球坐标系中的定态薛定谔方程

             

预备知识 定态薛定谔方程,球坐标系中的亥姆霍兹方程,球坐标系中的角动量算符

   本文使用原子单位制.我们希望在球坐标中求解定态薛定谔方程

\begin{equation} -\frac{1}{2m} \boldsymbol{\nabla}^2 \psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) + V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )\psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = E\psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \end{equation}
当势能 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 处处为零时,这就变成了球坐标系中的亥姆霍兹方程.以下考虑球对称势能 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = V(r)$,即势能只与到原点的距离有关.该方程在球坐标中的求解过程也和求解亥姆霍兹方程类似

   我们知道一维定态薛定谔方程的解可分为两种情况,一种是 $E < V(\pm\infty)$ 时可能存在离散的束缚态,另一种是 $E > V(\pm\infty)$ 时存在散射态(引用未完成).这在三维空间中同样成立,当 $E < V(\infty)$ 时,若存在束缚态,那么波函数可以用球谐函数展开为

\begin{equation} \Psi_{n, l,m}( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = R_{n, l}(r) Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) = \frac{1}{r}\psi_{n, l}(r) Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \end{equation}
其中 $\psi_{n, l}(r)$ 称为径向波函数(radial wave function),$\psi_{n, l}(r)$ 称为约化径向波函数(scaled radial wave function),满足径向薛定谔方程
\begin{equation} -\frac{1}{2m} \frac{\mathrm{d}^{2}{\psi_{n, l}}}{\mathrm{d}{r}^{2}} + \left[V(r) + \frac{l(l + 1)}{2mr^2} \right] \psi_{n, l} = E_{n, l} \psi_{n, l} \end{equation}
该方程的推导见下文,其中 $l$ 叫做角量子数(angular quantum number),$l(l + 1)/(2mr^2)$ 项叫做离心势能(centrifugal potential).对每个固定的 $l$,该式可能存在若干个不同的能级,每个能级可能对应多个束缚态.这些能级的序号一般记为 $n$,称为主量子数(principal quantum number),主量子数一般从 0 开始.

   若势能 $V(r)$ 在整个空间都是有限值,对于每个较小的 $l$,可能不存在束缚态,也可能存在有限个束缚态,即有限个 $n$.束缚态能量 $E_{n,l}$ 由这两个量子数共同决定.随着 $l$ 不断增加,方括号中的等效势能越来越浅,最终会导致径向方程不存在束缚态解.一个简单的例子是有限深球势阱

   一个重要的例子是氢原子:由于 $1/r$ 势能的特殊性,它不但有无穷个束缚态,而且束缚态能量 $E_n$ 和 $l$ 无关,详见 “类氢原子的定态波函数”.另一些例子 “无限深球势阱” 以及 “三维量子简谐振子(球坐标系)”,由于简谐振的 $V(r\to \infty)$ 为无穷大,所以同样存在无穷个束缚态.

径向波函数归一化条件

   束缚态的总波函数的归一化条件为

\begin{equation} \int_0^\infty \left\lvert \Psi_{n,l,m} \right\rvert ^2 r^2 \,\mathrm{d}{r} \,\mathrm{d}{\Omega} = \int \left\lvert R_{n,l} \right\rvert ^2 \left\lvert Y_{l,m} \right\rvert ^2 r^2 \,\mathrm{d}{r} \,\mathrm{d}{\Omega} = 1 \end{equation}
球谐函数已经满足 $\int \left\lvert Y_{l,m} \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{\Omega} = 1$, 所以只要求
\begin{equation} \int_0^\infty \left\lvert R_{n,l} \right\rvert ^2 r^2 \,\mathrm{d}{r} = 1 \end{equation}
或者
\begin{equation} \int_0^\infty \left\lvert \psi_{n,l}(r) \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{r} = 1 \end{equation}
再来看正交性,根据施特恩刘维尔定理(未完成),同一个式 3 (即 $l$ 不变)解出的不同 $\psi_{n,l}$ 满足正交条件
\begin{equation} \int_0^\infty \psi_{n', l} ^* (r) \psi_{n,l}(r) \,\mathrm{d}{r} = 0 \qquad (n' \ne n) \end{equation}
或者
\begin{equation} \int_0^\infty R_{n', l} ^* (r) R_{n,l}(r) r^2 \,\mathrm{d}{r} = 0 \qquad (n' \ne n) \end{equation}
注意对不同的 $l$,径向波函数并不正交.

