守恒量(量子力学)
贡献者: addis; 叶月2_
本文使用原子单位制。在经典力学中,某个时刻测量系统的某个量 可以得到唯一确定的值。如果测量值不随时间变化,就说它守恒(conserved)。而在量子力学中,若对一个系统单次测量,测量值是不确定的,那守恒量由该如何理解呢?比如两个无限深势阱中的粒子具有相同的波函数——若干能量本征态的线性组合,测得的能量却可能各不相同,是否意味着能量不守恒?由于在实际测量中,有意义的物理量是算符的本征值与期待值(平均值)。受此启发,我们定义:
定义 1 守恒量(量子力学)
若算符 不显含时间,且与哈密顿算符对易,则称该力学量为守恒量。
推论 1 平均值和概率守恒
守恒量的平均值及概率分布不随时间变化。
证明:
算符运动方程为
由此可知,若定义成立,则守恒量平均值为 0。下面证明第二条。
设 为任意态矢, 为守恒量。因为 ,所以有共同的本征函数系,令其为 ,且设 ,则
解得
因此 ,得证。
例如在无限深势阱中任意随时间变化的波包(未必是单个能量本征态,而是任意能量本征态的线性组合,例如 “无限深势阱中的高斯波包”),测得每个能量本征值的概率都不随时间变化,这就说明能量守恒。
1. 能量守恒
定理 1 能量守恒
若哈密顿算符 不随时间变化,就有能量守恒。
证明:令能量的所有本征态为(为了方便起见,假设本征态是离散的),系统状态随时间的演化可以记为(见式 8 ,其中 为常数,由初始状态决定)
令能量 对应的所有本征态的编号的集合为 (如果 是非简并的,那么 ),那么测得 的概率为
不随时间变化,所以有能量守恒。证毕。
例 1
能量守恒的简单系统如:无限深势阱,简谐振子,自由粒子,有限深势阱等。这些系统的哈密顿算符都不随时间变化。将任意时刻的波函数投影到能量的本征态上,得到的系数的模方都是相同的。
定义 2
力学量概率分布不变,则称该力学量为守恒量。
推论 2
若力学量概率分布不变,则其与哈密顿算符对易。
证明:
先假设能量的本征态基底为 ,系统状态随时间变化为
令算符 任意本征值 对应的本征矢子空间的一组基底为 ,那么任意时刻测得 的概率为
若 守恒,则要求对于任何 可能的取值,该式的结果都与时间无关。所以对任意 都有
稍加思考可以得出要么 在 子空间中,要么 在 子空间上的投影为 0。所以任何 子空间(假设是 维)同样可以由 个 张成。所以可以找到 和 的一套共同本征矢,所以两算符对易。证毕。
未完成:稍加思考:详细写
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