可以得到唯一确定的值.如果测量值不随时间变化,就说它守恒(conserved).而在量子力学中,若对一个系单次测量,测量值是不确定的,那守恒量由该如何理解呢?比如两个无限深势阱中的粒子具有相同的波函数——若干能量本征态的线性组合,测得的能量却可能各不相同,是否意味着能量不守恒?

   答案是否定的,在量子力学中,我们定义:

定义 1 守恒量(量子)

   若对系统测量某个物理量得到的测量值的概率分布不随时间改变,这个量就是守恒的.

   例如在无限深势阱中任意随时间变化的波包(未必是单个能量本征态,而是任意能量本征态的线性组合,例如 “无限深势阱中的高斯波包”),测得每个能量本征值的概率都不随时间变化,这就说明能量守恒.

推论 1 平均值守恒

   守恒量的平均值也不随时间变化.

   根据定义 1 易证.

1. 能量守恒

定理 1 能量守恒

   若哈密顿算符 $H$ 不随时间变化,就有能量守恒.

   证明:令能量的所有本征态为(为了方便起见,假设本征态是离散的)$\{ \left\lvert u_i \right\rangle \}$,系统状态随时间的演化可以记为(见式 8 ,其中 $C_i$ 为常数,由初始状态决定)

\begin{equation} \left\lvert v(t) \right\rangle = \sum_i C_i \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E_i t} \left\lvert u_i \right\rangle \end{equation}
令能量 $E_j$ 对应的所有本征态的编号的集合为 $D_j$(如果 $E_j$ 是非简并的,那么 $D_j = \left\{j \right\} $),那么测得 $E_j$ 的概率为
\begin{equation} P(E_j) = \sum_{i \in D_j} \left\lvert C_i \right\rvert ^2 \end{equation}
不随时间变化,所以有能量守恒.证毕.

例 1 

   能量守恒的简单系统如:无限深势阱,简谐振子,自由粒子,有限深势阱,阶梯势能等.这些系统的哈密顿算符都不随时间变化.将任意时刻的波函数投影到能量的本征态上,得到的系数的模方都是相同的.

2. 其他守恒量

预备知识 算符对易与共同本征矢

定理 2 对易与守恒量

   令 $H$ 为哈密顿算符,$Q$ 是另一个物理量的算符.以下两个命题互为充分必要条件

  1. $Q$ 对应一个守恒量
  2. $ \left[H, Q\right] = 0$

   该定理在经典力学中的对应定理是:若物理量 $\omega(q, p)$ 和哈密顿量 $H$ 的泊松括号 $ \left\{\omega, H\right\} $ 为零,则 $\omega$ 是一个守恒量.

   证明:我们还是从离散本征态的简单情况来证明这个定理,且假设哈密顿算符不含时1.首先由 2 证明 1,若两算符对称,则它们必有一组完备的共同本征矢 $\{ \left\lvert u_i \right\rangle \}$,满足

\begin{equation} \begin{cases} H \left\lvert u_i \right\rangle = E_i \left\lvert u_i \right\rangle \\ Q \left\lvert u_i \right\rangle = q_i \left\lvert u_i \right\rangle \end{cases} \end{equation}

   系统状态随时间的变化可以记为

\begin{equation} \left\lvert v(t) \right\rangle = \sum_i C_i \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E_i t} \left\lvert u_i \right\rangle \end{equation}
其中 $C_i$ 为常数.令集合 $D_j$ 包含 $q_j$ 对应的所有基底的角标.于是,任意时刻测到 $q_j$ 的概率等于相关系数的模方和
\begin{equation} P(q_j) = \sum_{i \in D_j} \left\lvert C_i \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E_i t} \right\rvert ^2 = \sum_{i \in D_j} \left\lvert C_i \right\rvert ^2 \end{equation}
也是常数.证毕.

   由 1 证明 2 要更麻烦一些.我们新开一节,不感兴趣的读者可以跳过.

3. 证明守恒量算符与哈密顿算符对易

   先假设能量的本征态基底为 $\{ \left\lvert u_i \right\rangle \}$,系统状态随时间变化为

\begin{equation} \left\lvert v(t) \right\rangle = \sum_i C_i \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E_i t} \left\lvert u_i \right\rangle \end{equation}
令算符 $Q$ 任意本征值 $q_m$ 对应的本征矢子空间的一组基底为 $\{ \left\lvert v_k \right\rangle \}$,那么任意时刻测得 $q_m$ 的概率为
\begin{equation} \begin{aligned} P(q_m) &= \sum_k \left\lvert \left\langle v_k \right\rvert \sum_i C_i \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E_i t} \left\lvert u_i \right\rangle \right\rvert ^2\\ &= \sum_k \left(\sum_i C_i \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} E_i t} \left\langle v_k \middle| u_i \right\rangle \right) ^\dagger \left(\sum_j C_j \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E_j t} \left\langle v_k \middle| u_j \right\rangle \right) \\ &= \sum_{i,j} \left(C_i^* C_j \sum_k \left\langle u_i \middle| v_k \right\rangle \left\langle v_k \middle| u_j \right\rangle \right) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} (E_i - E_j) t} \end{aligned} \end{equation}
若 $Q$ 守恒,则要求对于任何 $C_i$ 可能的取值,该式的结果都与时间无关.所以对任意 $i \ne j$ 都有
\begin{equation} \sum_k \left\langle u_i \middle| v_k \right\rangle \left\langle v_k \middle| u_j \right\rangle = 0 \end{equation}
稍加思考可以得出要么 $ \left\lvert u_j \right\rangle $ 在 $q_m$ 子空间中,要么 $ \left\lvert u_j \right\rangle $ 在 $q_m$ 子空间上的投影为 0.所以任何 $q_m$ 子空间(假设是 $N_m$ 维)同样可以由 $N_m$ 个 $ \left\lvert u_i \right\rangle $ 张成.所以可以找到 $H$ 和 $Q$ 的一套共同本征矢,所以两算符对易.证毕.


1. ^ 如果含时,可以将时间分割成许多小区间,假设每个小区间中不随时间变化.

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