1. 散射态

   当 $E > V(\infty)$ 时,$E$ 取任意实值都可以解出散射态,这时我们就不能用离散的 $n$ 来区分不同的解,而是直接使用 $E$:

\begin{equation} \Psi_{E, l,m}( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{1}{r}\psi_{E, l}(r) Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \end{equation}
径向方程则变为
\begin{equation} -\frac{1}{2m} \frac{\mathrm{d}^{2}{\psi_{E, l}}}{\mathrm{d}{r}^{2}} + \left[V(r) + \frac{l(l + 1)}{2mr^2} \right] \psi_{E, l} = E \psi_{n, l} \end{equation}
一个例子见库仑函数,库仑函数是类氢原子散射态的径向波函数,$V(r) = Z/r$.

2. 径向方程的推导

   使用球坐标的拉普拉斯算子(式 4 )可以将哈密顿算符表示为

\begin{equation} H = -\frac{1}{2m} \boldsymbol{\nabla}^2 + V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = K_r + \frac{L^2}{2mr^2} + V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \end{equation}
其中径向动量算符和角动量平方算符为(式 5 )分别为
\begin{equation} K_r =-\frac{1}{2m} \boldsymbol{\nabla}^2 _r = - \frac{1}{2m} \left( \frac{\partial^{2}}{\partial{r}^{2}} + \frac2r \frac{\partial}{\partial{r}} \right) = -\frac{1}{2mr^2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{r}} \left(r^2 \frac{\partial}{\partial{r}} \right) \end{equation}
\begin{equation} L^2 = - \boldsymbol{\nabla}^2 _\Omega = - \left[\frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial{\theta}} \left(\sin \theta \frac{\partial u}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{\sin^2 \theta} \frac{\partial^{2}{u}}{\partial{\phi}^{2}} \right] \end{equation}
注意角动量算符不含 $r$.

   定态薛定谔方程式 1 变为

\begin{equation} \left(K_r + \frac{L^2}{2mr^2} + V - E \right) \Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = 0 \end{equation}
我们假设势能函数只与粒子到原点的距离有关,即 $V = V(r)$.两边乘以 $r^2$ 可以将 $r$ 与角向变量 $\theta, \phi$(简写为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $)分离,令 $\Psi = R(r)Y( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )$.

   解得 $Y( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )$ 为球谐函数 $Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )$ 满足

\begin{equation} L^2 Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) = l(l+1) Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \end{equation}
分离变量后 $R(r)$ 满足的方程一般被称为径向薛定谔方程
\begin{equation} K_r R_l(r) + \left[V(r) + \frac{l(l+1)}{2mr^2} \right] R_l(r) = ER(r) \end{equation}
我们可以通过变量替换将其化为更简洁的形式.实际上是不同 $l$ 的一系列方程.

   定义

\begin{equation} \psi_l(r) = r R_l(r) \end{equation}
代入式 16 ,第一项变为
\begin{equation} K_r R_l = - \frac{1}{2m} \left( \frac{\mathrm{d}^{2}{R_l}}{\mathrm{d}{r}^{2}} + \frac2r \frac{\mathrm{d}{R_l}}{\mathrm{d}{r}} \right) = -\frac{1}{2mr^2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{r}} \left(r^2 \frac{\mathrm{d}{R_l}}{\mathrm{d}{r}} \right) = -\frac{1}{2mr} \frac{\mathrm{d}^{2}{\psi_l}}{\mathrm{d}{r}^{2}} \end{equation}
所以式 16 两边乘 $r$ 后化简就得到式 3 .这是径向薛定谔方程更常见的形式.我们可以把该方程想象成是求解一维势能中粒子的能量本征态(束缚态或者散射态).方括号中的势能可以称为一维等效势能,取决于 $l$ 量子数.

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