一维自由粒子(量子)

             

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预备知识 傅里叶变换与连续正交归一基底,薛定谔方程,原子单位制

   本文使用原子单位制.当含时薛定谔方程中势能函数 $V(x) = 0$ 时,有

\begin{equation} -\frac{1}{2m} \frac{\partial^{2}}{\partial{x}^{2}} \Psi(x,t) = \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{t}} \Psi(x,t) \end{equation}
一般用分离变量法解该方程,通解为式 10 .但首先要解出对应的定态薛定谔方程
\begin{equation} -\frac{1}{2m} \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}{x}^{2}} \psi_E(x) = E \psi_E(x) \end{equation}
只有 $E > 0$ 时有可归一化的解,也就是熟悉的平面波(链接未完成)
\begin{equation} \psi_E(x) = \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k x} \end{equation}
其中 $k = \pm\sqrt{2mE}$,注意定态薛定谔方程具有二重简并,即一个 $E$ 对应两个线性无关解.令 $\omega = E$,则通解为
\begin{equation} \Psi(x,t) = \int_{0}^{+\infty} \left[A_+(\omega) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} ( \left\lvert k \right\rvert x - \omega t)} + A_-(\omega) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} (- \left\lvert k \right\rvert x - \omega t)} \right] \,\mathrm{d}{\omega} \end{equation}
一种更简洁的表示方法是做变量替换 $\omega(k) = k^2/(2m)$,把通解记为
\begin{equation} \Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} C(k) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} (k x - \omega t)} \,\mathrm{d}{k} \end{equation}
直观上来理解,式 4 式 5 都表示许多不同频率的平面波的叠加,所以是等效的,系数 $A_\pm(\omega)$ 和 $C(k)$ 具有对应关系,以后我们会看到他们之间如何转换.注意式 5 恰好是 $C(k)$ 的反傅里叶变换(式 2 ).当 $t = 0$ 时有
\begin{equation} C(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \Psi(x,0) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} k x} \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
这样我们就从初始波函数 $\Psi(x,0)$ 得到了系数.

   式 5 相当于把波函数在正交归一的基底 $\psi_k(x) = \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kx}/\sqrt{2\pi}$ 展开,基底满足(式 11

\begin{equation} \left\langle \psi_{k'} \middle| \psi_k \right\rangle = \delta(k' - k) \end{equation}
我们把这种归一化叫做动量归一化(原子单位中 $k$ 就是动量);而式 4 则把波函数在另一组正交归一基底上展开,这组基底一般使用能量归一化,其基底 $\psi_{E,1}, \psi_{E,2}$(方括号中的两项)满足
\begin{equation} \left\langle \psi_{E',i'} \middle| \psi_{E,i} \right\rangle = \delta_{i',i}\delta(E' - E) \end{equation}
详见 “动量归一化和能量归一化”.

   一个简单的例子见 “一维高斯波包(量子)”.

   事实上,无论我们使用什么样的初始波包,它接下来的演化都是平淡无奇的,可以定性地划分为匀速移动和扩散.在熟悉了本文以后,我们可以开始考虑一个稍微复杂一些的问题:当势能函数 $V(x)$ 在某个区间不为零时,波包经过这个区间会如何变化?这就是一维散射问题

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