守恒量(量子力学)

                     

贡献者: addis; 叶月2_

预备知识 平均值,无限深势阱,薛定谔方程

   本文使用原子单位制。在经典力学中,某个时刻测量系统的某个量 Q 可以得到唯一确定的值。如果测量值不随时间变化,就说它守恒(conserved)。而在量子力学中,若对一个系统单次测量,测量值是不确定的,那守恒量由该如何理解呢?比如两个无限深势阱中的粒子具有相同的波函数——若干能量本征态的线性组合,测得的能量却可能各不相同,是否意味着能量不守恒?由于在实际测量中,有意义的物理量是算符的本征值与期待值(平均值)。受此启发,我们定义:

定义 1 守恒量(量子力学)

   若算符 Q^ 不显含时间,且与哈密顿算符对易,则称该力学量为守恒量。

推论 1 平均值和概率守恒

   守恒量的平均值及概率分布不随时间变化。

   证明:

   算符运动方程为

(1)dA^dt=A^t+i[H^,A^] .
由此可知,若定义成立,则守恒量平均值为 0。下面证明第二条。

   设 |a 为任意态矢,Q^ 为守恒量。因为 [Q^,H^]=0,所以有共同的本征函数系,令其为 {|n},且设 H|n=En|n,则

(2)dcn(t)dtdn|adt=b||at=1in|H^|a=1iEncn(t) ,
解得
(3)cn(t)=cn(0)eiEnt/ ,
因此 |c(t)|2=|c(0)|2,得证。

   例如在无限深势阱中任意随时间变化的波包(未必是单个能量本征态,而是任意能量本征态的线性组合,例如 “无限深势阱中的高斯波包”),测得每个能量本征值的概率都不随时间变化,这就说明能量守恒。

1. 能量守恒

定理 1 能量守恒

   若哈密顿算符 H 不随时间变化,就有能量守恒。

   证明:令能量的所有本征态为(为了方便起见,假设本征态是离散的){|ui},系统状态随时间的演化可以记为(见式 8 ,其中 Ci 为常数,由初始状态决定)

(4)|v(t)=iCieiEit|ui ,
令能量 Ej 对应的所有本征态的编号的集合为 Dj(如果 Ej 是非简并的,那么 Dj={j}),那么测得 Ej 的概率为
(5)P(Ej)=iDj|Ci|2 ,
不随时间变化,所以有能量守恒。证毕。

例 1 

   能量守恒的简单系统如:无限深势阱简谐振子自由粒子有限深势阱等。这些系统的哈密顿算符都不随时间变化。将任意时刻的波函数投影到能量的本征态上,得到的系数的模方都是相同的。

定义 2 

   力学量概率分布不变,则称该力学量为守恒量。

推论 2 

   若力学量概率分布不变,则其与哈密顿算符对易。

   证明:

   先假设能量的本征态基底为 {|ui},系统状态随时间变化为

(6)|v(t)=iCieiEit|ui .
令算符 Q 任意本征值 qm 对应的本征矢子空间的一组基底为 {|vk},那么任意时刻测得 qm 的概率为
(7)P(qm)=k|vk|iCieiEit|ui|2=k(iCieiEitvk|ui)(jCjeiEjtvk|uj)=i,j(CiCjkui|vkvk|uj)ei(EiEj)t ,
Q 守恒,则要求对于任何 Ci 可能的取值,该式的结果都与时间无关。所以对任意 ij 都有
(8)kui|vkvk|uj=0 .
稍加思考可以得出要么 |ujqm 子空间中,要么 |ujqm 子空间上的投影为 0。所以任何 qm 子空间(假设是 Nm 维)同样可以由 Nm|ui 张成。所以可以找到 HQ 的一套共同本征矢,所以两算符对易。证毕。
未完成:稍加思考:详细写


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元,我们一周就能脱离亏损, 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利