守恒量（量子力学）

贡献者： addis; 叶月2_

预备知识　平均值，无限深势阱，薛定谔方程

　　本文使用原子单位制。在经典力学中，某个时刻测量系统的某个量 $Q$ 可以得到唯一确定的值。如果测量值不随时间变化，就说它守恒（conserved）。而在量子力学中，若对一个系统单次测量，测量值是不确定的，那守恒量由该如何理解呢？比如两个无限深势阱中的粒子具有相同的波函数——若干能量本征态的线性组合，测得的能量却可能各不相同，是否意味着能量不守恒？由于在实际测量中，有意义的物理量是算符的本征值与期待值（平均值）。受此启发，我们定义：

定义 1　守恒量（量子力学）

　　若算符 $\hat{Q}$ 不显含时间，且与哈密顿算符对易，则称该力学量为守恒量。

推论 1　平均值和概率守恒

　　守恒量的平均值及概率分布不随时间变化。

　　 证明：

　　算符运动方程为

\begin{matrix} (1) & \frac{d ⟨ \hat{A} ⟩}{d t} = ⟨ \frac{\partial \hat{A}}{\partial t} ⟩ + \frac{i}{ℏ} ⟨ [\hat{H}, \hat{A}] ⟩ . \end{matrix}

由此可知，若定义成立，则守恒量平均值为 0。下面证明第二条。

　　设 $| a ⟩$ 为任意态矢， $\hat{Q}$ 为守恒量。因为 $[\hat{Q}, \hat{H}] = 0$ ，所以有共同的本征函数系，令其为 ${| n ⟩}$ ，且设 $H | n ⟩ = E_{n} | n ⟩$ ，则

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} \frac{d c_{n} (t)}{d t} \equiv \frac{d ⟨ n | a ⟩}{d t} & = ⟨ b | \frac{\partial | a ⟩}{\partial t} ⟩ \\ = \frac{1}{i ℏ} ⟨ n | \hat{H} | a ⟩ \\ = \frac{1}{i ℏ} E_{n} c_{n} (t), \end{aligned} \end{matrix}

解得

\begin{matrix} (3) & c_{n} (t) = c_{n} (0) e^{- i E_{n} t / ℏ}, \end{matrix}

因此

| c (t) |^{2} = | c (0) |^{2}

，得证。

　　例如在无限深势阱中任意随时间变化的波包（未必是单个能量本征态，而是任意能量本征态的线性组合，例如 “无限深势阱中的高斯波包”），测得每个能量本征值的概率都不随时间变化，这就说明能量守恒。

1. 能量守恒

定理 1　能量守恒

　　若哈密顿算符 $H$ 不随时间变化，就有能量守恒。

　　证明：令能量的所有本征态为（为了方便起见，假设本征态是离散的） ${| u_{i} ⟩}$ ，系统状态随时间的演化可以记为（见式 8 ，其中 $C_{i}$ 为常数，由初始状态决定）

\begin{matrix} (4) & | v (t) ⟩ = \sum_{i} C_{i} e^{- i E_{i} t} | u_{i} ⟩, \end{matrix}

令能量

E_{j}

对应的所有本征态的编号的集合为

D_{j}

（如果

E_{j}

是非简并的，那么

D_{j} = {j}

），那么测得

E_{j}

的概率为

\begin{matrix} (5) & P (E_{j}) = \sum_{i \in D_{j}} {| C_{i} |}^{2}, \end{matrix}

不随时间变化，所以有能量守恒。证毕。

例 1　

　　能量守恒的简单系统如：无限深势阱，简谐振子，自由粒子，有限深势阱等。这些系统的哈密顿算符都不随时间变化。将任意时刻的波函数投影到能量的本征态上，得到的系数的模方都是相同的。

定义 2　

　　力学量概率分布不变，则称该力学量为守恒量。

推论 2　

　　若力学量概率分布不变，则其与哈密顿算符对易。

　　 证明：

　　先假设能量的本征态基底为 ${| u_{i} ⟩}$ ，系统状态随时间变化为

\begin{matrix} (6) & | v (t) ⟩ = \sum_{i} C_{i} e^{- i E_{i} t} | u_{i} ⟩ . \end{matrix}

令算符

Q

任意本征值

q_{m}

对应的本征矢子空间的一组基底为

{| v_{k} ⟩}

，那么任意时刻测得

q_{m}

的概率为

\begin{matrix} (7) & \begin{aligned} P (q_{m}) & = \sum_{k} {| ⟨ v_{k} | \sum_{i} C_{i} e^{- i E_{i} t} | u_{i} ⟩ |}^{2} \\ = \sum_{k} {(\sum_{i} C_{i} e^{i E_{i} t} ⟨ v_{k} | u_{i} ⟩)}^{†} (\sum_{j} C_{j} e^{- i E_{j} t} ⟨ v_{k} | u_{j} ⟩) \\ = \sum_{i, j} (C_{i}^{*} C_{j} \sum_{k} ⟨ u_{i} | v_{k} ⟩ ⟨ v_{k} | u_{j} ⟩) e^{i (E_{i} - E_{j}) t}, \end{aligned} \end{matrix}

若

Q

守恒，则要求对于任何

C_{i}

可能的取值，该式的结果都与时间无关。所以对任意

i \neq j

都有

\begin{matrix} (8) & \sum_{k} ⟨ u_{i} | v_{k} ⟩ ⟨ v_{k} | u_{j} ⟩ = 0 . \end{matrix}

稍加思考可以得出要么

| u_{j} ⟩

在

q_{m}

子空间中，要么

| u_{j} ⟩

在

q_{m}

子空间上的投影为 0。所以任何

q_{m}

子空间（假设是

N_{m}

维）同样可以由

N_{m}

个

| u_{i} ⟩

张成。所以可以找到

H

和

Q

的一套共同本征矢，所以两算符对易。证毕。

未完成：稍加思考：详细写

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守恒量（量子力学）

定义 1 守恒量（量子力学）

推论 1 平均值和概率守恒

1. 能量守恒

定理 1 能量守恒

例 1

定义 2

推论 2

定义 1　守恒量（量子力学）

推论 1　平均值和概率守恒

定理 1　能量守恒

例 1　

定义 2　

推论 2　