薛定谔方程的分离变量法

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预备知识　张量积空间

　　如果定态薛定谔方程

\begin{matrix} (1) & H | Ψ ⟩ = E | Ψ ⟩ \end{matrix}

中的状态

| Ψ ⟩

可以看作是两个小空间的张量积空间¹，且总哈密顿

H

可以分解为

\begin{matrix} (2) & H = H_{1} \otimes I + I \otimes H_{2} \end{matrix}

的形式。那么我们先分别解出两个子空间的定态薛定谔方程

\begin{matrix} (3) & {\begin{cases} H_{1} | Ψ_{1, i} ⟩ = E_{1, i} | Ψ_{1, i} ⟩ \\ H_{2} | Ψ_{2, j} ⟩ = E_{2, j} | Ψ_{2, j} ⟩, \end{cases} \end{matrix}

这两组解分别构成了两个小空间的一组完备的正交归一基底。我们也可以证明

| Ψ_{1, i} ⟩ \otimes | Ψ_{2, j} ⟩

满足张量积空间中的薛定谔方程（式 1 ）。代入得

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} (H_{1} \otimes I + I \otimes H_{2}) | Ψ_{1, i} ⟩ \otimes | Ψ_{2, j} ⟩ & = (H_{1} | Ψ_{1, i} ⟩) \otimes | Ψ_{2, j} ⟩ + | Ψ_{1, i} ⟩ \otimes (H_{2} | Ψ_{2, j} ⟩) \\ = (E_{1, i} + E_{2, j}) | Ψ_{1, i} ⟩ \otimes | Ψ_{2, j} ⟩ . \end{aligned} \end{matrix}

证毕。

　　事实上，这就是偏微分方程的分离变量法。两个小空间既可以是同一个粒子在两个不同方向上的状态空间，例如二维无限深势阱），也可以是两个不同粒子的状态空间例如双粒子无限深势阱。

1. ^ 也可以是 $N > 2$ 个小空间的张量积空间，以下结论类比可得

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