平面波的的正交归一化

             

预备知识 一维自由粒子(量子)

   本文使用原子单位制.回顾一维自由粒子中的分析,我们需要把能量本征态即平面波进行动量归一化或者能量归一化

\begin{equation} \int_{-\infty}^{+\infty} \psi_{k'}(x)^* \psi_{k}(x) \,\mathrm{d}{x} = \delta(k' - k) \qquad (k \in \mathbb R) \end{equation}
\begin{equation} \int_{0}^{+\infty} \psi_{E',i'}(x)^* \psi_{E,i}(x) \,\mathrm{d}{x} = \delta_{i',i}\delta(E' - E) \qquad (E > 0) \end{equation}
其中 $*$ 表示复共轭,满足该式的 $\psi_k$ 就是动量归一化的平面波:
\begin{equation} \psi_k(x) = \frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kx}}{\sqrt{2\pi}} \end{equation}
但什么样的归一化系数能满足能量归一化条件呢?

   我们可以令定态薛定谔方程的两个线性无关解 $\psi_{E,1}(x), \psi_{E,2}(x)$ 分别为 $-k$ 和 $k$ 的平面波(暂时规定 $k = \sqrt{2mE} > 0$),只是归一化系数和式 3 不同.只需要使用 $\delta$ 函数的性质式 12 ,把 $E'-E$ 看成 $k$ 的函数($k'$ 视为常数)1,唯一的正根为 $k'$

\begin{equation} f(k) = \frac{k'^2}{2m} - \frac{k^2}{2m} \qquad \left\lvert f'(k') \right\rvert = \frac{k'}{m} \end{equation}
所以
\begin{equation} \delta(E'-E) = \delta[f(k)] = \frac{m}{k'} \delta(k'-k) = \frac{m}{k} \delta(k'-k) \end{equation}
代入式 2 能量归一化后的平面波
\begin{equation} \psi_{E,1}(x) = \sqrt{\frac{m}{2\pi k}} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kx} \qquad \psi_{E,2}(x) = \sqrt{\frac{m}{2\pi k}} \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} kx} \end{equation}

   现在,任意波函数 $\psi(x)$ 就可以用能量归一化的基底展开为

\begin{equation} \begin{aligned} \psi(x) &= \int_0^{+\infty} [A(k) \psi_{E,1}(x) + A(-k) \psi_{E,2}(x)] \,\mathrm{d}{E} \\ &= \int_0^{+\infty} \sqrt{\frac{k}{m}} \left[A(k) \frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kx}}{\sqrt{2\pi}} + A(-k)\frac{ \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} kx}}{\sqrt{2\pi}} \right] \,\mathrm{d}{k} \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} \sqrt{\frac{ \left\lvert k \right\rvert }{m}}A(k) \psi_k(x) \,\mathrm{d}{k} \end{aligned} \end{equation}
对比用动量归一化展开
\begin{equation} \psi(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} C(k)\psi_k(x) \,\mathrm{d}{k} \end{equation}
两种系数间满足关系
\begin{equation} C(k) = \sqrt{\frac{ \left\lvert k \right\rvert }{m}}A(k) \end{equation}

1. 其他正交归一本征态

   事实上归一化其实有无数种,因为每个能量 $E$ 的本征波函数空间是一个二维简并空间,我们可以把以上正交归一的 $\psi_{E,1}, \psi_{E,2}$ 做一个任意幺正变换后仍然得到两个正交归一的解.最常见的方法例如令(角标 $o$ 代表 odd,$e$ 代表 even)

\begin{equation} \begin{aligned} \psi_{E,e}(x) &= \frac{1}{\sqrt{2}}[\psi_{E,1}(x) + \psi_{E,2}(x)] = \sqrt{\frac{m}{\pi k}} \cos\left(kx\right) \\ \psi_{E,o}(x) &= \frac{1}{\sqrt{2}\, \mathrm{i} }[\psi_{E,1}(x) - \psi_{E,2}(x)] = \sqrt{\frac{m}{\pi k}} \sin\left(kx\right) \end{aligned} \end{equation}
他们满足式 2 (习题).这个变换使用了矩阵 $ \begin{pmatrix}1 & 1\\ - \mathrm{i} & \mathrm{i} \end{pmatrix} /\sqrt{2}$,可以证明使用任何 2 乘 2 的酉矩阵做变换都可以.

   令 $k > 0$,把 $\psi_{\pm k}$ 做类似的变换,我们也可以写出动量归一化的一种变体2

\begin{equation} \begin{aligned} \psi_{k,e}(x) &= \frac{1}{\sqrt{2}}[\psi_{k}(x) + \psi_{-k}(x)] = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cos\left(kx\right) \\ \psi_{k,o}(x) &= \frac{1}{\sqrt{2}\, \mathrm{i} }[\psi_{k}(x) - \psi_{-k}(x)] = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sin\left(kx\right) \end{aligned} \qquad (k > 0) \end{equation}
这就是三角傅里叶变换中使用的基底.他们满足归一化条件(习题 1
\begin{equation} \int_{-\infty}^{+\infty} \psi_{k',i}(x)^* \psi_{k,i}(x) \,\mathrm{d}{x} = \delta(k' - k) \qquad (k > 0, i = e, o) \end{equation}


1. ^ 反之亦然:$k'$ 看成变量,$k$ 看成常数
2. ^ 注意这样得到的并不是动量算符的本征函数,所以严格来说动量归一化只有一种可能.

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