一维自由粒子（量子）

贡献者： addis

预备知识　傅里叶变换与连续正交归一基底，薛定谔方程，原子单位制

　　本文使用原子单位制。当含时薛定谔方程中势能函数 $V (x) = 0$ 时，有

\begin{matrix} (1) & - \frac{1}{2 m} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} Ψ (x, t) = i \frac{\partial}{\partial t} Ψ (x, t) . \end{matrix}

一般用分离变量法解该方程，通解为式 12 。但首先要解出对应的定态薛定谔方程

\begin{matrix} (2) & - \frac{1}{2 m} \frac{d^{2}}{d x^{2}} ψ_{E} (x) = E ψ_{E} (x) . \end{matrix}

只有

E > 0

时有可归一化的解，也就是熟悉的平面波

\begin{matrix} (3) & ψ_{E} (x) = e^{i k x} . \end{matrix}

其中

k = \pm \sqrt{2 m E}

，注意定态薛定谔方程具有二重简并，即一个

E

对应两个线性无关解。令

ω = E = k^{2} / 2

，则通解为

\begin{matrix} (4) & Ψ (x, t) = \int_{0}^{+ \infty} [A_{+} (ω) e^{i (| k | x - ω t)} + A_{-} (ω) e^{i (- | k | x - ω t)}] d ω . \end{matrix}

其中第一项是向右移动的平面波，第二项向左移动。一种更简洁的表示方法是做变量替换

ω (k) = k^{2} / (2 m)

，把通解记为关于

k

的积分

\begin{matrix} (5) & Ψ (x, t) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{+ \infty} C (k) e^{i (k x - ω t)} d k . \end{matrix}

直观上来理解，式 4 和式 5 都表示许多不同频率的平面波的叠加，所以是等效的，系数

A_{\pm} (ω)

和

C (k)

具有对应关系，以后我们会看到他们之间如何转换。注意式 5 恰好是

C (k)

的反傅里叶变换（式 2 ）。当

t = 0

时有

\begin{matrix} (6) & C (k) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{+ \infty} Ψ (x, 0) e^{- i k x} d x, \end{matrix}

这样我们就从初始波函数

Ψ (x, 0)

得到了系数。

　　式 5 相当于把波函数在正交归一的基底 $ψ_{k} (x) = e^{i k x} / \sqrt{2 π}$ 展开，满足正交归一条件（式 11 ）

\begin{matrix} (7) & ⟨ ψ_{k^{'}} | ψ_{k} ⟩ = δ (k^{'} - k), \end{matrix}

我们把这种归一化叫做动量归一化（原子单位中

k

就是动量）；而式 4 则把波函数在另一组正交归一基底上展开，这组基底一般使用能量归一化，其基底

ψ_{E, 1}, ψ_{E, 2}

（方括号中的两项）满足归一化条件

\begin{matrix} (8) & ⟨ ψ_{E^{'}, i^{'}} | ψ_{E, i} ⟩ = δ_{i^{'}, i} δ (E^{'} - E), \end{matrix}

详见 “动量归一化和能量归一化”。

　　一个简单的例子见 “一维高斯波包（量子）”。

　　事实上，无论我们使用什么样的初始波包，它接下来的演化都是平淡无奇的，可以定性地划分为匀速移动和扩散。在熟悉了本文以后，我们可以开始考虑一个稍微复杂一些的问题：当势能函数 $V (x)$ 在某个区间不为零时，波包经过这个区间会如何变化？这就是一维散射问题。

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