贡献者： addis
预备知识 傅里叶变换与连续正交归一基底
，
薛定谔方程，原子单位制
本文使用原子单位制。当含时薛定谔方程中势能函数 $V(x) = 0$ 时，有
\begin{equation}
-\frac{1}{2m} \frac{\partial^{2}}{\partial{x}^{2}} \Psi(x,t) = \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{t}} \Psi(x,t)~.
\end{equation}
一般用分离变量法解该方程，通解为
式 12 。但首先要解出对应的定态薛定谔方程
\begin{equation}
-\frac{1}{2m} \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}{x}^{2}} \psi_E(x) = E \psi_E(x)~.
\end{equation}
只有 $E > 0$ 时有可归一化的解，也就是熟悉的
平面波
\begin{equation}
\psi_E(x) = \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k x}~.
\end{equation}
其中 $k = \pm\sqrt{2mE}$，注意定态薛定谔方程具有二重简并，即一个 $E$ 对应两个线性无关解。令 $\omega = E = k^2/2$，则通解为
\begin{equation}
\Psi(x,t) = \int_{0}^{+\infty} \left[A_+(\omega) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} ( \left\lvert k \right\rvert x - \omega t)} + A_-(\omega) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} (- \left\lvert k \right\rvert x - \omega t)} \right] \,\mathrm{d}{\omega} ~.
\end{equation}
其中第一项是向右移动的平面波，第二项向左移动。一种更简洁的表示方法是做变量替换 $\omega(k) = k^2/(2m)$，把通解记为关于 $k$ 的积分
\begin{equation}
\Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} C(k) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} (k x - \omega t)} \,\mathrm{d}{k} ~.
\end{equation}
直观上来理解，
式 4 和
式 5 都表示许多不同频率的平面波的叠加，所以是等效的，系数 $A_\pm(\omega)$ 和 $C(k)$ 具有对应关系，以后我们会看到他们之间如何
转换。注意
式 5 恰好是 $C(k)$ 的反傅里叶变换（
式 2 ）。当 $t = 0$ 时有
\begin{equation}
C(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \Psi(x,0) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} k x} \,\mathrm{d}{x} ~,
\end{equation}
这样我们就从初始波函数 $\Psi(x,0)$ 得到了系数。
式 5 相当于把波函数在正交归一的基底 $\psi_k(x) = \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kx}/\sqrt{2\pi}$ 展开，满足正交归一条件（式 11 ）
\begin{equation}
\left\langle \psi_{k'} \middle| \psi_k \right\rangle = \delta(k' - k)~,
\end{equation}
我们把这种归一化叫做
动量归一化（原子单位中 $k$ 就是动量）；而
式 4 则把波函数在另一组正交归一基底上展开，这组基底一般使用
能量归一化，其基底 $\psi_{E,1}, \psi_{E,2}$（方括号中的两项）满足归一化条件
\begin{equation}
\left\langle \psi_{E',i'} \middle| \psi_{E,i} \right\rangle = \delta_{i',i}\delta(E' - E)~,
\end{equation}
详见 “
动量归一化和能量归一化”。
一个简单的例子见 “一维高斯波包（量子）”。
事实上，无论我们使用什么样的初始波包，它接下来的演化都是平淡无奇的，可以定性地划分为匀速移动和扩散。在熟悉了本文以后，我们可以开始考虑一个稍微复杂一些的问题：当势能函数 $V(x)$ 在某个区间不为零时，波包经过这个区间会如何变化？这就是一维散射问题。
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。