薛定谔方程的分离变量法

             

预备知识 张量积空间

   如果定态薛定谔方程

\begin{equation} H \left\lvert \Psi \right\rangle = E \left\lvert \Psi \right\rangle \end{equation}
中的状态 $ \left\lvert \Psi \right\rangle $ 可以看作是两个小空间的张量积空间1,且总哈密顿 $H$ 可以分解为
\begin{equation} H = H_1 \otimes I + I \otimes H_2 \end{equation}
的形式.那么我们先分别解出两个子空间的定态薛定谔方程
\begin{equation} \begin{cases} H_1 \left\lvert \Psi_{1,i} \right\rangle = E_{1,i} \left\lvert \Psi_{1,i} \right\rangle \\ H_2 \left\lvert \Psi_{2,j} \right\rangle = E_{2,j} \left\lvert \Psi_{2,j} \right\rangle \end{cases} \end{equation}
这两组解分别构成了两个小空间的一组完备的正交归一基底.我们也可以证明 $ \left\lvert \Psi_{1,i} \right\rangle \otimes \left\lvert \Psi_{2,j} \right\rangle $ 满足张量积空间中的薛定谔方程(式 1 ).代入得
\begin{equation} \begin{aligned} (H_1 \otimes I + I \otimes H_2) \left\lvert \Psi_{1,i} \right\rangle \otimes \left\lvert \Psi_{2,j} \right\rangle &= (H_1 \left\lvert \Psi_{1,i} \right\rangle ) \otimes \left\lvert \Psi_{2,j} \right\rangle + \left\lvert \Psi_{1,i} \right\rangle \otimes (H_2 \left\lvert \Psi_{2,j} \right\rangle )\\ &= (E_{1,i} + E_{2, j}) \left\lvert \Psi_{1,i} \right\rangle \otimes \left\lvert \Psi_{2,j} \right\rangle \end{aligned} \end{equation}
证毕.

   事实上,这就是偏微分方程的分离变量法.两个小空间既可以是同一个粒子在两个不同方向上的状态空间,例如二维无限深势阱),也可以是两个不同粒子的状态空间例如双粒子无限深势阱.


1. ^ 也可以是 $N > 2$ 个小空间的张量积空间,以下结论类比可得

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